3.3.2简单的线性规划问题（3）
一、教学目标
（1）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；
（2）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．
（3）利用线性规划求代数式的取值范围。
二、教学重点、难点
用画网格的方法求解整数线性规划问题．
三、教学流程
（1）复习：练习1.某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件:
则z=10x+10y的最大值是:（ ）
A. 80 B. 85 C. 90 D.95
（2）举例分析
例1、设满足约束条件组，求的最大值和最小值。
解：由知，代入不等式组消去得，
代入目标函数得，作直线：，
作一组平行线：平行于，
由图象知，当往左上方移动时，随之增大，
当往右下方移动时，随之减小，
所以，当经过时，，
当经过时，，
所以，，．
例2、（1）已知，求的取值范围；
（2）设，且，，求的取值范围。
解：（1）不等式组表示的平面区域如图所示，
作直线：，
作一组平行线：，
由图知由向右下方平移时，随之增大，反之减小，
∴当经过点时取最小值，当经过点时取最大值，
由和分别得，，
∴，，所以，．
（2），，，由（1）知，．
（3）、练习：教材P91面第2题
思考题：已知的三边长满足，，求的取值范围。
解：设，， 则，作出平面区域，由图知：，，
∴，即．
四、课堂小结：
1．巩固图解法求线性目标函数的最大值、最小值的方法；
2．用画网格的方法求解整数线性规划问题。
五、作业：《习案》作业三十。
课件19张PPT。3.3.2简单的线性规划
问题(三) 例.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三
种规格, 每张钢板可以同时截得三种规格的小
钢板的块数如下表所示：今需要A、B、C三种成品分别是15、18、27块，
问各截这两种钢板多少块可得所需三种规格成
品，且使所用钢板张数最少.规格类型钢板类型用量最省问题复习引入解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板
y张，则作出可行域：目标函数为z＝x＋y复习引入yxO22488182816复习引入yxO22488182816复习引入yxO22488182816复习引入yxO22488182816复习引入yxO22488182816复习引入yxO22488182816复习引入yxO22488182816复习引入yxO22488182816复习引入yxO22488182816复习引入练习某公司招收男职员x名，女职员y名，
x和y须满足约束条件:则z=10x+10y的最大值是:
A. 80 B. 85 C. 90 D.95( )复习引入讲授新课例1. 设 x, y, z满足约束条件求u＝2x＋6y＋4z的最大值和最小值.讲授新课例2. (1)已知的取值范围；(2)设f(x)＝ax2 ＋bx，且1≤f(－1)≤2，
2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围.求t＝4a－2b练习教科书P.91练习第2题．讲授新课讲授新课思考. 已知△ABC的三边长a、b、c满足
b＋c≤2a，c＋a≤2b，求 的取值范围.1. 巩固图解法求线性目标函数的最大
值、最小值的方法；
2. 用画网格的方法求解整数线性规划
问题.课堂小结1.阅读教科书P.88-P.90；2.《习案》第三十课时.课外作业 简单的线性规划问题（二）
一、教学目标
(1)知识和技能：能够运用线性规划的图解法解决一些生活中的简单最优问题
(2)过程与方法：将实际问题中错综复杂的条件列出目标函数和约束条件对学生而言是一个难点，若要突破这个难点，教师在讲授中要根据学生的认知情况，引导学生建立数学模型；同时，要给学生正确的示范，利用精确的图形并结合推理计算求解
(3)情感与价值：培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的的能力
二、教学重点、教学难点
教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建立数学模型，并相应给出正确的解答
教学难点：建立数学模型，并利用图解法找最优解
三、教学过程
1、复习引入
通过上一节课的学习，我们了解到在平面直角坐标系中二元一次不等式（组）表示平面区域，并且掌握了用直线定界，特殊点定域的方法来画出平面区域。
问题：设，式中变量，满足下列条件： 求z的最大值与最小值。
2、举例分析
（1）效益最佳问题
例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg的食物A含有0.105kg的碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg?
食物(kg)
碳水化合物(kg)
蛋白质(kg)
脂肪(kg)
A
0.105
0.07
0.14
B
0.105
0.14
0.07
探究:
（1） 如果设食用A食物xkg、食用B食物ykg，则目标函数是什么？
（2）总成本z随A、B食物的含量变化而变化，是否任意变化，受什么因素制约？列出约束条件
（3）能画出它的可行性区域吗？
（4）能求出它的最优解吗？
（5）你能总结出解线性规划应用题的一般步骤吗？
解线性规划应用题的一般步骤：
（1）设出所求的未知数；
（2）列出约束条件；
（3）建立目标函数；
（4）作出可行域；
（5）运用平移法求出最优解。
例2．某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t. 每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元. 工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过363t.甲、乙两种产品应各生产多少，能使利润总额达到最大.
例3、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t 、硝酸盐18 t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t 、硝酸盐15 t。现库存磷酸盐10t 、硝酸盐66 t，在此基础上生产这两种混合肥料。若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元。那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润z万元。目标函数为
画出可行域。
把变形为，得到斜率为，在y 轴上的截距为，随z变化的一组平行直线。由此观察出，当直线经过可行域上的点M时，截距为最大，
即z最大。
解方程组 得M的坐标为
由此可知，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元。
（2）用料最省问题
例4、P89面例6
思考：例3、例4有区别吗？区别在哪里？
3、练习：P91面练习2
4、课堂小结：
解线性规划应用题的一般步骤：
（1）设出所求的未知数；
（2）列出约束条件；
（3）建立目标函数；
（4）作出可行域；
（5）运用平移法求出最优解。
四、作业：《习案》作业二十八。
1.某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件:
则z=10x+10y的最大值是:（ ）
A. 80 B. 85 C. 90 D.95
课件44张PPT。3.3.2简单的线性规划
问题(二) 复习引入问题 已知 x、y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数
k等于 ( )复习引入问题 已知 x、y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数
k等于 ( )讲授新课例1.营养学家指出，成人良好的日常饮食
应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg
的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg的食物A含有0.105kg的碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg
脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳
水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21
元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,
同时花费最低,需要同时食用食物A和食物B
多少kg?1. 效益最佳问题讲授新课1. 效益最佳问题将已知数据列成下表：讲授新课探究(1) 如果设食用A食物xkg、食用B食物ykg，
则目标函数是什么？
(2) 总成本z随A、B食物的含量变化而变化，
是否任意变化，受什么因素制约？列出
约束条件.
(3) 能画出它的可行性区域吗？
(4) 能求出它的最优解吗？
(5) 你能总结出解线性规划应用题的一般步
骤吗？讲授新课例2.某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产
甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、
煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t、B
种矿石4t、煤9t. 每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元. 工厂在
生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿
石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不
超过363t.甲、乙两种产品应各生产多少，
能使利润总额达到最大.1. 效益最佳问题讲授新课将已知数据列成下表：分析：讲授新课建模: (1)确定变量及其目标函数：
(2) 分析约束条件：
(3) 建立数学模型. (4) 求解.讲授新课建模: (1)确定变量及其目标函数：若设生
产甲、乙两种产品分别为xt、yt，利润额
为z元，则z=600x+1000y. (2) 分析约束条件：
(3) 建立数学模型. (4) 求解.讲授新课建模: (1)确定变量及其目标函数：若设生
产甲、乙两种产品分别为xt、yt，利润额
为z元，则z=600x+1000y. (2) 分析约束条件：z值随甲、乙两种
产品的产量x、y变化而变化，但甲、乙两
种产品是否可以变化呢？它们受到哪些因
素的制约？怎样用数学语言表述这些制约
因素？ (3) 建立数学模型. (4) 求解.讲授新课解：设生产甲、乙两种产品分别为 xt、yt，利润总额为z元，那么作出以上不等式组所表示的平面区域，
即可行域.z=600x+1000y讲授新课yxO1010讲授新课yxO1010讲授新课yxO1010讲授新课yxO1010讲授新课yxO1010讲授新课yxO1010作直线l:600x+1000y=0,
即直线l:3x+5y=0.讲授新课yxO1010把直线l向右上方平移至l1的
位置时，直线经过可行域上
的点M，且与原点距离最大.
此时z=600x+1000y取最大值.讲授新课yxO1010讲授新课例3.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，
生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐
4t、硝酸盐18 t；生产1车皮乙种肥料需要
的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15 t.现库
存磷酸盐10t、硝酸盐66 t，在此基础上生
产这两种混合肥料.若生产1车皮甲种肥料，
产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥
料，产生的利润为5000元.那么分别生产甲、
乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的
利润？讲授新课已知 x、y满足不等式组试求z＝300x＋900y取最大值时整点的坐标
及相应的z的最大值.练习例4.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三
种规格, 每张钢板可以同时截得三种规格的小
钢板的块数如下表所示：今需要A、B、C三种成品分别是15、18、27块，
问各截这两种钢板多少块可得所需三种规格成
品，且使所用钢板张数最少.规格类型钢板类型2.用量最省问题讲授新课讲授新课解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板
y张，则作出可行域：目标函数为z＝x＋y讲授新课yxO22488182816讲授新课yxO22488182816讲授新课yxO22488182816讲授新课yxO22488182816讲授新课yxO22488182816讲授新课yxO22488182816讲授新课yxO22488182816讲授新课yxO22488182816讲授新课yxO22488182816讲授新课解题的一般步骤：讲授新课解题的一般步骤：1.设立所求的未知数； 讲授新课解题的一般步骤：1.设立所求的未知数； 2.列出约束条件； 讲授新课解题的一般步骤：1.设立所求的未知数； 2.列出约束条件； 3.建立目标函数； 讲授新课解题的一般步骤：1.设立所求的未知数； 2.列出约束条件； 3.建立目标函数； 4.作出可行域；讲授新课解题的一般步骤：1.设立所求的未知数； 2.列出约束条件； 3.建立目标函数； 4.作出可行域； 5.运用图解法，求出最优解;讲授新课解题的一般步骤：1.设立所求的未知数； 2.列出约束条件； 3.建立目标函数； 4.作出可行域； 5.运用图解法，求出最优解;
6.实际问题需要整数解时，适当
调整，确定最优解.讲授新课练习1.某公司招收男职员x名，女职员y名，
x和y须满足约束条件:则z=10x+10y的最大值是:
A. 80 B. 85 C. 90 D.95( )讲授新课练习1.某公司招收男职员x名，女职员y名，
x和y须满足约束条件:则z=10x+10y的最大值是:
A. 80 B. 85 C. 90 D.952.教科书P.91练习第2题．( )课堂小结解题的一般步骤：1.设立所求的未知数； 2.列出约束条件； 3.建立目标函数； 4.作出可行域； 5.运用图解法，求出最优解;
6.实际问题需要整数解时，适当
调整，确定最优解.1.阅读教科书P.88-P.90；2.《习案》第二十八课时.课外作业双基限时练(二十一)
1．设z＝x－y，式中变量x，y满足条件则z的最小值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．－2
解析 作出可行域，如图所示．
解方程组
得交点A(2,1)．
当直线x－y＝0平移过点A(2,1)时，z有最小值1.
答案 A
2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为( )
A．6 B．7
C．8 D．23
解析 不等式表示的平面区域如图所示．
当z＝2x＋3y过点A时取得最小值，联立方程组取得A(2,1)．将点A坐标代入z＝2x＋3y中得zmin＝7.
答案 B
3．设x，y满足则z＝x＋y( )
A．有最小值2，最大值3
B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值
D．既无最小值，也无最大值
解析 如图，z＝x＋y表示直线过可行域时，在y轴上的截距，当目标函数平移至过可行域A点时，z有最小值．联立解得A(2,0)．
z最小值＝2，z无最大值．
答案 B
4．某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、 B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )
A．12万元 B．20万元
C．25万元 D．27万元
解析 设该企业在一个生产周期内生产甲产品x吨，乙产品y吨，获得利润z万元，则依题意，有
目标函数z＝5x＋3y，画出不等式组表示的平面区域及直线l0：5x＋3y＝0，易知当平移l0经过点(3,4)时，z取得最大值为5×3＋3×4＝27，故选D.
答案 D
5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费用为200元，设备乙每天的租赁费用为300元．现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
解析 设租赁甲、乙两种设备x，y台，则
目标函数z＝200x＋300y，画出可行域知目标函数在点(4,5)处取得最小值，故目标函数的最小值为2300.
答案 2300
6．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为________.
货物
体积(m3/箱)
重量(50 kg/箱)
利润(百元/箱)
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制
24
13
解析 设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x，y，则
目标函数z＝20x＋10y，画出可行域如图．
由得A(4,1)．
易知当直线2x＋y＝0平移经过点A时，z取得最大值．
答案 4,1
7．某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m2，每张可作A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m2，每张可作A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)
解 设用甲种钢板x张，乙种钢板y张，依题意
钢板总面积z＝2x＋3y.作出可行域，如图所示．
由图可知当直线z＝2x＋3y过点P时，z最小．
由方程组得
所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省．
8．某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t支援物资的任务．该公司有8辆载重6 t的A型卡车与4辆载重为10 t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型为320元，B型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A型或B型卡车，所花的成本费分别是多少？
解 设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆．列表分析数据．
A型车
B型车
限量
车辆数
x
y
10
运物吨数
24x
30y
180
费用
320x
504y
z
由表可知x，y满足的线性条件
且z＝320x＋504y.
作出线性区域，如图所示．可知当直线z＝320x＋504y过A(7.5,0)时，z最小，但A(7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z＝320x＋504y，可知点(5,2)是最优解．这时zmin＝320×5＋504×2＝2608(元)，即用5辆A型车，2辆B型车，成本费最低．
若只用A型车，成本费为8×320＝2560(元)，
只用B型车，成本费为×504＝3024(元)．
9．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙的投资的，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，问该公司正式投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为多少？
解 设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，共可获利z万元，则z＝0.4x＋0.6y.
由题意知
作出可行域如图，
由图可以看出，当直线经过可行域上的点A(24,36)时，z取得最大值．
z＝0.4x＋0.6y＝0.4×24＋0.6×36＝31.2.
即该公司正式投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为31.2万元．
第2课时 线性规划的实际应用
1．复习巩固线性规划问题．
2．能利用线性规划解决实际应用问题．
解线性规划问题的一般步骤
(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)；
(2)移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点；
(3)求：求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值；
(4)答：给出正确答案．
一般地，对目标函数z＝ax＋by，若b＞0，则纵截距与z同号，因此，纵截距最大时，z也最大；若b＜0，则纵截距与z异号，因此，纵截距最大时，z反而最小．
【做一做1－1】 完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元．现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则完成这项工程的线性约束条件是( )
A. B.
C. D.[来源:学。科。网]
【做一做1－2】 有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，要运送一批货物，设需载重6吨的汽车x辆，载重4吨的汽车y辆，则完成这项运输任务的线性目标函数为( )
A．z＝6x＋4y B．z＝5x＋4y
C．z＝x＋y D．z＝4x＋5y
【做一做1－3】 设z＝2y－2x，其中x，y满足条件则z的最小值为__________．
答案：【做一做1－1】 B
【做一做1－2】 A
【做一做1－3】 0
解答线性规划应用题应注意的问题
剖析：(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要；
(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；
(3)结合实际问题，分析未知数x，y等是否有限制，如x，y为正整数、非负数等；
(4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式；
(5)作图对解决线性规划问题至关重要，其关键步骤基本上都是在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作尽可能规范．但作图中必然会有误差，假如图上的最优点不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解．
题型一 线性规划的实际应用
【例题1】 某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各产品生产量不少于15 t．已知生产甲产品1 t需煤9 t，电力4 kW·h，劳力3个；生产乙产品1 t需煤4 t，电力5 kW·h，劳力10个；甲产品每1 t利润7万元，乙产品每1 t利润12万元；但每天用煤不超过300 t，电力不超过200 kW·h，劳力只有300个．问每天各生产甲、乙两种产品多少，能使利润总额达到最大？
分析：将已知数据列成表，如下表所示：
设出未知量，根据资源限额建立约束条件，由利润关系建立目标函数．
反思：本题是线性规划的实际问题，基本类型为：给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大．解决这类问题的一般方法是：首先根据题意列出线性约束条件，建立目标函数；然后由约束条件画出可行域；最后在一组平行直线中，找出在可行域内到原点距离最远的直线，即可得到最优解．
题型二 易错辨析
【例题2】 某实验室需购某种化工原料106 kg，现在市场上该原料有两种包装：一种是每袋35 kg，价格为140元；另一种是每袋24 kg，价格为120元．在满足需要的条件下，最少要花费多少元．
错解：设分别购买两种原料x袋，y袋，
由题意可得
花费z＝140x＋120y，画出可行域如图所示．
画出直线140x＋120y＝0并平移可得点A为最优解．解得A，故当x＝，y＝0时，
zmin＝140×＋120×0＝424(元)．
错因分析：由于所求为购买物品的袋数，则x，y均为整数，故上述解法不正确．
反思：当求到的最优解不是整点最优解时，就需要对最优解进行调整，调整的基本思路就是：先求非整点最优解，再借助不定方程的知识调整最优解，最后筛选出整点最优解．确定整点最优解的方法有三种：平移直线法、特值验证法、调整优值法．
(1)平移直线法：先在可行域内打网络，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点坐标便是整点最优解．
(2)特值验证法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得到最优解．
(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出最优解．
一般地，先考虑平移直线法和特值验证法，如果这两种方法都有困难时，再用调整优值法．
答案：【例题1】 解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x t，y t，
利润总额为z万元，那么
目标函数为z＝7x＋12y.
作出以上不等式组的可行域，如图中的阴影部分所示．
目标函数为z＝7x＋12y，
整理得y＝－x＋，
得到斜率为－，在y轴上截距为，且随z变化的一组平行直线．
由图可以得到，当直线经过可行域上点A时，截距最大，即z最大，解方程组
得点A的坐标为(20,24)，
所以zmax＝7×20＋12×24＝428(万元)，
即生产甲、乙两种产品分别为20 t,24 t时，利润总额最大．
【例题2】 正解：设分别购买两种原料x袋，y袋，
由题意得
花费z＝140x＋120y，画出可行域如图中的阴影部分所示．
画出直线140x＋120y＝0并平移，先经过可行域内A.
由于x，y均为整数，则A不是最优解．
在可行域内，点A附近的整数点有B(4,0)，C(3,1)，D(2,2)，E(1,3)，将其分别代入线性目标函数z＝140x＋120y，可得zB＝560，zC＝540，zD＝520，zE＝500，
故当x＝1，y＝3时，zmin＝500.
因此购买35 kg包装的1袋，24 kg包装的3袋，可使花费最少，最少花费为500元．
[来源:学§科§网Z§X§X§K]
1 (2018·山东济南二模)已知变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为( )
A．－3 B. C．－5 D．4
2(2018·北京丰台二模)已知签字笔2元一支，练习本1元一本．某学生欲购买的签字笔不少于3支，练习本不少于5本，但买签字笔和练习本的总数量不超过10，则支出的钱数最多是__________元．
3某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为__________元．
4某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润是多少？
5有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a的钢条2根，长度为b的钢条1根；或截成长度为a的钢条1根，长度为b的钢条3根．现长度为a的钢条至少需要15根，长度为b的钢条至少需要27根．问：如何切割可使钢条用量最省？
答案：1．D 2.15 3.2 300
4．解：设投资项目甲x万元，投资项目乙y万元，可获得利润为z万元，
则目标函数为z＝0.4x＋0.6y.
由得A(24,36)．
由图知，目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值．
故ymax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)，
即获得的最大利润为31.2万元．
5．解：设按第一种切割方式需钢条x根，按第二种切割方式需钢条y根，
根据题意，得约束条件
目标函数是z＝x＋y.[来源:学§科§网Z§X§X§K]
画出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示．
由解得[来源:学.科.网]
此时z＝11.4，但x，y，z都应当为正整数，
所以点(3.6,7.8)不是最优解．[来源:Zxxk.Com]
经过可行域内的整点且使z最小的直线是y＝－x＋12，
即z＝12，此时满足该约束条件的(x，y)有两个：(4,8)或(3,9)，它们都是最优解．即满足条件的切割方式有两种，按第一种方式切割钢条4根，按第二种方式切割钢条8根；或按第一种方式切割钢条3根，按第二种方式切割钢条9根，可满足要求．
3．3.2 简单的线性规划问题(二)
课时目标
1．准确利用线性规划知识求解目标函数的最值．
2．掌握线性规划实际问题中的两种常见类型．
1．用图解法解线性规划问题的步骤：
(1)分析并将已知数据列出表格；
(2)确定线性约束条件；
(3)确定线性目标函数；
(4)画出可行域；
(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；
根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．
2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
一、选择题
1．某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1、b1千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2、b2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d1、d2元．月初一次性购进本月用的原料A、B各c1、c2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z＝d1x＋d2y最大的数学模型中，约束条件为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 比较选项可知C正确．
2. 如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z＝ax＋y (a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为( )
A. B. C．4 D.
答案 B
解析 由y＝－ax＋z知当－a＝kAC时，最优解有无穷多个．∵kAC＝－，∴a＝.
3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A．36万元 B．31.2万元 C．30.4万元 D．24万元
答案 B
解析 设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，
可获得利润为z万元，则
z＝0.4x＋0.6y.
由图象知，
目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值．
∴ymax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．
4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
答案 B
解析 设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知
甲、乙两车间每天总获利为z＝280x＋200y.
画出可行域如图所示．
点M(15,55)为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图象知在点M(15,55)处z取得最大值．
5．如图所示，目标函数z＝kx－y的可行域为四边形OABC，点B(3,2)是目标函数的最优解，则k的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 y＝kx－z.若k>0，则目标函数的最优解是点A(4,0)或点C(0，4)，不符合题意．
∴k<0，∵点(3,2)是目标函数的最优解．
∴kAB≤k≤kBC，即－2≤k≤－.
二、填空题
6．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
答案 2 300
解析 设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则
目标函数为z＝200x＋300y.
作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2 300元．
7．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则
z＝10x＋10y的最大值是________．
答案 90
解析
该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于x，y∈N*，计算区域内与点最近的整点为(5,4)，当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.
8．某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大．
答案 20 24
解析
设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，总利润为S万元，
依题意约束条件为：
目标函数为S＝7x＋12y.
从图中可以看出，当直线S＝7x＋12y经过点A时，直线的纵截距最大，所以S也取最大值．
解方程组
得A(20,24)，故当x＝20，y＝24时，
Smax＝7×20＋12×24＝428(万元)．
三、解答题
9．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
解 将已知数据列成下表：
原料/10 g
蛋白质/单位
铁质/单位
甲
5
10
乙
7
4
费用
3
2
设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，那么
目标函数为z＝3x＋2y，作出可行域如图所示：
把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线．
由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．
由得A(，3)，
∴zmin＝3×＋2×3＝14.4.
∴甲种原料×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省．
10．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．
(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？
(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？
(3)怎样安排生产可使所得利润最大？
解 由题意可画表格如下：
方木料(m3)
五合板(m2)
利润(元)
书桌(个)
0.1
2
80
书橱(个)
0.2
1
120
(1)设只生产书桌x个，可获得利润z元，
则??x≤300.
所以当x＝300时，zmax＝80×300＝24 000(元)，
即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．
(2)设只生产书橱y个，可获利润z元，
则??y≤450.
所以当y＝450时，zmax＝120×450＝54 000(元)，
即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．
(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则?
z＝80x＋120y.
在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．
作直线l：80x＋120y＝0，即直线l：2x＋3y＝0.
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝80x＋120y取得最大值．
由解得点M的坐标为(100,400)．
所以当x＝100，y＝400时，
zmax＝80×100＋120×400＝56 000(元)．
因此，生产书桌100张、书橱400个，
可使所得利润最大．
能力提升
11．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为( )
A．－3 B．3 C．－1 D．1
答案 A
解析 当a＝0时，z＝x.仅在直线x＝z过点A(1,1)时，
z有最小值1，与题意不符．
当a>0时，y＝－x＋.
斜率k＝－<0，
仅在直线z＝x＋ay过点A(1,1)时，
直线在y轴的截距最小，此时z也最小，
与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾．
当a<0时，y＝－x＋，斜率k＝－>0，
为使目标函数z取得最小值的最优解有无数个，当且仅当斜率－＝kAC.即－＝，∴a＝－3.
12．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别至少为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
解 设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张．
.
作出可行域(如图)：(阴影部分)
目标函数为z＝x＋y.
作出一组平行直线x＋y＝t，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x＋3y＝27和直线2x＋y＝15的交点A，直线方程为x＋y＝.由于和都不是整数，而最优解(x，y)中，x，y必须都是整数，所以可行域内点不是最优解．
经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝12，经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们都是最优解．
答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．
1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．
2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．
课件28张PPT。使z=2x+y取得最大值的可行解为 ，
且最大值为 ；复习引入1.已知二元一次不等式组（1）画出不等式组所表示的平面区域；满足 的解(x,y)都叫做可行解；z=2x+y 叫做 ；（2）设z=2x+y，则式中变量x,y满足的二元一次不等式组叫做x,y的 ；y=-1x-y=0x+y=12x+y=0(-1,-1) (2,-1)使z=2x+y取得最小值的可行解 ，
且最小值为 。线性约束条件线性目标函数线性约束条件(2,-1)(-1,-1)3-31、 已知 x、y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数
k等于 ( )关键是找准
几何意义例1:某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少吨(精确到0.1t),能使利润总额达到最大?51046004491000设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元约束条件10x+4y≤3005x+4y≤2004x+9y≤360x≥0y ≥0z=600x+1000y.设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元xtyt解:设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z=600x+1000y元, 那么{10x+4y≤3005x+4y≤2004x+9y≤360x≥0y ≥0z=600x+1000y.作出以上不等式组所表示的可行域作出一组平行直线 600x+1000y=t，10x+4y=3005x+4y=2004x+9y=360600x+1000y=0M答:应生产甲产品约12.4吨,乙产品约34.4吨,能使利润总额达到最大。(12.4,34.4)经过可行域上的点M时,目标函数在y轴上截距最大.903075405040此时z=600x+1000y取得最大值.例2 要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ： 解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则 2x+y≥15,{x+2y≥18,x+3y≥27,x≥0y≥0 作出可行域（如图）目标函数为 z=x+y今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。X张y张2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =0作出一组平行直线z=x+y，目标函数z= x+y当直线经过点A时z=x+y=11.4,x+y=12在可行域内，直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解调整优值法246181282724681015但它不是最优整数解.作直线x+y=12答（略）2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =0经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时，t=x+y=12是最优解.答:(略)作出一组平行直线t = x+y，目标函数t = x+y打网格线法在可行域内打出网格线，当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，将直线x+y=11.4继续向上平移，1212182715978不等式组 表示的平面区域内的整数点共有 （ ）个巩固练习1:1 2 3 4 x y
4
3
2
1
04x+3y=12在可行域内找出最优解、线性规划整数解问题的一般方法是：1.若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）
2.若区域“顶点”不是整点或不包括边界时，应先求出该点坐标，并计算目标函数值Z，然后在可行域内适当放缩目标函数值，使它为整数，且与Z最接近，在这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止。
3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网络、找整点、平移直线、找出整数最优解解线性规划应用问题的一般步骤：2）设好变元并列出不等式组和目标函数 3）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；4）在可行域内求目标函数的最优解1）理清题意，列出表格：
5)还原成实际问题(准确作图，准确计算)1、求z=2x+y的最大值，使式中x、y满足下列条件：答案:当x=1，y=0时，z=2x+y有最大值2。练习2 ：求z=3x+y的最大值，使式中x、y满足下列条件：3x+y=03x+y=29答案：当x=9,y=2时，z=3x+y有最大值29.练习求z=300x+900y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件：x+3y=0300x+900y=0300x+900y=112500答案：当x=0,y=0时，z=300x+900y有最小值0.当x=0,y=125时，z=300x+900y有最大值112500.表示的平面区域的面积是( )
则D中的点到直线x+y=10距离的最大值是_________3.某家具厂有方木料90m3，木工板600m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、木工板2m3；生产每个书橱需要方木料0.2m3，木工板1m3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元；（1）怎样安排生产可以获利最大？（2）若只生产书桌可以获利多少？（3）若只生产书橱可以获利多少？由上表可知：
（1）只生产书桌，用完木工板了，可生产书桌 600÷2=300张,可获利润:80×300=24000元,但木料没有用完 （2）只生产书橱，用完方木料，可生产书橱90÷0.2=450 张,可获利润120×450=54000元,但木工板没有用完分析：300600A(100,400)3.某家具厂有方木料90m3，木工板600m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、木工板2m3；生产每个书橱需要方木料0.2m3，木工板1m3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元（1）怎样安排生产可以获利最大？（2）若只生产书桌可以获利多少？（3）若只生产书橱可以获利多少？（1）设生产书桌x张，书橱y张，利润为z元， 则约束条件为 Z=80x+120y作出不等式表示的平面区域，当生产100张书桌，400张书橱时利润最大为z=80×100+120×400=56000元（2）若只生产书桌可以生产300张，用完木工板，可获利 24000元；（3）若只生产书橱可以生产450张，用完方木料，可获利54000元。将直线z=80x+120y平移可知：900450解：4x=8y=4x+y=104x+5y=30320x+504y=04.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重量为6吨的A型卡车和4辆载重量为10吨的B型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型卡车为320元，B型卡车为504元，问如何安排车辆才能使该公司所花的成本费最低，最低为多少元？(要求每型卡车至少安排一辆）解：设每天调出的A型车x辆，B型车y辆，公司所花的费用为z元，则Z=320x+504y作出可行域中的整点，可行域中的整点（5，2）使Z=320x+504y取得最小值，且Zmin=2608元作出可行域5、咖啡馆配制两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g．已知每天原料的使用限额为奶粉3600g ，咖啡2000g 糖3000g,如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？
解：将已知数据列为下表：设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则
作出可行域：
目标函数为：z =0.7x +1.2y
作直线l:0.7x+1.2y=0，
把直线l向右上方平移至l1的位置时，
直线经过可行域上的点C，且与原点距离最大，
此时z =0.7x +1.2y取最大值
解方程组
得点C的坐标为（200，240）
二元一次不等式 表示平面区域直线定界， 特殊点定域简单的线性规划约束条件目标函数可行解可行域最优解求解方法：画、移、求、答2.附加练习深圳市福田区水泥制品厂生产两种水泥，已知生产甲种水泥制品1吨，需矿石4吨，煤3吨；生产乙种水泥制品1吨，需矿石5吨，煤10吨，每1吨甲种水泥制品的利润为7万元，每1吨乙种水泥制品的利润是12万元，工厂在生产这两种水泥制品的计划中，要求消耗的矿石不超过200吨，煤不超过300吨，甲乙两种水泥制品应生产多少，能使利润达到最大值？思考题：
求不等式|x| + |y| ≤2表示的平面区域的面积S=8
