第二课时 ３.１不等关系与不等式（二）
一、教学目标
（1）使学生掌握常用不等式的基本基本性质；
（2）会将一些基本性质结合起来应用.
（3）学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系；
二、教学重、难点
重点：理解不等式的性质及其证明.
难点：利用不等式的基本性质证明不等式。
三、教学过程
（一）复习提问
1、比较两实数大小的理论依据是什么？
2、“作差法”比较两实数的大小的一般步骤.
3、初中我们学过的不等式的基本性质是什么?
基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.
基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
其数学含义：
(1)若a＞b， 则a＋c＞b＋c，a－c＞b－c；
(2)若a＞b，c＞0，则ac＞bc，＞；
(3)若a＞b，c＜0，则ac＜bc，＜..
（二）新授
常用的不等式的基本性质
（1） （对称性） （2） （传递性）
（3） （可加性）
（4）； （可乘性）
（5）（同向不等式的可乘性）
（6） （可乘方性、可开方性）
例1：已知求证：
例2：如果30＜x＜42，1６＜y＜24，求x＋y，x－2y及的取值范围.
∵30＜x＜42，1６＜y＜24 ∴－4８＜－2y＜－32，
∴30＋1６＜x＋y＜42＋24 即4６＜x＋y＜６６；
∴30－4８＜x－2y＜42－32 即－1８＜x－2y＜10；
例3．已知，求的取值范围。
（三）随堂练习1、教材P74面第3题
2、回答下列问题：
(1)如果a＞b，c＞d，是否可以推出ac＞bd?举例说明；
(2)如果a＞b，c＜d，且c≠0，d≠0，是否可以推出？举例说明.
3．若，则下列不等式总成立的是（ C ）
A． B。 C。 D。
4．有以下四个条件：（3）；（4）
其中能使成立的有 3 个
5．若a、b、c，a>b,则下列不等式成立的是（ C ）
A． B． C． D．
6．，则的取值范围是（ B ）
A． B．
C． D．
（四）小结：不等式的性质及其证明，利用不等式的基本性质证明不等式。
（五）作业：《习案》作业二十二
课件28张PPT。3.1 不等关系与
不等式(二)复习引入1. 比较两实数大小的理论依据是什么?2. “作差法”比较两实数的大小的一般
步骤?3. 初中我们学过的不等式的基本性质是
什么?复习引入3. 初中我们学过的不等式的基本性质是
什么?复习引入基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同
一个数或同一个整式，不等号的方向不变.3. 初中我们学过的不等式的基本性质是
什么?复习引入基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同
一个数或同一个整式，不等号的方向不变.基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一
个正数，不等号的方向不变.3. 初中我们学过的不等式的基本性质是
什么?复习引入基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一
个负数，不等号的方向改变.基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同
一个数或同一个整式，不等号的方向不变.基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一
个正数，不等号的方向不变.(1) 若a＞b，则a＋c＞b＋c，a－c＞b－c；复习引入数学含义(2) 若a＞b，c＞0，则ac＞bc，(3) 若a＞b，c＜0，则ac＜bc，讲授新课常用的基本不等式的性质讲授新课常用的基本不等式的性质(对称性)讲授新课常用的基本不等式的性质(对称性)(传递性) 讲授新课常用的基本不等式的性质(对称性)(传递性) (可加性)讲授新课常用的基本不等式的性质(对称性)(传递性) (可加性)(可乘性)讲授新课常用的基本不等式的性质(同向不等式的可乘性)讲授新课常用的基本不等式的性质(同向不等式的可乘性)(可乘方性、可开方性)讲解范例:例1. 讲解范例:例2. 如果30＜x＜42，16＜y＜24，
求x＋y，x－2y及 的取值范围.讲解范例:例3. 练习:1. 教材P.74练习第3题.2. 回答下列问题：
(1)如果a＞b, c＞d, 是否可以推出ac＞bd?
举例说明；
(2)如果a＞b, c＜d, 且c≠0, d≠0, 是否可
以推出 ?举例说明.练习:3. 若a＞b＞0 ，则下列不等式总成立的
是 ( C )练习:3. 若a＞b＞0 ，则下列不等式总成立的
是 ( C )练习:其中能使 成立的有________个.4. 有以下四个条件：
(1) b＞0＞a； (2) 0＞a＞b；
(3) a＞0＞b； (4) a＞b＞0.练习:其中能使 成立的有________个.34. 有以下四个条件：
(1) b＞0＞a； (2) 0＞a＞b；
(3) a＞0＞b； (4) a＞b＞0.练习:5. 若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式
成立的是 ( C )练习:5. 若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式
成立的是 ( C )练习:练习:B课堂小结 不等式的性质及其证明，利用
不等式的基本性质证明不等式.2. 《习案》作业二十二.1. 阅读教材P.72-P. 74；课后作业双基限时练(十七)
1．设a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A．ab>bc B．ac>bc
C．ab>ac D．a|b|>c|b|
解析 由题设，知a>0，c<0，且b>c，∴ab>ac.
答案 C
2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
解析 借助数轴：
∴a>－b>b>－a.
答案 C
3．已知a
A．|b|<－a B．ab>0
C．ab<0 D．|a|<|b|
解析 由条件a∴|a|＝－a，∴a∴|b|<|a|＝－a.故A正确．
答案 A
4．若α，β满足－<α≤β≤，则α－β的取值范围是( )
A．－π≤α－β<0 B．－π<α－β≤0
C．－π<α－β<π D．－π≤α－β≤π
解析 ∵－<α≤β≤，
∴－<α≤，－≤－β<.
∴－π<α－β<π，又α－β≤0，
∴－π<α－β≤0.
答案 B
5．已知a，b，c，d∈R且ab>0，－<－，则( )
A．bcad
C.> D.<
解析 ∵ab>0，－<－，∴－bc<－ad，∴bc>ad.
答案 B
6．给出下列命题：①a>b?ac2>bc2；②a>|b|?a2>b2；③a>b?a3>b3；④|a|>b?a2>b2.
其中正确的命题是________．
解析 当c＝0时，①错；
∵a>|b|≥0?a2>b2，∴②正确；
∵a>b?a3>b3，∴③正确；
当b<0时，④错．
答案 ②③
7．给出四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.能推得<成立的是________．
解析 ①b>0>a?<；
②0>a>b，则ab>0，∴>；
④a>b>0，则ab>0，∴>.
答案 ①②④
8．如图所示的程序框图是将一系列指令和问题用框图的形式排列而成，箭头将告诉你下一步到哪一个框图，阅读下边的程序框图，并回答下面的问题：
(1)若a>b>c，则输出的是__________；
(2)若a＝，b＝，c＝log32，则输出的数是__________．
解析 该程序框图的功能是输出a，b，c中的最大者．
∵a3＝，b3＝<，∴a>b，又3b＝2，
而3c＝3log32＝log38<2，∴b>c，∴a>b且a>c，
∴输出a.
答案 (1)a (2)a
9．已知α∈，β∈，求α－2β的范围．
解 ∵<β<π，∴－2π<－2β<－π.
又0<α<，∴－2π<α－2β<－.
10．已知f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．
解 由令f(3)＝9a－c＝mf(1)＋nf(2)，
知m＝－，n＝.∴f(3)＝f(2)－f(1)．
∵－1≤f(2)≤5，∴－≤f(2)≤.
又－4≤f(1)≤－1，∴≤－f(1)≤.
∴－1≤f(2)－f(1)≤20.即－1≤f(3)≤20.
11．已知1(1)2a＋b；
(2)a－b；
(3).
解 (1)∵1∴5<2a＋b<8.
(2)∵3∴－3(3)∵3又112．已知三个不等式①ab>0，②>，③bc>ad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，能否组成正确的命题？若能，能组成几个？写出所有正确的命题；若不能，说明理由．
解 ∵②>?>0，
③bc>ad?bc－ad>0.
根据实数的符号法则有：
①②?③，①③?②，②③?①.
故能组成三个正确命题，它们分别是：
?bc>ad，
?>，
?ab>0.
第2课时 不等式的性质
1．掌握不等式的性质及各自成立的条件．
2．能利用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．
1．关于实数大小的比较
(1)事实：如果a－b是____数，那么a＞b；如果a－b等于____，那么a＝b；如果a－b是____数，那么a－b＜0，反过来也成立．
(2)符号表示：
a－b＞0____；
a－b＝0____；
a－b＜0____.
(3)说明：“”表示“等价于”，即“”两边可以互相推出．[来源:学科网ZXXK]
(4)作用：比较__________大小或证明不等式．
【做一做1】 已知x∈R，则x2＋2与2的大小关系是( )
A．x2＋2＞2 B．x2＋2≥2
C．x2＋2＜2 D．x2＋2≤2
2．不等式的性质
(1)对称性
文字语言
不等式两边互换后，再将不等号改变方向，所得不等式与原不等式等价
符号语言
a＞b____
作用
写出与原不等式等价且异向的不等式
证明：∵a＞b，∴a－b＞0.
由正数的相反数是负数，得－(a－b)＜0.
即b－a＜0，∴b＜a.
同理可证，如果b＜a，那么a＞b.
【做一做2－1】 与m≥(n－2)2等价的是( )
A．m≤(n－2)2 B．(n－2)2≥m
C．(n－2)2≤m D．(n－2)2＜m
(2)传递性
文字语言
如果第一个量大于第二个量，第二个量大于第三个量，那么第一个量大于第三个量
符号语言
a＞b，b＞c____
变形
a≥b，b≥ca≥c；
a＜b，b＜ca＜c；
a≤b，b≤ca≤c
作用
比较大小或证明不等式
①该性质不能逆推，如a＞ca＞b，b＞c.
②此性质可推广为a1＞a2，a2＞a3，a3＞a4，…，an－1＞ana1＞an.
③此性质说明不等式具有传递性，它是不等关系传递的基础．
【做一做2－2】 已知a＝log32，b＝log2，则有( )
A．a＝b B．a＜b
C．a＞b D．a≥b
(3)可加性
文字语言
不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式____．
符号语言
a＞ba＋c＞____
变形
a＜ba＋c＜b＋c
a≤ba＋c≤b＋c
a≥ba＋c≥b＋c
作用
不等式的移项，等价变形
①证明：∵(a＋c)－(b＋c)＝a－b＞0，
∴a＋c＞b＋c.
②本性质可以逆推，可推广为
a＞ba＋c＞b＋c.
【做一做2－3】 不等式x2＋x＞3可变为( )
A．x2＞3＋x B．x2＋x＋3＞0
C．x2＋x－3＜0 D．x2＋x－3＞0
(4)加法
文字语言
两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式____．
符号符言
a＞b，c＞da＋c＞b＋d
变形
a＜b，c＜da＋c＜b＋d
a≥b，c≥da＋c≥b＋d
a≤b，c≤da＋c≤b＋d
作用
由已知同向不等式推出其他不等式
①证明：a＋c＞b＋d.[来源:Z。xx。k.Com]
②此性质可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加，即两个或两个以上的同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向．
③两个同向不等式只能两边同时分别相加，而不能两边同时分别相减．
④该性质不能逆推，如a＋c＞b＋da＞b，c＞d.
【做一做2－4】 已知a＜b，则有( )
A．a＋1＜b＋2 B．a＋1≤b＋2
C．a＋1＞b＋2 D．a－1＞b－2
(5)可乘性
文字语言
不等式的两边都乘以正数时，不等号的方向____；都乘以负数时，不等号的方向一定要____．
符号语言
a＞b，c＞0______
a＞b，c＜0______
变形
a≥b，c＞0ac≥bc
a≥b，c＜0ac≤bc
a＜b，c＞0ac＜bc
a＜b，c＜0ac＞bc
a≤b，c＞0ac≤bc
a≤b，c＜0ac≥bc
作用
不等式的同解变形
①证明：ac－bc＝(a－b)c.
∵a＞b，∴a－b＞0.
根据同号相乘得正，异号相乘得负，得当c＞0时，(a－b)c＞0，即ac＞bc；当c＜0时，(a－b)c＜0，即ac＜bc.
②该性质不能逆推，如ac＞bca＞b.
③ac＞bca＞b，c＞0或a＜b，c＜0.
④不等式两边仅能同乘以(或除以)一个符号确定的非零实数．
【做一做2－5】 已知a＞b，则( )
A．3a＞3b B．－2a＞－2b
C．－a＞－b D．－11a＞－11b
(6)乘法
文字语言
两边都是正数的两个同向不等式相乘，所得的不等式与原不等式____．
符号语言
a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd
作用
两个不等式相乘的变形
①证明：∵a＞b＞0，c＞0，
∴ac＞bc.
∵c＞d＞0，b＞0，
∴bc＞bd.
∴ac＞bd.
②这一性质可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，这就是说，两个或更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向．
③a＞b＞0，c＜d＜0ac＜bd；a＜b＜0，c＜d＜0ac＞bd.
④该性质不能逆推，如ac＞bda＞b，c＞d.
【做一做2－6】 已知a＞b＞0，则有( )
A．3a＜2b B．3a＝2b
C．3a＞2b D．3a与2b大小不确定
(7)乘方
文字语言
当不等式的两边都是____时，不等式两边同时乘方所得的不等式与原不等式____．
符号语言
a＞b＞0?______(n∈N，且n≥2)
作用
不等式两边的乘方变形
【做一做2－7】 已知m＞n＞0，则下列不等式不成立的是( )
A．m2＞n2 B．m3＞n3
C．m4＞n4 D．m－2＞n－2
(8)开方
文字语言
当不等式的两边都是正数时，不等式两边开方所得的不等式与原不等式____
符号语言
a＞b＞0________(n∈N且n≥2)
作用
不等式两边的开方变形
【做一做2－8】 已知m＞n＞0，则下列不等式不成立的是( )
A.＞ B.＞
C.＞ D.＜
答案：1．(1)正 零 负 (2)a＞b a＝b a＜b (4)两个代数式
【做一做1】 B
2．(1)b＜a
【做一做2－1】 C
(2)a＞c
【做一做2－2】 C
(3)同向 b＋c
【做一做2－3】 D[来源:学科网ZXXK]
(4)同向
【做一做2－4】 A
(5)不变 改变 ac＞bc ac＜bc
【做一做2－5】 A
(6)同向
【做一做2－6】 C
(7)正数 同向 an＞bn
【做一做2－7】 D
(8)同向 ＞
【做一做2－8】 D
不等式变形应注意的问题
剖析：(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a≤b，b＜ca＜c.
(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”．例如当c≠0时，有a＞bac2＞bc2；若无c≠0这个条件，则a＞bac2＞bc2就是错误结论(因为当c＝0时，取“＝”)．
(3)“a＞b＞0an＞bn＞0(n∈N，n＞1)”成立的条件是“n为大于1的自然数，且a＞b＞0”．假如去掉“n为大于1的自然数”这个条件，取n＝－1，a＝3，b＝2，那么就会出现3－1＞2－1，即＞的错误结论；假如去掉“b＞0”这个条件，取a＝3，b＝－4，n＝2，那么就会出现32＞(－4)2的错误结论．
(4)以后经常用到“不等式取倒数”的性质：a＞b，ab＞0＜，应在会证明的基础上理解记忆．
题型一 比较大小
【例题1】 比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2＋3与3x；
(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
分析：我们知道，a－b＞0a＞b，a－b＜0a＜b，因此，若要比较两式的大小，只需作差并与0作比较即可．
反思：比较两个代数式大小的步骤：
(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
(2)变形：对差进行变形；
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
(4)作出结论．
这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．
题型二 证明不等式
【例题2】 已知a＞b＞0，d＞c＞0，求证：＞.
分析：转化为证明－＞0.[来源:学科网ZXXK]
反思：证明不等式成立的策略是转化为比较不等式两边的大小，即作差比较法，只需判断两边差的符号即可．
题型三 易错辨析
【例题3】 已知＞，bc＞ad，求证：ab＞0.
错解：由得＞，
所以＞，所以ab＞0.
因为＞，所以＞，所以－＞0.
所以ab＞0.
错因分析：推理过程中有两次错误：第一，两个同向不等式相乘，忽略了均大于0才可相乘这一条件；第二，由＞得＞时，应满足＞＞0，但本题没有这一条件．
反思：由于同向不等式可以相加，所以就认为同向不等式也可相乘，这样就忽略了相乘的前提：不等式两边都是正数，从而导致错误．
答案：【例题1】 解：(1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3
＝2＋≥＞0，
∴x2＋3＞3x.
(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b)，
∵a＞0，b＞0，且a≠b，
∴(a－b)2＞0，a＋b＞0.
∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，
即a3＋b3＞a2b＋ab2.
【例题2】 证明：－＝.
∵a＞b＞0，d＞c＞0，
∴ad＞bc，cd＞0，即ad－bc＞0，cd＞0.
∴－＞0，即＞.
【例题3】 正解：由得
所以所以ab＞0.
1设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是( )
A．a2＜b2 B．ab2＜a2b
C. D.
2若a＞b与同时成立，则有( )
A．a＞b＞0 B．a＞0＞b
C. D.＜0
3比较以下两组数的大小．
(1)2＋与4；
(2)与.
4已知f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，x∈R，试比较f(x)与g(x)的大小．
5已知c＞a＞b＞0，求证：.
答案：1．C 2.B
3．解：(1)＝.
∵7＞4，∴＞2.
∴＞0.∴＞4.
(2)∵＝，[来源:学§科§网]
∴.
∴.
4．解：f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝3x2－x＋1－2x2－x＋1＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
∵x∈R，∴(x－1)2≥0.
∴(x－1)2＋1＞0.∴f(x)＞g(x)．
5．证明：
＝.
∵c＞a＞b＞0，∴c－a＞0，c－b＞0，a－b＞0.
∴.∴.
课件11张PPT。脑筋急转弯
有两对父子，为什么只有3个人呢？有请祖孙三代上场：我今年a岁,爸爸今年b岁,则我们的年龄大小关系为_____a﹤b爸爸今年b岁,爷爷今年c岁，则爸爸爷爷的年龄大小关系为____b﹤c你能说出我和爷爷年龄的大小关系吗？a﹤c同向可加性倒
数
法
则典型例题典型例题典型例题课件7张PPT。比较2m2+3m-1与m2+4m-1的大小关系设a<0, -1课后作业书本P75，习题3.1
1、将九条性质抄写在作业本上
2、B组 第1、2题
