课件13张PPT。3.2一元二次不等式
及其解法(三)复习引入yxO复习引入yxO复习引入ax2＋bx＋c＞0对一切x∈R都成立的条件
为ax2＋bx＋c＜0对一切x∈R都成立的条件
为结论：；.讲授新课例1. 解不等式mx2－2x＋1＞0.讲授新课例2. 已知关于x的不等式x2－mx＋n≤0的
解集是{x| －5≤x≤1}，求实数m、n之值.讲授新课例3. 已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为
{x| 2＜x＜3}，求不等式cx2－bx＋a＞0的
解集.讲解范例:例4. 已知一元二次不等式
(m－2)x2＋2(m－2)x＋4＞0的解集为R，
求m的取值范围．讲解范例:1. 已知二次函数y＝(m－2)x2＋2(m－2)x＋4
的值恒大于零，求m的取值范围．变式. 2. 已知一元二次不等式(m－2)x2＋2(m－2)x
＋4≤0 的解集为?， 求m的取值范围．讲解范例:例5. 若函数中自变量x的取值范围是一切实数，求k的取值范围.思考题: 若不等式mx2－2x＋1－m＜0对满足
－2≤m≤2的所有m都成立，求实数x的
取值范围.课堂小结1．从不等式的解集出发求不等式中
参数的值或范围的问题；
2．一元二次不等式恒成立的问题.课后作业2. 《习案》作业二十五.1. 阅读教材P.76-P. 79；课件11张PPT。3.2一元二次不等式
及其解法(二)复习引入一元二次不等式的解法讲授新课例1. 某种汽车在水泥路面上的刹车距离
sm和汽车车速xkm/h有如下关系：在一次交通事故中，测得这种车的刹车
距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前
的车速至少为多少？讲授新课例1. 某种汽车在水泥路面上的刹车距离
sm和汽车车速xkm/h有如下关系：在一次交通事故中，测得这种车的刹车
距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前
的车速至少为多少？变式：若车速为80km/h，司机发现前方
50m的地方有人，问汽车是否会撞上人？讲解范例:例2. 一个车辆制造厂引进一条摩托车整车
装配线，这条线生产的摩托车数量x(辆)与
创造的价值y(元)之间有如下的关系：
y＝－2x2＋220x.
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流
水线创6000元以上，那么它在一个星期内
大约应该生产多少辆摩托车？讲解范例:例3. 求下列函数的定义域.讲解范例:例4. 解不等式讲解范例:例4. 解不等式变式：若关于x的不等式 的解集
为(－∞,－1]∪(4,＋∞)，则实数a＝_____. 讲解范例:例5. 设则f (x)＞2的解集为_______________.课堂小结 运用不等式解实际问题时，要
注意：不大于、不小于、不超过等
字眼.课后作业2. 《习案》作业二十四.1. 阅读教材P.76-P. 79；3.2 一元二次不等式及其及解法(三)
一、教学目标
（1）掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法；
（2）从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题；
（3）从二次函数或是一元二次方程的角度，来解决一元二次不等式的综合题．
二、教学重点，难点
从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题，掌握一元二次不等式恒成立的解题思路．
三、教学设计
（一）复习引入
1、 列表复习一元二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的关系：
2、由上表引导学生观察出：对一切都成立的条件为：
对一切都成立的条件为：
（二）典例分析
例1．解不等式
例2．已知关于的不等式的解集是，求实数之值．
例3．已知不等式的解集为求不等式的解集．
解：由题意 ， 即．代入不等式得：
．即，
所求不等式的解集为．
例4．已知一元二次不等式的解集为，求的取值范围．
解：为二次函数，
二次函数的值恒大于零，即的解集为．
， 即 ，解得：
的取值范围为
变式：
1．已知二次函数的值恒大于零，求的取值范围．
2．已知一元二次不等式的解集为,求的取值范围．
例5．若函数中自变量的取值范围是一切实数，求的取值范围
解：中自变量的取值范围是， 恒成立．
故的取值范围是．
思考题：若不等式对满足的所有都成立，求实数的取值范围．
解：已知不等式可化为．
设，这是一个关于的一次函数（或常数函数），从图象上看，
要使在时恒成立，其等价条件是：
即 解得 ．
所以，实数的取值范围是 ．
四、课堂小结：
1．从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题；
2．一元二次不等式恒成立的问题
五、作业：《习案》作业二十五
第二课时 一元二次不等式及其解法（2）
一、教学目标
1.知识与技能: 应用一元二次不等式解决日常生活中的实际问题；能用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来；
2.过程与方法:通过学生对一元二次不等式的解法的理解，利用计算机将数学知识用程序表示出来；
3.情态与价值：培养学生通过日常生活中的例子，找到数学知识规率，从而在实际生活问题中数形结合的应用以及计算机在数学中的应用。
二、教学重、难点
重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想；
难点：理解一元二次不等式的应用。
三、教学流程：
（一）复习：一元二次不等式的解法
（二）举例分析
例1．某种汽车在水泥路面上的刹车距离sm和汽车车速km/h有如下关系：
。在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5cm，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？
变式：若车速为80km/h，司机发现前方50m的地方有人，问汽车是否会撞上人？
例2．一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配线，这条线生产的摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间有如下的关系：，若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
例3．求下列函数的定义域 ：（1） （2）
例4．解不等式
变式：若关于的不等式的解集为则实数a=
例5．设 则不等式的解集为
（三）小结：运用不等式解实际问题时，要注意：不大于、不小于、不超过等字眼。
（四）作业：《习案》作业二十四。
第2课时 一元二次不等式的应用
1．复习巩固一元二次不等式的解法．
2．能利用一元二次不等式解决实际应用问题．
3．初步掌握一元二次方程根的分布的讨论．
1．一元二次不等式的解集[来源:学科网ZXXK]
Δ＝b2－4ac
(a＞0)
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c
的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
的根
有两个相异实根
x1，x2(x1＜x2)
有两个相等实根
x1＝x2＝－
无实根
ax2＋bx＋c＞0
的解集
____________[来源:学科网]
____________
R
ax2＋bx＋c≥0[来源:学科网ZXXK]
的解集
{x|x≤x1
或x≥x2}
R
R
ax2＋bx＋c＜0
的解集
{x|x1＜x＜x2}
__
ax2＋bx＋c≤0
的解集
{x|x1≤x≤x2}
【做一做1】 不等式－6x2－x＋2≤0的解集是( )
A. B.
C. D.
2．用程序框图表示一元二次不等式的求解过程
用一个程序框图来描述求解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的算法过程：
【做一做2】 集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|(x－2)·(x－5)＜0}，则A∩B＝__________.
答案：1.
【做一做1】 B
【做一做2】 {x|2＜x＜3}
一元二次方程的根的分布讨论
剖析：关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，判别式Δ＝b2－4ac.
(1)定理1：方程没有实数根Δ＜0.
定理2：方程有两个相等的实数根Δ＝0.
定理3：方程有两个不相等的实数根Δ＞0.
定理4：方程有实数根Δ≥0.[来源:学科网]
(2)设一元二次方程的两个实根为x1，x2，且x1≤x2.
定理5：x1＞0，x2＞0
定理6：x1＜0，x2＜0
定理7：x1＜0＜x2＜0.
定理8：x1＝0，x2＞0c＝0且＜0；
x1＜0，x2＝0c＝0且＞0.
题型一 求参数的取值范围
【例题1】 关于x的一元二次方程x2－mx＋m＝0没有实数根，求实数m的取值范围．
分析：根据一元二次方程x2－mx＋m＝0没有实数根列出m满足的条件(一元二次不等式)，解不等式得到实数m的取值范围．
反思：已知一元二次方程的根的分布求参数的取值范围的步骤：(1)利用一元二次方程根的分布情况列出参数满足的条件——不等式(组)；(2)解不等式(组)得参数的取值范围．
题型二 实际应用题
【例题2】 政府收购某种农产品的原价是100元/担，其中征税标准为每100元征10元(叫做税率为10个百分点，即10%)，计划收购a万担；为了减轻农民的负担，现决定将税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点．要使此项税收在税率调节后不低于原计划的83.2%，试确定x的取值范围．
分析：税收＝征税总额×税率，先建立税收随税率降低的百分点x变化的函数关系，再用不等式表示不等关系即可．
反思：解不等式应用题，一般可按以下步骤进行：
(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；
(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；
(3)解不等式；
(4)给出实际问题的解．
题型三 易错辨析
【例题3】 关于x的方程ax2－x－a－1＝0仅有一个实数根，求实数a的值．
错解：由于关于x的方程ax2－x－a－1＝0仅有一个实数根，则实数a满足Δ＝1－4a(－a－1)＝0，解得a＝－.
错因分析：当a＝0时，关于x的方程ax2－x－a－1＝0不是一元二次方程，此时不存在判别式Δ，因此需要对实数a是否等于0进行分类讨论．
反思：讨论关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的分布时，要讨论x2的系数a是否为0，否则易漏解(如本题错解)．
答案：【例题1】 解：由于关于x的一元二次方程x2－mx＋m＝0没有实数根，则实数m满足Δ＝(－m)2－4m＜0，
解得0＜m＜4，
即实数m的取值范围是(0,4)．
【例题2】 解：税率降低x个百分点，则收购量可增加为a万担，征税总额增加为100×a元，税率变为.
由题意，得100×a×≥100×a×10%×83.2%，即x2＋40x－84≤0，
解得－42≤x≤2，所以0＜x≤2.
即x的取值范围是(0,2]．
【例题3】 正解：当a＝0时，关于x的方程ax2－x－a－1＝0为－x－1＝0，解得x＝－1，即a＝0满足题意．
当a≠0时，关于x的方程ax2－x－a－1＝0是一元二次方程，则实数a满足Δ＝1－4a(－a－1)＝0，解得a＝－.
综上所得，a＝0或－.
1(2011·吉林长春高三调研)已知集合A＝{x||2x＋1|＞3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}，则A∩B＝( )
A．[－3，－2)∪(1,2] B．(－3，－2]∪(1，＋∞)
C．(－3，－2]∪[1,2) D．(－∞，－3)∪(1,2]
2若关于x的一元二次方程x2－(t＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根，则实数t的取值范围是__________．
3某地每年销售木材约20万m3，每m3价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量能减少万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．
4若关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x＋m＋5＝0的实数根均是正数，则实数m的取值范围是__________．
5你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形吗？
答案：1．A 2.(－∞，－5)∪(1，＋∞) 3.[3,5] 4.(－5，－1]
5．解：设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x)m，且0＜x＜50.
由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)＞600，
即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30.
所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．
§3.2 一元二次不等式及其解法(二)
【课时目标】
1．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．
2．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．
1．一元二次不等式的解集：
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
x1
Δ＝0
Δ<0
ax2＋bx＋c>0
(a>0)
{x|x< x1或x>x2}
{x|x∈R且x≠－}
R
ax2＋bx＋c<0
(a>0)
{x|x1?
?
2．节分是不等式的同解变形法则：
(1)>0?f(x)·g(x)>0；
(2)≤0?；
(3)≥a?≥0.
3．处理不等式恒成立问题的常用方法：
(1)一元二次不等式恒成立的情况：
ax2＋bx＋c>0 (a≠0)恒成立?；
ax2＋bx＋c≤0 (a≠0)恒成立?.
(2)一般地，若函数y＝f(x)，x∈D既存在最大值，也存在最小值，则：
a>f(x)，x∈D恒成立?a>f(x)max；
a一、选择题
1．不等式>0的解集是( )
A．(－3,2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
答案 C
解析 解不等式>0得，x>2或x<－3.
2．不等式(x－1)≥0的解集是( )
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x＝－2} D．{x|x≤－2或x＝1}
答案 C
解析 当x＝－2时，0≥0成立．当x>－2时，原不等式变为x－1≥0，即x≥1.
∴不等式的解集为{x|x≥1或x＝－2}．
3．不等式<2的解集为( )
A．{x|x≠－2} B．R
C．? D．{x|x<－2或x>2}
答案 A
解析 原不等式?x2－2x－2<2x2＋2x＋2?x2＋4x＋4>0?(x＋2)2>0，∴x≠－2.
∴不等式的解集为{x|x≠－2}．
4．不等式≥2的解是( )
A．[－3，] B．[－，3]
C．[，1)∪(1,3] D．[－，1)∪(1,3]
答案 D
解析 ≥2?
?∴x∈[－，1)∪(1,3]．
5．设集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中元素的个数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 C
解析 解不等式(x－1)2<3x＋7，然后求交集．
由(x－1)2<3x＋7，
得－1∴A∩Z的元素有0,1,2,3,4,5，共6个元素．
6．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )
A．13 C．12
答案 B
解析 设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，
g(a)>0恒成立且a∈[－1,1]?
??x<1或x>3.
二、填空题
7．若关于x的不等式>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________.
答案 4
解析 >0?(x＋1)(x－a)>0
?(x＋1)(x－4)>0
∴a＝4.
8．若不等式－x2＋2x－a≤0恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 a≥1
解析 ∵Δ＝4－4a≤0，∴a≥1.
9．若全集I＝R，f(x)、g(x)均为x的二次函数，P＝{x|f(x)<0}，Q＝{x|g(x)≥0}，则不等式组的解集可用P、Q表示为________．
答案 P∩?IQ
解析 ∵g(x)≥0的解集为Q，
所以g(x)<0的解集为?IQ，
因此的解集为P∩?IQ.
10．如果A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，则实数a的取值范围为________．
答案 0≤a≤4
解析 a＝0时，A＝?；当a≠0时，A＝??ax2－ax＋1≥0恒成立??0综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤4.
三、解答题
11．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t%应在什么范围内变动？
解 由题意可列不等式如下：
·24 000·t%≥9 000?3≤t≤5.
所以t%应控制在3%到5%范围内．
12．关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．
解 由x2－x－2>0，可得x<－1或x>2.
∵的整数解的集合为{－2}，
方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0的两根为－k与－，
①若－k<－，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}；
②若－<－k，则应有－2<－k≤3，
∴－3≤k<2.
综上，所求的k的取值范围为－3≤k<2.
【能力提升】
13．已知x1、x2是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0(k∈R)的两个实数根，则x＋x的最大值为( )
A．18 B．19 C. D．不存在
答案 A
解析 由已知方程有两实数根得，Δ≥0，
即(k－2)2－4(k2＋3k＋5)≥0.
解得－4≤k≤－，
又x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－(k＋5)2＋19，
∴当k＝－4时，x＋x有最大值，最大值为18.
14．已知不等式x2＋px＋1>2x＋p.
(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围；
(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围．
解 (1)不等式化为(x－1)p＋x2－2x＋1>0，
令f(p)＝(x－1)p＋x2－2x＋1，
则f(p)的图象是一条直线．又∵|p|≤2，
∴－2≤p≤2，于是得：
即
即 ∴x>3或x<－1.
故x的取值范围是x>3或x<－1.
(2)不等式可化为(x－1)p>－x2＋2x－1，
∵2≤x≤4，∴x－1>0.
∴p>＝1－x.
由于不等式当2≤x≤4时恒成立，
∴p>(1－x)max.而2≤x≤4，
∴(1－x)max＝－1，于是p>－1.
故p的取值范围是p>－1.
1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，分母不为零．
2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max；(2)a课件8张PPT。 解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 (a>0) 的步骤是： (1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0)
ax2+bx+c<0 (a>0)
(2)判定△与0的关系，并求出方程ax2+bx+c=0
的实根;
(3)写出不等式的解集.△>0有两相异实根
x1, x2 (x1x2}{x|x1< x x1=x2={x|x≠ }ΦΦR没有实根一元二次不等式的解法CRN2. 解不等式
4(2x2－2x＋1)＞x(4－x).
课件12张PPT。分式不等式 高次不等式的解法分式不等式的解法这类不等式可以通过移项、通分转化为上述两类不等式1 分式不等式的求解方法：（1）标准化：①右边化零，②系数化正.
（2）转 换：化为一元二次不等式
2 应注意的问题：（1）标准化之前不要去分母；
（2）结果用集合的形式表示
（3）解不等式中的每一步往往要求“等价”即同解变形
解下列分式不等式课件10张PPT。绝对值的不等式的解法 指数、对数型不等式的解法 今天将要学习的内容：一元二次不等式的恒成立问题|a|的意义（1）从代数角度知道：
（2）从几何角度看，|a|的意义是表示数a的点与原点距离。 a二、学习新课1、问题提出
按商品质量规定，商店出售的标明500g的袋装食盐，其实际数与所标数相差不能超过5g，设实际
数是x g，那么x应满足：
由绝对值的意义，这个结果也可以表示成|x-500|≤5
这是一个含绝对值的不等式，如何解呢？ 考察、研究特殊情况绝对值的方程|x|=2的解是什么？如果解|x|<2与|x|>2呢？
由绝对值的意义可知，方程的解是x=2或x=-2,在数轴上表示如下：
结合数轴表示可知：|x|<2表示数轴上到原点距离小于2的点，
在数轴上表示出来.
因而不等式 |x|<2 等价于 -2结合数轴表示可知：|x|>2表示数轴上到原点距离大于2的点的集合，在数轴上表示出来．
就是 |x|>2 等价于 x<-2或x>2 两个等价关系一般地，
|x|0) -a |x|>a (a>0) x>a或x<-a
依然符合：大鱼在两边，小鱼在中间 这一规则例题解析例1：解不等式|x-500|≤5
解：由原不等式可得：-5≤x-500≤5，
由不等式性质，各加上500得：
495≤x≤505.
所以原不等式的解集是
{x|495≤x≤505}。例题解析例2：解不等式：|2x+5|>7。
分析： “2x+5”看作|x|>a中“x”， 其中a=7即可。
解：由原不等式可得：
2x+5>7或2x+5<-7，
整理：x>1或x<-6.
所以，原不等式的解集是：
{x| x>1或x<-6}.三、课堂练习：解下列不等式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）x2+3<4|x|指数、对数型不等式的解法 一般是同底法, 解指对数不等式,先转化成同底, 再根据指数函数和对数函数的单调性转化成代数不等式. 对数不等式还要注意它本身的定义域!请看例题课件5张PPT。一元二次不等式的恒成立问题一、问题引入 — 解下列不等式对任意（所有、一切）实数都成立不等式x2-x+3≤0的解集为空集不等式的解集为R 以上几种说法是否完全相同？要善于运用图像解决问题，这种方法叫做数形结合例1例2例3定义域为R 在R上定义新运算：x*y=x(1-y)，若不等式 (x-a)*(x+a)<1对任意实数x恒成立，求a的取值范围。
例4解法1：常规方法解法2：配方法解法3：分离参数法课堂练习