3．3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
第一课时 二元一次不等式（组）与平面区域
一、教学目标
（1）知识与技能：了解二元一次不等式组的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平面区域
（2）过程与方法：本节课首先借助一个实例提出二元一次不等式组的相关概念，通过例子说明如何用二元一次不等式（组）来表示的平面区域。始终渗透“直线定界，特殊点定域”的思想，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题，使问题更清晰和准确。教学中也特别提醒学生注意表示区域时不包括边界，而则包括边界
（3）情感与价值：培养学生数形结合、化归、集合的数学思想
二、教学重点、教学难点
教学重点：灵活运用二元一次不等式（组）来表示的平面区域
教学难点：如何确定不等式表示的哪一侧区域
三、教学设计
（一）引例：一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪。那么，信贷部应如何分配资金呢？
提问：
1．这个问题中从在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？
2．设用于企业贷款的资金为元，用于个人贷款的资金为元，由于总资金为25000000元，得到： ①
3．由于计划从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪，共创收30000元以上，
所以（12﹪）+（10﹪）
4．企业和个人贷款不能为负，所以
解:分析题意,我们可得到以下式子
（二）概念
1、二元一次不等式：
我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式。
我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
3、满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.
注意：有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是, 二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合.
例如二元一次不等式的解集为
（三）问题: 二元一次不等式所表示的图形?
在直角坐标系中,所有点被直线分成三类:
一类是在直线上; 二类是在直线左上方的区域内的点;
三类是在直线右下方的区域内的点.
尝试：设点P是直线上的点,任取点A,使它的坐标满足不等式,在图中标出点P和点A.
观察并讨论
我们发现,在直角坐标系中,以二元一次不等式的解为坐标的点都在直线的左上方;
反之,直线左上方点的坐标也满足不等式.
因此,在直角坐标系中,不等式表示直线左上方的平面区域.
类似地, 不等式表示直线右下方的平面区域.我们称直线为这两个区域的边界.将直线画成虚线,表示区域不包括边界.
结论：1、一般地, 在直角坐标系中,二元一次不等式表示某侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.
而不等式表示区域时则包括边界,把边界画成实线.
2、二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法，即画线---取点---判断。当 时，常把原点（0，0）作为测试点。
（四）举例分析
例1、画出表示的平面区域（见教材第94页例1）
分析：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。
特别是，当 时，常把原点（0，0）作为测试点。
例2、画出表示的平面区域
例3、用平面区域表示不等式组的解集
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
练习：1、教材P86面练习1、2、3题
2、画出不等式组表示的平面区域并求该区域的面积。
3、画出表示的平面区域
（五）小结：
（1）懂得画出二元一次不等式在平面区域中表示的图形
（2）注意如何表示边界
（六）作业：《习案》第二十六课时
课件42张PPT。3.3.1二元一次不等式
(组)与平面区域(一)引例: 一家银行的信贷部计划年初投入2500
万元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款
至少可带来3万元的收益，其中从企业贷
款中获益12%，从个人贷款中获益10%.
那么，信贷部应如何分配资金呢？引例: 这个问题中存在一些不等关系，我们
应该用什么不等式模型来刻画它们呢？ 一家银行的信贷部计划年初投入2500
万元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款
至少可带来3万元的收益，其中从企业贷
款中获益12%，从个人贷款中获益10%.
那么，信贷部应如何分配资金呢？引例: 一家银行的信贷部计划年初投入2500
万元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款
至少可带来3万元的收益，其中从企业贷
款中获益12%，从个人贷款中获益10%.
那么，信贷部应如何分配资金呢？讲授新课 我们把含有两个未知数，并且未知数的
次数是1的不等式称为二元一次不等式.讲授新课 我们把含有两个未知数，并且未知数的
次数是1的不等式称为二元一次不等式.2. 我们把由几个二元一次不等式组成的不
等式组称为二元一次不等式组.讲授新课 我们把含有两个未知数，并且未知数的
次数是1的不等式称为二元一次不等式.3. 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值
构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对
(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)
的解集.2. 我们把由几个二元一次不等式组成的不
等式组称为二元一次不等式组.讲授新课 有序实数对可以看成直角坐标平面
内点的坐标.于是，二元一次不等式(组)
的解集就可以看成直角坐标系内的点构
成的集合.注意：讲授新课 有序实数对可以看成直角坐标平面
内点的坐标.于是，二元一次不等式(组)
的解集就可以看成直角坐标系内的点构
成的集合.注意： 例如二元一次不等式x－y＜6的解集
为{ (x,y)| x－y＜6}.思考：思考：问题一:探究:二元一次不等式x－y＜6所表示的图形.探究:二元一次不等式x－y＜6所表示的图形.在直角坐标系中，所有点被直线l :x－y＝6
分成三类：探究:二元一次不等式x－y＜6所表示的图形.在直角坐标系中，所有点被直线l :x－y＝6
分成三类：x66yO33l:x－y＝6探究:二元一次不等式x－y＜6所表示的图形.在直角坐标系中，所有点被直线l :x－y＝6
分成三类：x66yO33①在直线l上的点;
②在直线l 左上方的
区域内的点;
③在直线l 右下方的
区域内的点.l:x－y＝6探究:x66yO33l:x－y＝6 设点P(x1, y1)是直线l上的点，任取点
A(x2, y2)，使它的坐标
满足不等式x－y＜6，
在图中标出点P和点A.探究:x66yO33l:x－y＝6 设点P(x1, y1)是直线l上的点，任取点
A(x2, y2)，使它的坐标
满足不等式x－y＜6，
在图中标出点P和点A.P(x1, y1)探究:x66yO33l:x－y＝6 设点P(x1, y1)是直线l上的点，任取点
A(x2, y2)，使它的坐标
满足不等式x－y＜6，
在图中标出点P和点A.A(x2, y2)P(x1, y1) 我们发现，在直角坐标系中，以二元
一次不等式x－y＜6的解为坐标的点都在
直线x－y＝6的左上方；
探究:x66yO33l:x－y＝6 我们发现，在直角坐标系中，以二元
一次不等式x－y＜6的解为坐标的点都在
直线x－y＝6的左上方；
反之，直线x－y＝6
左上方点的坐标也满足
不等式x－y＜6.
探究:x66yO33l:x－y＝6 我们发现，在直角坐标系中，以二元
一次不等式x－y＜6的解为坐标的点都在
直线x－y＝6的左上方；
反之，直线x－y＝6
左上方点的坐标也满足
不等式x－y＜6.
因此，在直角坐标
系中，不等式x－y＜6
表示直线x－y＝6左上
方的平面区域.探究:x66yO33l:x－y＝6 类似地，不等式x－y＞6表示直线
x－y＝6右下方的平面区域.我们称直线
x－y＝6为这两个区域的边界.
探究:x66yO33l:x－y＝6 类似地，不等式x－y＞6表示直线
x－y＝6右下方的平面区域.我们称直线
x－y＝6为这两个区域的边界.
将直线x－y＝6画成虚
线，表示区域不包括边界.
探究:x66yO33l:x－y＝6 类似地，不等式x－y＞6表示直线
x－y＝6右下方的平面区域.我们称直线
x－y＝6为这两个区域的边界.
将直线x－y＝6画成虚
线，表示区域不包括边界.
将直线x－y＝6画成实
线，表示区域包括边界.探究:x66yO33l:x－y＝6问题一:问题二:问题三:问题一:问题二:归纳总结:归纳总结:归纳总结:(3) 区域确定:(1)归纳总结:(3) 区域确定:(1)归纳总结:(3) 区域确定:(1)归纳总结:(3) 区域确定:(1)归纳总结:(3) 区域确定:(1)归纳总结: 二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示
的 平面区域常用“直线定界，特殊点定
域”的方法，即画线——取点——判断.归纳总结:讲解范例:例1. 画出x＋4y＜4表示的平面区域.讲解范例:例2. 画出 表示的平面区域.讲解范例:例3. 用平面区域表示不等式组
的解集.练习:1. 教材P.86练习第1、2、3题.2. 画出不等式组 表示的平
面区域，并求该区域的面积.3. 画出(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平
面区域.课堂小结 懂得画出二元一次不等式
Ax＋By＋C＞0(＜0)在平面
区域中表示的图形；2. 注意如何表示边界.课后作业2. 《习案》作业二十六.1. 阅读教材P.82-P.86；双基限时练(十九)
1．不等式x－2y＋6<0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的( )
A．右上方 B．右下方
C．左上方 D．左下方
解析 取点(0,0)验证，知原点不在x－2y＋6<0的区域内，
∴x－2y＋6<0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的左上方．
答案 C
2．不在3x＋2y<6表示的平面区域内的点是( )
A．(0,0) B．(1,1)
C．(0,2) D．(2,0)
解析 把各点的坐标代入不等式3x＋2y<6验证，知(2,0)不成立．
答案 D
3．不等式组表示的平面区域是( )
解析 代入两个特殊点(0,0)，(－3,0)试之，即可．
答案 B
4．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为( )
A．(－24,7)
B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
解析 依题意，可得(－7－a)(24－a)<0.
即(a＋7)(a－24)<0.∴－7
答案 B
5．下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分是( )
A. B.
C. D.
答案 C
6．下面给出的四个点中，到直线x－y＋1＝0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是( )
A．(1,1) B．(－1,1)
C．(－1，－1) D．(1，－1)
解析 将点(－1，－1)代入验证，知满足题意．故选C.
答案 C
7．不等式|x|＋|y|≤1所表示的平面区域的面积是______________．
解析 画出|x|＋|y|≤1所表示的平面区域如图，其面积为2.
答案 2
8．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点中有且只有一个在不等式2x－ by＋1>0表示的平面区域内，则b的取值范围是________．
解析 ∵点P(1，－2)关于原点的对称点(－1,2)有且仅有一个适合不等式2x－by＋1>0，
∴或
解得b≥－或b≤－.
答案 ∪
9．画出不等式(x－y)(x－y－1)≤0表示的平面区域．
解 (x－y)(x－y－1)≤0?
或
而不等式组无解，故不等式(x－y)(x－y－1)≤0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．
10．画出不等式组表示的平面区域．
解 原不等式组等价于
将(1,0)代入①②③的左边．根据“异号下”的规则，不等式①表示的平面区域在直线x－y＝0的右下方，不等式②表示的区域在直线x＋2y－4＝0的左下方．根据“同号上”的规则，不等式③表示的平面区域在直线y＋2＝0上方．
故不等式组表示的平面区域如图中的三角形阴影(不包括边界)．
11．在△ABC中，A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组(包括边界)．
解 由两点式，得AB，BC，CA的直线方程并化简为：AB：x＋2y－1＝0，BC：x－y＋2＝0，CA：2x＋y－5＝0，如图所示．
原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号，可得不等式组为
第1课时 二元一次不等式(组)与平面区域
1．理解二元一次不等式(组)的有关概念．
2．会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．
1．二元一次不等式(组)
(1)定义：含有____个未知数，且含有未知数的项的最高次数为__的不等式称为二元一次不等式；由几个______________组成的不等式组称为二元一次不等式组．
(2)解集：满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，称为二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的____称为二元一次不等式(组)的解集．有序数对可以看成是直角坐标平面内点的____．于是，二元一次不等式(组)的____就可以看成是直角坐标平面内的点构成的集合．
【做一做1－1】 不等式x＋y－1＜0的解可能是( )
A．(2，－1) B．(0,0)
C．(3,1) D．(0,2)
【做一做1－2】 不等式组的一个解是__________．
2．平面区域
(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线____________某一侧所有点组成的平面区域，直线Ax＋By＋C＝0称为这个平面区域的____．这时，在平面直角坐标系中，把直线Ax＋By＋C＝0画成虚线，以表示______边界；而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成____．
在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线Ax＋By＋C＝0分成三类：
①在直线Ax＋By＋C＝0上的点；
②在直线Ax＋By＋C＝0上方区域内的点；
③在直线Ax＋By＋C＝0下方区域内的点．
(2)判断方法：只需在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的____就可以断定Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
特别地，当C≠0时，常取________作为测试点；当C＝0时，常取(0,1)或(1,0)作为测试点．
【做一做2－1】 以下各点在不等式组表示的平面区域内的是( )
A．(－1,1) B．(1,1) C．(2,2) D．(3,2)
【做一做2－2】 点P(m，n)不在不等式5x＋4y－1＞0表示的平面区域内，则m，n满足的条件是__________．
答案：1．(1)两 1 二元一次不等式 (2)集合 坐标 解集
【做一做1－1】 B
【做一做1－2】 (1,0)(答案不唯一)
2．(1)Ax＋By＋C＝0 边界 不包括 实线 (2)符号 原点(0,0)
【做一做2－1】 C
【做一做2－2】 5m＋4n－1≤0
画出含有绝对值符号的不等式表示的平面区域
剖析：利用转化的思想，通过分类讨论去掉绝对值符号，转化为画二元一次不等式组表示的平面区域．[来源:学科网ZXXK]
例如：画出不等式|x|＋|y|≤1所表示的平面区域．
分析：对x，y的符号进行分类讨论，去掉绝对值符号，转化为画二元一次不等式组表示的平面区域．
解：不等式|x|＋|y|≤1等价于
或或或
上述四个不等式组表示的平面区域合起来就是不等式|x|＋|y|≤1所表示的平面区域，如下图所示．
[来源:学科网]
题型一 画二元一次不等式表示的平面区域[来源:学科网ZXXK]
【例题1】 (1)画出不等式3x－4y－12≥0表示的平面区域；
(2)画出不等式3x＋2y＜0表示的平面区域．
分析：(1)先画直线，再取原点分析；(2)先画直线，再取(1,0)点分析．
反思：画二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域的步骤：
(1)在平面直角坐标系中画出直线Ax＋By＋C＝0，即边界；
(2)利用特殊点确定二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域是直线Ax＋By＋C＝0的哪一侧；
(3)用阴影表示平面区域．
注意：对于二元一次不等式Ax＋By＋C≥0或Ax＋By＋C≤0，把边界画成实线；对于二元一次不等式Ax＋By＋C＞0或Ax＋By＋C＜0，把边界画成虚线．
题型二 画二元一次不等式组表示的平面区域
【例题2】 画出不等式组表示的平面区域．
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，即是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
反思：画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤：
(1)画出每一个二元一次不等式表示的平面区域；
(2)取所有的二元一次不等式表示的平面区域的公共部分；
(3)用阴影表示公共部分即为二元一次不等式组表示的平面区域．
题型三 根据平面区域写出二元一次不等式(组)
【例题3】 画出以A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)为顶点的△ABC的区域(包括边界)，写出表示该区域的二元一次不等式组．
分析：写出二元一次不等式组，即首先要求出直线方程，以定边界，其次要确定不等号的方向．
反思：已知平面区域，用不等式(组)表示它，其步骤是：①求出边界的直线方程；②确定不等号，在所有直线外任取一点(如本题P(1,1))，将其坐标代入直线方程即可．
题型四 易错辨析
【例题4】 画出二元一次不等式2y－5x－10＞0表示的区域．
错解：作出直线2y－5x－10＝0，
即5x－2y＋10＝0，
将(0,0)代入5x－2y＋10可得
5×0－2×0＋10＞0，
故所求的区域为含有(0,0)的一侧，如图所示．
错因分析：取点检验时，应代入原式(2y－5x－10)，而不能代入变形后的式子(5x－2y＋10)．
反思：由二元一次不等式写出边界直线方程时，只需将不等号变为等号即可，不需要变形．
答案：【例题1】 解：(1)先画直线3x－4y－12＝0，取原点(0,0)，代入3x－4y－12，得－12＜0，
所以原点不在3x－4y－12≥0表示的平面区域内．
所以不等式3x－4y－12≥0表示的平面区域如图1阴影部分所示．
图1 图2
(2)先画直线3x＋2y＝0(画成虚线)．
∵点(1,0)在3x＋2y＞0表示的平面区域内，
∴不等式3x＋2y＜0表示的平面区域如图2阴影部分所示．
【例题2】 解：不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合；x＋y＋1≥0表示直线x＋y＋1＝0上及其右上方的点的集合；x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示．
【例题3】 解：如图所示，则直线AB，BC，CA所围成的区域就是所求△ABC的区域，直线AB，BC，CA的方程分别为x＋2y－1＝0，x－y＋2＝0,2x＋y－5＝0.
在△ABC内取一点P(1,1)，代入x＋2y－1，得1＋2×1－1＝2＞0.
所以直线x＋2y－1＝0对应的不等式为x＋2y－1＞0.
把P(1,1)代入x－y＋2，得1－1＋2＞0；
代入2x＋y－5，得2×1＋1－5＜0.
因此对应的不等式分别为x－y＋2＞0,2x＋y－5＜0.
又因为所求的区域包括边界，
所以所求区域的不等式组为
【例题4】 正解：设F(x，y)＝2y－5x－10，
作出直线2y－5x－10＝0.
∵F(0,0)＝2×0－5×0－10＝－10＜0，
∴所画区域为不含(0,0)的一侧，如图所示．
1不等式x＋3y－6＜0表示的平面区域在直线x＋3y－6＝0的( )
A．右上方 B．左上方
C．右下方 D．左下方
2下列二元一次不等式组中，能表示图中阴影部分的是( )
A. B.
C. D.
3在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是__________．
4用不等式表示直线y＝3x－1左上方的平面区域为__________．
5画出不等式组所表示的平面区域．
答案：1．D 2.C 3.4 4.y＞3x－1
5. 解：不等式x+y－1≥0表示直线x＋y－1＝0上及右上方的点的集合，
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
x－y≥0表示直线x－y＝0上及右下方的点的集合，
x≤2表示直线x＝2上及左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示．[来源:学§科§网]
§3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
课时目标
1．了解二元一次不等式表示的平面区域．
2．会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．
1．二元一次不等式(组)的概念
含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式．
由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．
2．二元一次不等式表示的平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．
3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定
(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都相同．
(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
一、选择题
1．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 可结合图形，根据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行．由图知所给区域的三个边界中，有两个是虚的，所以C正确．
2．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A．(－1,6) B．(－6,1)
C．(－∞，－1)∪(6，＋∞) D．(－∞，－6)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 由题意知，(－3＋2－a)(9－3－a)<0，
即(a＋1)(a－6)<0，∴－13．如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点(x，y)所在的区域为( )
答案 B
解析 不等式(x－y)(x＋2y－2)>0等价于不等式组
(Ⅰ)
或不等式组(Ⅱ)分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.
4．不等式组表示的平面区域内整点的个数是( )
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
答案 C
解析 画出可行域后，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．
5．在平面直角坐标系中，不等式组(a为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为( )
A．3＋2 B．－3＋2
C．－5 D．1
答案 D
解析 区域如图，
易求得A(－2,2)，B(a，a＋4)，
C(a，－a)．
S△ABC＝|BC|·|a＋2|＝(a＋2)2＝9，由题意得a＝1.
6．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx＋过定点.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域．
因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点M.
当y＝kx＋过点时，＝＋，
所以k＝.
二、填空题
7．△ABC的三个顶点坐标为A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，则△ABC的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．
答案
解析
如图直线AB的方程为x＋2y－1＝0(可用两点式或点斜式写出)．
直线AC的方程为2x＋y－5＝0，
直线BC的方程为x－y＋2＝0，
把(0,0)代入2x＋y－5＝－5<0，
∴AC左下方的区域为2x＋y－5<0.
∴同理可得△ABC区域(含边界)为.
8．已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点(x，y)共有________个．
答案 6
解析 由题意点(x，y)的坐标应满足，由图可知，整数点有(0,0)，(1,0)，(2,0)(0,1)(0,2)(1,1)6个．
9．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x－y＋a>0表示的平面区域内，则a的取值范围为________．
答案 －1解析 根据题意，分以下两种情况：
①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．
则.无解．
②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，
则，∴－1综上所述，－110．若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．
答案
解析
如图所示，区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形，当a从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域．
又D(0,1)，B(0,2)，
E，C(－2,0)．
S四边形ODEC＝S△OBC－S△BDE＝2－＝.
三、解答题
11．利用平面区域求不等式组的整数解．
解 先画出平面区域，再用代入法逐个验证．
把x＝3代入6x＋7y≤50，得y≤，又∵y≥2，
∴整点有：(3,2)(3,3)(3,4)；
把x＝4代入6x＋7y≤50，
得y≤，
∴整点有：(4,2)(4,3)．
把x＝5代入6x＋7y≤50，得y≤，
∴整点有：(5,2)；
把x＝6代入6x＋7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)；
把x＝7代入6x＋7y≤50，得y≤，与y≥2不符．
∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．
12．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于P、Q两点，且P、Q关于直线x＋y＝0对称，则不等式组表示的平面区域的面积是多少？
解 P、Q关于直线x＋y＝0对称，故PQ与直线x＋y＝0垂直，直线PQ即是直线y＝kx＋1，故k＝1；
又线段PQ为圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ的垂直平分线上，即为直线x＋y＝0，又圆心为(－，－)，
∴m＝－k＝－1，
∴不等式组为，
它表示的区域如图所示，直线x－y＋1＝0与x＋y＝0的交点为(－，)，∴S△＝×1×＝.故面积为.
能力提升
13．设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是( )
A．(1,3] B．[2,3]
C．(1,2] D．[3，＋∞)
答案 A
解析 作出不等式组表示的平面区域D，如图阴影部分所示．
由得交点A(2,9)．
对y＝ax的图象，当0当a>1，y＝ax恰好经过A点时，由a2＝9，得a＝3.
要满足题意，
需满足a2≤9，解得114．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是______________．
答案 0解析
不等式表示的平面区域如图所示，
当x＋y＝a过A时表示的区域是△AOB，此时a＝；
当a>时，表示区域是△AOB；
当x＋y＝a过B(1,0)时表示的区域是△DOB，此时a＝1；
当0当a<0时不表示任何区域，当11．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分．
2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．
3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路不可马虎大意，常先确定x的范围，再逐一代入不等式组，求出y的范围最后确定整数解的个数．
课件20张PPT。二元一次不等式（组） 与平面区域实例引入： 问题2：已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和
大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和
小于22元，求玫瑰和康乃馨的价格。 问题1 ：已知两实数的和小于20，求两实数。x+y<20二元一次不等式二元一次不等式组思考？我们知道一元一次不等式x>3的解集可以
表示为数轴上的区间，那么，在直角坐标
系内，二元一次不等式（组）的解集表示
什么图形？比如，解不等式x-y<1.
或者不等式组X+y>3X-y<81-1x-y+1=0 在平面直角坐标系中，所有的点
被直线x+y-1=0分成三类：①在直线 x-y+1=0上③在直线 x-y+1=0 的右下方的平面区域内；②在直线 x-y+1=0 的左上方的平面区域内xx+1-y=0在直线 x-y+1=0 的左上方的平面区域内的点的特点：把点的坐标代入式子
x+1-y,
判断式子的符号。坐标符合不等式x-y+1构成的区域
或者说
不等式x-y+1<0表示的区域左上方区域yxo1-1不等式x-y+1>0
表示的区域右下方区域其中直线x-y+1=0叫做这两个区域的边界不等式x-y+1<0
表示的区域左上方区域xy0右上方区域左下方区域二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示: 直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线表示区域不包括边界。
不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线。我们得到：二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法： 直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C所得实数的符号都相同。结论：直线定界，特殊点定域。 只需在直线的某一侧任取一点(x0,y0),根据Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧区域。特别的：C≠0时，常把原点作为特殊点；
C＝0时，常把（1，0），（0，1）作为特点； 例题示范：例1：画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域 解：(1)（直线定界）:先画直线x + 4y – 4 = 0（画成虚线）(2)（特殊点定域）:取原点（0，0），代入x + 4y - 4，因为 0 + 4×0 – 4 = -4 < 0所以，原点在x + 4y – 4 < 0表示的平面区域内，
不等式x + 4y – 4 < 0表示的区域如图所示。1、不等式x-2y+6>0表示的区域在直线x-2y+6=0的( )A、右上方B、右下方C、左上方D、左下方2、不等式3x+2y-6≤0表示的平面区域是( )ABC跟踪练习1：BC跟踪练习2、 将下列图中的平面区域（阴影部分）用不等式出来（图（1）中的区域不包含y轴）解(1) x>0(2) x+y≥0(3) 2x+y<4y < -3x+12
x<2y 的解集。例2、用平面区域表示不等式组分析：由于所求平面区域的点的坐标要同时满足两个不等式，一次二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分。课堂练习：3、不等式组B表示的平面区域是（ ）例3、画出不等式组表示的平面区域。 例4、已知点 和 在直线 的两侧，
则 的取值范围是
解：依题意必有即练习:2、画出下列不等式组表示的平面区域：应该注意的几个问题：1、若不等式中不含0，则边界应画成虚线，2、画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。否则应画成实线。 数学思想：数形结合4、 小结 知识点： ⑴ 二元一次不等式表示平面区域
直线某一侧所有点组成的平面区域 ⑵ 判定方法：
直线定界，特殊点定域。 数学思想：数形结合