模块终结测评
[第一、二章]
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分, 共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)
1.若ac>0,bc<0,则直线ax+by+c=0必不通过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.等差数列{an}中,“a1
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知数列{an}是公差为3的等差数列,且a1,a2,a4成等比数列,则a10等于 ( )
A.30 B.27
C.24 D.33
4.直线mx-y+2m+1=0经过一定点,则该定点的坐标为 ( )
A.(-2,1) B.(2,1)
C.(1,-2) D.(1,2)
5.在正项等比数列{an}中,an+1A.56 B.65
C.23 D.32
6.直线xa+yb=1与圆x2+y2=r2(r>0)相切,则满足的条件是 ( )
A.ab=r(a+b) B.a2b2=r(a2+b2)
C.|ab|=r·a2+b2 D.ab=r·a2+b2
7.直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥23,则实数k的取值范围是( )
A.-34,0 B.-∞,-34∪[0,+∞)
C.-33,33 D.-23,0
8.已知等比数列{an}中的各项都是正数,且a1,12a3,2a2成等差数列,则a9+a10a9+a8= ( )
A.1-2 B.1+2
C.2 D.2-1
9.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是 ( )
A.y=3x B.y=-3x
C.y=33x D.y=-33x
10.方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成的图形的面积为 ( )
A.2 B.2
C.2-1 D.2+1
11.我国古代数学名著《九章算术》中,有已知长方形面积求一边的算法,其方法的前两步为:
第一步:构造数列1,12,13,14,…,1n①.
第二步:将数列①的各项乘n,得数列(记为)a1,a2,a3,…,an.
则a1a2+a2a3+…+an-1an等于 ( )
A.n(n-1) B.(n-1)2
C.n2 D.n(n+1)
12.已知P(t,t),t∈R,点M是圆O1:x2+(y-1)2=14上的动点,点N是圆O2:(x-2)2+y2=14上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是 ( )
A.5-1 B.5
C.1 D.2
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在题中横线上)
13.过原点的直线与圆x2+y2-2x-4y+4=0相交所得弦的长为2,则该直线的方程为 .?
14.已知等差数列{an}满足a1=2,且a1,a2,a5成等比数列,则数列{an}的通项公式为 .?
15.设P(x,y)为圆x2+(y-1)2=1上任一点,要使不等式x+y+m≥0恒成立,则实数m的取值范围是 .?
16.等差数列{an}中,公差d≠0,且2a3-a72+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8= .?
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)数列{an}的前n项和记为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上,n∈N*.
(1)求当实数t为何值时,数列{an}是等比数列;
(2)在(1)的结论下,设bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是数列{cn}的前n项和,求Tn.
18.(12分)已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-34.
(1)求直线l的方程;
(2)若直线m与l平行,且点P到直线m的距离为3,求直线m的方程.
19.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,首项为a1,且12,an,Sn成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=log2a2n+1×log2a2n+3,求证:1b1+1b2+1b3+…+1bn<12.
20.(12分)一束光线l自点A(-3,3)发出,射到x轴上,被x轴反射到☉C:x2+y2-4x-4y+7=0上.
(1)求反射光线通过圆心C时,光线l所在直线的方程;
(2)求反射点M横坐标的取值范围.
21.(12分)公差不为0的等差数列{an}的首项为1,且a2,a5,a14构成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1a1+b2a2+…+bnan=1-12n,n∈N*,求{bn}的前n项和Tn.
22.(12分)已知曲线x2+y2+x-6y+3=0上的两点P,Q满足:①关于直线kx-y+4=0对称;②O为坐标原点,OP⊥OQ.求直线PQ的方程.
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1.D [解析] bc<0,所以b与c异号,ac>0,所以a与c同号,所以a与b异号,所以直线的斜率k>0,且直线在y轴上的截距为-cb>0,故直线不过第四象限,故选D.
2.C [解析] 等差数列{an}中,由a10,所以an+1=an+d>an,即an0,所以a3=a1+2d>a1,即a13.A [解析] 由a22=a1a4=(a2-3)(a2+6),解得a2=6,所以a10=a2+8×3=30.
4.A [解析] 直线mx-y+2m+1=0可化为(x+2)m-(y-1)=0,不论m取何值,该直线恒过定点(-2,1).
5.D [解析] 由已知得a4·a6=a2·a8=6,a4+a6=5,
又an+16.C [解析] 将直线方程整理成bx+ay-ab=0,
∵直线与圆相切,
∴|ab|a2+b2=r,即|ab|=r·a2+b2,
故选C.
7.A [解析] 如图,设圆的圆心为C,线段MN的中点为H,连接CH,CN,则△CHN为直角三角形,又|HN|≥3,圆C的半径R=2,故|CH|≤1.
易知圆心C到直线y=kx+3的距离为|CH|=|3k+1|k2+1≤1,解得-34≤k≤0,故k的取值范围是-34,0,故选A.
8.B [解析] 由a1,12a3,2a2成等差数列得a3=a1+2a2,即a1q2=a1+2a1q,从而q2=1+2q,解得q=1±2,又因为各项都是正数,故q=1+2,所以a9+a10a9+a8=q=1+2,故选B.
9.C [解析] 由题意得,圆的圆心坐标为(-2,0),半径r=1.设所求直线为l:y=kx,即kx-y=0,
则|-2k|k2+1=1,∴k=±33.
又∵切点在第三象限且直线l过原点,故k=33,故选C.
10.A [解析] 利用绝对值的定义去掉绝对值,则方程表示4条线段,且4条线段构成边长为2的正方形,故所求面积S=2,故选A.
11.A [解析] 由题意得ak=nk.当n≥2时,ak-1ak=n2(k-1)k=n21k-1-1k,
∴a1a2+a2a3+…+an-1an=n21-12+12-13+…+1n-1-1n=n21-1n=n(n-1).故选A.
12.D [解析] 因为M是圆O1上的点,N是圆O2上的点,两圆的半径都是12,且点P(t,t),t∈R在直线y=x上,所以求|PN|-|PM|的最大值就是求|PO2|+12-|PO1|-12的最大值,即求|PO2|-|PO1|+1的最大值,而|PO2|-|PO1|的最大值是点O1关于直线y=x对称的点(1,0)到O2(2,0)的距离,所以|PO2|-|PO1|+1的最大值是2,即|PN|-|PM|的最大值为2.
13.2x-y=0 [解析] 易知所求直线的斜率存在,设所求直线的方程为y=kx,即kx-y=0.由于直线kx-y=0被圆截得的弦长等于2,圆的半径是1,因此圆心到直线的距离等于12-222=0,即圆心(1,2)位于直线kx-y=0上,于是有k-2=0,即k=2,因此所求直线的方程是2x-y=0.
14.an=2或an=4n-2 [解析] 等差数列{an}满足a1=2,且a1,a2,a5成等比数列,设公差为d,
所以a22=a1a5,即(2+d)2=2×(2+4d),解得d=0或d=4.所以an=2或an=4n-2.
15.[2-1,+∞) [解析] 不等式x+y+m≥0恒成立,
即m≥-(x+y)恒成立,可转化为求x+y的最小值.
令x+y=t,与x2+(y-1)2=1联立,
消去x得2y2-(2+2t)y+t2=0.
由Δ=(2+2t)2-4×2t2≥0得1-2≤t≤1+2,
∴-(x+y)的最大值为2-1,∴m≥2-1.
16.16 [解析] 在等差数列{an}中,由2a3-a72+2a11=0,得2(a3+a11)-a72=0,
即4a7-a72=0,则a7=0或a7=4,
因为{bn}是等比数列,且b7=a7,所以a7=4,
所以b7=4,所以b6b8=b72=16.
17.解:(1)∵点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上,
∴an+1=3Sn+1,an=3Sn-1+1(n>1,n∈N*),
∴an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,
即an+1=4an,n>1.
又a2=3S1+1=3a1+1=3t+1,
∴当t=1时,a2=4a1,此时数列{an}是等比数列.
(2)在(1)的结论下,an+1=4an,an+1=4n,
bn=log4an+1=n,
cn=an+bn=4n-1+n,
则Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)=(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n)=4n-13+n(n+1)2.
18.解:(1)由点斜式方程可知直线l的方程为
y-5=-34[x-(-2)],
即3x+4y-14=0.
(2)设直线m的方程为3x+4y+c=0.
∵点P(-2,5)到直线m的距离为3,
∴|3×(-2)+4×5+c|32+42=3,
整理得|14+c|=15,解得c=1或c=-29.
∴直线m的方程为3x+4y+1=0或3x+4y-29=0.
19.解:(1)∵12,an,Sn成等差数列,∴2an=Sn+12.
当n=1时,2a1=a1+12,∴a1=12;
当n≥2时,Sn=2an-12,Sn-1=2an-1-12,
两式相减得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,
∴anan-1=2.
∴数列{an}是首项为12,公比为2的等比数列,an=a1×2n-1=2n-2.
(2)证明:bn=log2a2n+1×log2a2n+3=log222n-1×log222n+1=(2n-1)(2n+1),
则1bn=12n-1×12n+1=1212n-1-12n+1,
故1b1+1b2+1b3+…+1bn=12×1-13+13-15+…+12n-1-12n+1=121?12n+1<12.
20.解:☉C:(x-2)2+(y-2)2=1.
(1)圆心C关于x轴的对称点为C'(2,-2),过点A,C'的直线的方程为x+y=0,∴光线l所在直线的方程为x+y=0.
(2)点A关于x轴的对称点为A'(-3,-3),设过点A'且存在斜率的直线方程为y+3=k(x+3),当该直线与☉C相切时,
有|2k-2+3k-3|1+k2=1,
解得k=43或k=34,
∴过点A'的☉C的两条切线方程分别为y+3=43(x+3),y+3=34(x+3).
设两条切线与x轴交点的横坐标为x1,x2.
令y=0,得x1=-34,x2=1,
∴反射点M横坐标的取值范围是-34,1.
21.解:(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
∵a2,a5,a14构成等比数列,
∴a52=a2a14,
即(1+4d)2=(1+d)(1+13d),
解得d=0(舍去)或d=2.
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)b1a1+b2a2+…+bnan=1-12n,n∈N*.
当n=1时,b1a1=12;
当n≥2时,bnan=1-12n-1?12n-1=12n.
∴bnan=12n,n∈N*.
由(1)知an=2n-1,n∈N*,
∴bn=2n-12n,n∈N*.
又Tn=12+322+523+…+2n-12n,
12Tn=122+323+…+2n-32n+2n-12n+1,
两式相减得
12Tn=12+222+223+…+22n-2n-12n+1=32-12n-1-2n-12n+1,
∴Tn=3-2n+32n.
22.解:圆的方程可化为x+122+(y-3)2=254,由条件可知,直线kx-y+4=0过圆心-12,3,
∴k=2,kPQ=-12.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),设直线PQ的方程为y=-12x+b,
与圆的方程联立,得x2+y2+x-6y+3=0,y=?12x+b,
∴54x2+(4-b)x+b2-6b+3=0,
∴Δ=(4-b)2-5(b2-6b+3)>0(*),
∴x1x2=b2-6b+354,x1+x2=b-454.
∵OP⊥OQ,
∴x1x2+y1y2=0,即x1x2+-12x1+b-12x2+b=0,
即8b2-22b+15=0,
解得b=32或b=54,代入(*)中满足Δ>0,
因此,直线PQ的方程为y=-12x+32或y=-12x+54.
