单元测评(一)
第一章
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分, 共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知数列
2
,
6
,
10
,
14
,3
2
,…,那么7
2
是这个数列的 ( )
A.第23项 B.第24项
C.第19项 D.第25项
2.如图C1-1是谢宾斯基三角形,在所给的四个三角形图案中,黑色的小三角形个数构成数列{an}的前4项,则{an}的通项公式可以是 ( )
/
图C1-1
A.an=3n-1 B.an=2n-1
C.an=3n D.an=2n-1
3.在正项等比数列{an}中,a5a6=81,则log3a1+log3a2+…+log3a10的值是 ( )
A.2 B.5
C.10 D.20
4.已知数列{an}是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列,则公比q的值为 ( )
A.1或-
1
2
B.1
C.-
1
2
D.-2
5.若Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=n2,则数列{an}是 ( )
A.等比但不是等差数列
B.等差但不是等比数列
C.等差也是等比数列
D.既非等差也非等比数列
6.在等差数列{an}中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为 ( )
A.30 B.27 C.24 D.21
7.设等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1(n∈N*),则
??
1
2
+
??
2
2
+…+
??
??
2
= ( )
A.
1
3
×(4n-1)
B.4n-1
C.(2n-1)2
D.
1
3
×(2n-1)2
8.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于( )
A.13 B.35
C.49 D.63
9.若a,b,c成等比数列,则f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴的交点个数是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.不确定
10.已知数列{an}中,an=
1
??(??+1)
,若{an}的前n项和为
2018
2019
,则项数n为 ( )
A.2015 B.2016
C.2017 D.2018
11.设数列{an}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1a2a3…a30=230,则a3a6a9…a30= ( )
A.210 B.220
C.26 D.215
12.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S15>0,a8+a9<0,则使得an+
??
??
??
<0的最小的n值为 ( )
A.10 B. 11
C.12 D. 13
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在题中横线上)
13.已知数列{an}为等比数列,若a1+a3=5,a2+a4=10,则公比q= .?
14.已知等差数列
??
??
的前n项和为Sn,若a3=4,S3=3,则公差d= .?
15.数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),则S100= .?
16.在等差数列{an}中,Sn为数列{an}的前n项和,若a1>0,S16>0,S17<0,则当n= 时,Sn最大.?
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减2,则新的三个数构成等差数列,求这三个数.
18.(12分)已知数列{an}满足a1=1,a2=-13,an+2-2an+1+an=2n-6.
(1)设bn=an+1-an,求数列{bn}的通项公式;
(2)求n为何值时an最小.
19.(12分)已知数列{an}为递增数列,a1=1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=
??
??
2
-2Sn-1+1(n≥2,n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足bn=
1
??
??
·
??
??+1
,其前n项和为Tn,若Tn>
9
19
成立,求n的最小值.
20.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+n=2an(n∈N*).
(1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足bn=an·log2(an+1)+n(n∈N*),{bn}的前n项和为Tn,试写出Tn的表达式.
21.(12分)已知数列{an}满足a1=1,a1+a2+…+an-1-an=-1(n≥2且n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令dn=1+loga
??
??+1
2
+
??
??+2
2
5
(a>0且a≠1),求证:数列{dn}为等差数列.
22.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=
1
2
,Sn-1=1-2an (n≥2,n∈N*),数列{bn}对任意正整数n均有(bn+1-bn+2)ln a1+(bn+2-bn)ln a3+(bn-bn+1)ln a5=0.
(1)求证:数列{bn}为等差数列;
(2)若b1=2,b2=3,xn =a1 b1 + a2 b2 +…+anbn,试求数列{xn}的通项公式.
单元测评(二)
1.B [解析] 由已知得xB-xA=2.5,xC-xB=-3,且xA=0,两式相加得xC-xA=-0.5,即xC=-0.5.
2.D [解析] 因为直线l的方程为x-1=0,所以直线l的倾斜角为90°,故选D.
3.C [解析] 由题意设点C的坐标为(0,y,z),则
1+(??-2
)
2
+(??-2
)
2
=
1+(??+3
)
2
+(??-1
)
2
,即(y-2)2+(z-2)2=(y+3)2+(z-1)2.经检验知,只有选项C满足上式.
4.A [解析] 由题意得,过两点(-1,1)和(3,9)的直线方程为y=2x+3.令y=0,得x=-
3
2
,∴直线在x轴上的截距为-
3
2
.
5.D [解析] 由题意得1×2-m(m+1)=0,即m2+m-2=0,解得m=-2或m=1.经检验知,均满足题意.
/
6.B [解析] 不妨以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示.由图可知,kAB=
3
,kAC=-
3
,∴kAB+kAC=0.
7.C [解析] ∵点P(a,b)(ab≠0)在圆x2+y2=r2(r>0)内,∴a2+b20)的圆心为O(0,0),故由题意得OP⊥m,又kOP=
??
??
,∴km=-
??
??
,∵直线l的斜率kl=-
??
??
=km,圆心O到直线l的距离d=
??
2
??
2
+
??
2
>
??
2
??
=r,∴m∥l,l与圆相离.故选C.
8.C [解析] 由圆的标准方程(x+1)2+y2=2,知圆心坐标为(-1,0),故圆心到直线y=x+3,即x-y+3=0的距离d=
|-1-0+3|
2
=
2
.
9.A [解析] 由题意知,点P在线段AB的垂直平分线x=2上.由
??=2,
??-??+1=0,
得y=3,∴P(2,3).在x-y+1=0中,令y=0,得x=-1,∴A(-1,0).又∵点A,B关于直线x=2对称,∴B(5,0),∴直线PB的方程为
??
3?0
=
??-5
2?5
,即x+y-5=0.
10.C [解析] 由题意得,点P(-1,2)在直线ax+by-3=0上,∴-a+2b-3=0,即a=2b-3.
圆x2+y2+4x-1=0的圆心坐标为(-2,0),半径r=
5
,∴
|-2??-3|
??
2
+
??
2
=
5
,
∴a2-12a+5b2-9=0.
由
??=2??-3,
??
2
-12??+5
??
2
-9=0,
解得
??=1,
??=2.
故ab=2.
11.C [解析] 圆x2+y2-4x+2y+1=0的圆心坐标为(2,-1),半径为2,圆x2+y2+4x-4y-1=0的圆心坐标为(-2,2),半径为3,故两圆外切,即两圆有3条公切线.
/
12.B [解析] 如图所示,圆的半径|OA|=3.6 m.卡车宽1.6 m,∴|AB|=0.8 m,∴弦心距|OB|=
3.
6
2
-0.
8
2
≈3.5(m).
13.-2或8 [解析] 由题意得
|6-4??+6|
3
2
+(?4
)
2
=4,
∴k=-2或k=8.
14.(x-2)2+y2=10 [解析] 由题意知,圆的半径r=|AB|=
(-1-2
)
2
+(1?0
)
2
=
10
,∴圆的方程为(x-2)2+y2=10.
15.充要 [解析] 若直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行,则有a2=1,即a=±1.当a=-1时,两条直线重合,舍去,因此a=1.故“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的充要条件.
16.4x-3y+5=0或4x-3y-5=0 [解析] 由题意可设直线l的方程为y=
4
3
x+b.令x=0,得y=b,令y=0,得x=-
3
4
b.故三角形的周长为|b|+
3
4
|b|+
5
4
|b|=5,解得b=±
5
3
,故所求直线方程为4x-3y+5=0或4x-3y-5=0.
17.解:当斜率k不存在时,不合题意.设直线l的斜率为k,
则k<0,l的方程为y-2=k/x-
4
3
/.
令x=0,得y=2-
4
3
k;
令y=0,得x=
4
3
-
2
??
.
由S△AOB=
1
2
/2-
4
3
k//
4
3
-
2
??
/=6,
解得k=-3或k=-
3
4
.
故直线l的方程为y-2=-3/x-
4
3
/或y-2=-
3
4
/x-
4
3
/,
即3x+y-6=0或3x+4y-12=0.
18.解:由题意,设所求直线的方程为y-2=k(x+2).令x=0,得y=2k+2,令y=0,得x=-2-
2
??
.由题设条件得
1
2
/-2-
2
??
/·|2k+2|=1,
∴2(k+1)2=|k|,
∴
??>0,
2
??
2
+3??+2=0
或
??<0,
2
??
2
+5??+2=0,
解得k=-2或k=-
1
2
,
∴所求直线的方程为2x+y+2=0或x+2y-2=0.
19.解:由
??=?2??+??,
??
2
+
??
2
+2??=0,
得
5x2-4(m+1)x+m2+2m=0,
则Δ=16(m+1)2-20(m2+2m)=-4[(m+1)2-5].
(1)当直线与圆相交时,有Δ>0,
即(m+1)2-5<0,
解得-1-
5
5
.
(2)当直线与圆相切时,有Δ=-4[(m+1)2-5]=0,
解得m=-1±
5
.
(3)当直线与圆相离时,有Δ<0,
即(m+1)2-5>0,
解得m<-1-
5
或m>-1+
5
.
20.解:由圆C1:(x-2)2+(y+1)2=4,知圆心为C1(2,-1),则过点A(4,-1)和圆心C1(2,-1)的直线的方程为y=-1.设圆C2的圆心坐标为(x0,-1),由|AC2|=1,即|x0-4|=1,得x0=3或x0=5,∴圆C2的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.
21.解:(1)设两圆的半径分别为r1,r2,则O1(-3,0),r1=
13
,O2(0,-3),r2=
37
.易知|O1O2|=3
2
,满足|r1-r2|<|O1O2|(2)圆心O1(-3,0)到直线x-y+4=0的距离d=
|-3-0+4|
1
2
+(?1
)
2
=
2
2
,故公共弦长l=2
(
13
)
2
-
2
2
2
=5
2
.
22.解:(1)∵圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线x-
3
y-8=0相切,
∴圆心O到该直线的距离d1=
|-8|
1
2
+(?
3
)
2
=4,
∴圆O的方程为x2+y2=16.
若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-2,
此时直线l截圆O所得弦长为4
3
,符合题意;
若直线l的斜率存在,
设直线l的方程为y-
6
=k(x+2),
由题意知,圆心O到直线l的距离d2=
|2??+
6
|
??
2
+(?1
)
2
=2,
解得k=-
6
12
,
此时直线l的方程为x+2
6
y-10=0.
故直线l的方程为x=-2或x+2
6
y-10=0.
(2)证明:由题意知,M(4,0),
设直线MA:y=k1(x-4),
将直线MA的方程与圆O的方程联立,
得
??=
??
1
(??-4),
??
2
+
??
2
=16,
消去y得(1+
??
1
2
)x2-8
??
1
2
x+16
??
1
2
-16=0,
∴xMxA=
16(
??
1
2
-1)
1+
??
1
2
,
∴xA=
4(
??
1
2
-1)
1+
??
1
2
,yA=
-8
??
1
1+
??
1
2
.
∵k1·k2=-3,
∴用-
3
??
1
换掉k1得到B点坐标,
∴xB=
36?4
??
1
2
9+
??
1
2
,yB=
24
??
1
9+
??
1
2
,
∴直线AB的方程为y+
8
??
1
1+
??
1
2
=
4
??
1
3?
??
1
2
/x-
4
??
1
2
-4
1+
??
1
2
/,
整理得y=
4
??
1
3?
??
1
2
(x-2),
则直线AB过定点(2,0).
