3．3 简单的线性规划问题
第一课时 简单的线性规划问题（一）
一、教学目标
(1)知识和技能：了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、
最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值
(2)过程与方法：本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性。同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性
(3)情感与价值：渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣
二、教学重点、教学难点
教学重点：线性规划的图解法
教学难点：寻求线性规划问题的最优解
三、教学过程
（一）复习引入
1、某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有的日生产安排是什么？
（1）设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可的二元一次不等式组：※
（2）将上述不等式组表示成平面上的区域，如图3.3-9中阴影部分的整点。
（3）若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
设生产甲产品x乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：
当x、y满足不等式※并且为非负整数时，z的最大值是多少？
变形：把，
这是斜率为，在轴上的截距为 的直线，当z变化时，可以得到一组互相平行的直线；
的平面区域内有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经点P时截距最大
平移——通过平移找到满足上述条件的直线
表述——找到给M（4，2）后，求出对应的截距及z的值
（二）新课讲授
1、概念引入
（1）若，式中变量x、y满足上面不等式组，则不等式组叫做变量x、y的约束条件 ，叫做目标函数；又因为这里的是关于变量x、y的一次解析式，所以又称为线性目标函数。
（2）满足线性约束条件的解叫做可行解，
（3）由所有可行解组成的集合叫做可行域；
（4）其中使目标函数取得最大值的可行解（4，2）叫做最优解
（三）例题分析
例1、设，式中变量x、y满足下列条件，求z的最大值和最小值。
归纳解答线性规划问题的步骤：第一步：根据约束条件画出可行域；第二步：令z＝0，画直线L0；
练习：P91面练习1题（1）
解答线性规划问题的步骤：
第一步：根据约束条件画出可行域；
第二步：令z＝0，画直线l0；
第三步：观察，分析，平移直线l0，
从而找到最优解；
第四步：求出目标函数的最大值或最小值.
例2、求z＝x－y的取值范围，使式中的x、y满足约束条件
例3、.求z＝x2＋y2的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件：
思考、已知点（x，y）的坐标满足则的最大值为 ，最小值为 。
（四）课堂小结：
了解线性规划问题的有关概念，掌握线性规划问题的图解法，懂得寻求实际问题的最优解
（五）作业：《习案》作业二十九。
课件42张PPT。3.3.2简单的线性规划
问题(一) 引入新课1. 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种
产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗
时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗
时2h，该厂最多可从配件厂获得16个A配
件和12个B配件，按每天工作8h计算，该
厂所有的日生产安排是什么？
引入新课1. 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种
产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗
时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗
时2h，该厂最多可从配件厂获得16个A配
件和12个B配件，按每天工作8h计算，该
厂所有的日生产安排是什么？
(1) 设甲、乙两种产品分别生产x、y件，
由已知条件可得二元一次不等式组：
引入新课1. 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种
产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗
时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗
时2h，该厂最多可从配件厂获得16个A配
件和12个B配件，按每天工作8h计算，该
厂所有的日生产安排是什么？
(1) 设甲、乙两种产品分别生产x、y件，
由已知条件可得二元一次不等式组：
(2)将上述不等式组表示成平面上的区域，引入新课(3)若生产一件甲产品获利2万元，生产一
件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排
利润最大？引入新课(3)若生产一件甲产品获利2万元，生产一
件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排
利润最大？
设生产甲产品x乙产品y件时，工厂获得的
利润为z,则z=2x+3y.上述问题就转化为：引入新课(3)若生产一件甲产品获利2万元，生产一
件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排
利润最大？
设生产甲产品x乙产品y件时，工厂获得的
利润为z,则z=2x+3y.上述问题就转化为：
当x、y满足不等式※并且为非负整数时，
z的最大值是多少？讲授新课1. 上述问题中，不等式组是一组对变量
x、y的约束条件，这组约束条件都是
关于x、y的一次不等式，所以又叫线
性约束条件.讲授新课1. 上述问题中，不等式组是一组对变量
x、y的约束条件，这组约束条件都是
关于x、y的一次不等式，所以又叫线
性约束条件. 线性约束条件除了用一次不等式表示
外，有时也用一次方程表示.讲授新课2. 欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y
叫做目标函数.
讲授新课2. 欲求最大值或最小值的函数z=2x+3y
叫做目标函数.
由于 z=2x+y又是x、y的一次解析式，
所以又叫线性目标函数. 讲授新课3. 一般地，求线性目标函数在线性约束
条件下的最大值或最小值的问题，统称
为线性规划问题.
讲授新课3. 一般地，求线性目标函数在线性约束
条件下的最大值或最小值的问题，统称
为线性规划问题.
4. 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解. 讲授新课3. 一般地，求线性目标函数在线性约束
条件下的最大值或最小值的问题，统称
为线性规划问题.
4. 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.
5. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 讲授新课3. 一般地，求线性目标函数在线性约束
条件下的最大值或最小值的问题，统称
为线性规划问题.
4. 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.
5. 由所有可行解组成的集合叫做可行域.
6. 使目标函数取得最大值或最小值的可行
解，它们都叫做这个问题的最优解.例题分析 例1. 设 z＝2x＋y，式中变量x、 y满足
下列条件：
求z的最大值和最小值.讲授新课42246yxOCAB讲授新课 我们先画出不等式组(1)表示的平面区
域，如图中△ABC内部且包括边界，点(0,0)
不在这个三角形
区域内，当x=0，
y=0时，z=2x+y =0，点(0,0)在直
线l0: 2x+y=0上. 42246yxOCAB讲授新课l042246yxOCAB 作一组和l0平行的直线l:2x+y=z，z∈R. 讲授新课l042246yxOCAB 作一组和l0平行的直线l:2x+y=z，z∈R. 讲授新课l0 可知，当l在l0的右上方时，直线l上的点(x,y)满足2x+y>0.
即z>0，而且l 往右
平移时，z随之增
大，在经过不等式
组(1)表示的三角形
区域内的点且平行
于l的直线中，42246yxOCAB 作一组和l0平行的直线l:2x+y=z，z∈R. 讲授新课l0讲授新课42246yxOCABl0以经过点A(5,2)的直线 l2 所对应的z最大，以经过点B(1,1)的直线 l1 所对应的z最小.讲授新课以经过点A(5,2)的直线 l2 所对应的z最大，以经过点B(1,1)的直线 l1 所对应的z最小.42246yxOCABl2l0讲授新课以经过点A(5,2)的直线 l2 所对应的z最大，以经过点B(1,1)的直线 l1 所对应的z最小.42246yxOCABl1l2l0讲授新课以经过点A(5,2)的直线 l2 所对应的z最大，以经过点B(1,1)的直线 l1 所对应的z最小.所以，zmax=2×5+2=12， zmin=2×1+1=3.42246yxOCABl1l2讲授新课练习1.解下列线性规划问题：求z＝2x＋y
的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件讲授新课解：先作出可行域，见图中△ABC表示的区域, 且求得yxO11讲授新课解：先作出可行域，见图中△ABC表示的区域, 且求得yxO11作出直线l0:2x+y=0，再将直线平移，当l0平行线l1过B点时，可使 z=2x+y达到最小值，当 l0平行线l2过C点时，可 使z=2x+y达到最大值.讲授新课解：先作出可行域，见图中△ABC表示的区域, 且求得yxO11作出直线l0:2x+y=0，再将直线平移，当l0平行线l1过B点时，可使 z=2x+y达到最小值，当 l0平行线l2过C点时，可 使z=2x+y达到最大值.讲授新课解：先作出可行域，见图中△ABC表示的区域, 且求得yxO11l0作出直线l0:2x+y=0，再将直线平移，当l0平行线l1过B点时，可使 z=2x+y达到最小值，当 l0平行线l2过C点时，可 使z=2x+y达到最大值.讲授新课解：先作出可行域，见图中△ABC表示的区域, 且求得yxO11l1l0作出直线l0:2x+y=0，再将直线平移，当l0平行线l1过B点时，可使 z=2x+y达到最小值，当 l0平行线l2过C点时，可 使z=2x+y达到最大值.讲授新课解：先作出可行域，见图中△ABC表示的区域, 且求得yxO11l1l0l2作出直线l0:2x+y=0，再将直线平移，当l0平行线l1过B点时，可使 z=2x+y达到最小值，当 l0平行线l2过C点时，可 使z=2x+y达到最大值.讲授新课解：先作出可行域，见图中△ABC表示的区域, 且求得zmin=2×(?1)+(?1)=?3，
zmax=2×2+(?1)=3.yxO11l1l0l2讲授新课解答线性规划问题的步骤：讲授新课解答线性规划问题的步骤：第一步：根据约束条件画出可行域；
讲授新课解答线性规划问题的步骤：第一步：根据约束条件画出可行域；
第二步：令z＝0，画直线l0；
讲授新课解答线性规划问题的步骤：第一步：根据约束条件画出可行域；
第二步：令z＝0，画直线l0；
第三步：观察，分析，平移直线l0，
从而找到最优解；
讲授新课解答线性规划问题的步骤：第一步：根据约束条件画出可行域；
第二步：令z＝0，画直线l0；
第三步：观察，分析，平移直线l0，
从而找到最优解；
第四步：求出目标函数的最大值或最
小值.例2.求z＝x－y的取值范围，
使式中的x、y满足约束条件：讲授新课讲授新课例3.求z＝x2＋y2的最大值和最小值，
使式中的x、y满足约束条件课堂小结解答线性规划问题的步骤：第一步：根据约束条件画出可行域；
第二步：令z＝0，画直线l0；
第三步：观察，分析，平移直线l0，
从而找到最优解；
第四步：求出目标函数的最大值或最
小值.1. 阅读教科书P.87-P.88；2. 教科书P.91面练习第1题(2)；3.《习案》第二十九.课外作业双基限时练(二十一)
1．设z＝x－y，式中变量x，y满足条件则z的最小值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．－2
解析 作出可行域，如图所示．
解方程组
得交点A(2,1)．
当直线x－y＝0平移过点A(2,1)时，z有最小值1.
答案 A
2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为( )
A．6 B．7
C．8 D．23
解析 不等式表示的平面区域如图所示．
当z＝2x＋3y过点A时取得最小值，联立方程组取得A(2,1)．将点A坐标代入z＝2x＋3y中得zmin＝7.
答案 B
3．设x，y满足则z＝x＋y( )
A．有最小值2，最大值3
B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值
D．既无最小值，也无最大值
解析 如图，z＝x＋y表示直线过可行域时，在y轴上的截距，当目标函数平移至过可行域A点时，z有最小值．联立解得A(2,0)．
z最小值＝2，z无最大值．
答案 B
4．某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、 B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )
A．12万元 B．20万元
C．25万元 D．27万元
解析 设该企业在一个生产周期内生产甲产品x吨，乙产品y吨，获得利润z万元，则依题意，有
目标函数z＝5x＋3y，画出不等式组表示的平面区域及直线l0：5x＋3y＝0，易知当平移l0经过点(3,4)时，z取得最大值为5×3＋3×4＝27，故选D.
答案 D
5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费用为200元，设备乙每天的租赁费用为300元．现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
解析 设租赁甲、乙两种设备x，y台，则
目标函数z＝200x＋300y，画出可行域知目标函数在点(4,5)处取得最小值，故目标函数的最小值为2300.
答案 2300
6．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为________.
货物
体积(m3/箱)
重量(50 kg/箱)
利润(百元/箱)
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制
24
13
解析 设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x，y，则
目标函数z＝20x＋10y，画出可行域如图．
由得A(4,1)．
易知当直线2x＋y＝0平移经过点A时，z取得最大值．
答案 4,1
7．某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m2，每张可作A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m2，每张可作A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)
解 设用甲种钢板x张，乙种钢板y张，依题意
钢板总面积z＝2x＋3y.作出可行域，如图所示．
由图可知当直线z＝2x＋3y过点P时，z最小．
由方程组得
所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省．
8．某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t支援物资的任务．该公司有8辆载重6 t的A型卡车与4辆载重为10 t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型为320元，B型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A型或B型卡车，所花的成本费分别是多少？
解 设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆．列表分析数据．
A型车
B型车
限量
车辆数
x
y
10
运物吨数
24x
30y
180
费用
320x
504y
z
由表可知x，y满足的线性条件
且z＝320x＋504y.
作出线性区域，如图所示．可知当直线z＝320x＋504y过A(7.5,0)时，z最小，但A(7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z＝320x＋504y，可知点(5,2)是最优解．这时zmin＝320×5＋504×2＝2608(元)，即用5辆A型车，2辆B型车，成本费最低．
若只用A型车，成本费为8×320＝2560(元)，
只用B型车，成本费为×504＝3024(元)．
9．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙的投资的，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，问该公司正式投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为多少？
解 设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，共可获利z万元，则z＝0.4x＋0.6y.
由题意知
作出可行域如图，
由图可以看出，当直线经过可行域上的点A(24,36)时，z取得最大值．
z＝0.4x＋0.6y＝0.4×24＋0.6×36＝31.2.
即该公司正式投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为31.2万元．
第1课时 简单的线性规划问题
1．了解线性规划中的基本概念．[来源:学&科&网Z&X&X&K]
2．会用图解法解决线性规划问题．
1．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
变量x，y满足的一组条件
线性约束条件
由x，y的________不等式组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式
线性目标函数
目标函数是关于x，y的________解析式
可行解
满足线性约束条件的____
可行域
所有可行解组成的____
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的______
线性规划问题
在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题
【做一做1－1】 线性规划中的可行域中的点(x，y)是( )
A．最优解 B．可行解
C．线性目标函数 D．可能不满足线性约束条件
【做一做1－2】 目标函数z＝2x－y，将其看成直线方程时，z的意义是( )
A．该直线在坐标轴上的距离 B．该直线在y轴上的截距
C．该直线在y轴上的截距的相反数 D．该直线在x轴上的截距
答案：1．二元一次 一次函数 解 集合 可行解 [来源:学。科。网Z。X。X。K]
【做一做1－1】 B
【做一做1－2】 C
1．理解线性规划的有关概念
剖析：(1)线性约束条件就是指变量x，y满足的二元一次不等式组．
(2)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x，y的次数上作了严格的限定，一次解析式z＝Ax＋By＋C，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数．
当B≠0时，由z＝Ax＋By＋C，得y＝－x＋.这样，二元一次函数就可视为斜率为－，在y轴上截距为，且随之变化的一组平行线．于是把求z的最大值或最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上截距的最大值或最小值问题．
当B＞0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大．
当B＜0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小．
(3)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解构成的一个区域．即可行域是约束条件对应的二元一次不等式组表示的平面区域(或其内部的一些点)．可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无穷大的区域．
2．确定线性规划中的最优解
剖析：根据解题经验，确定最优解的思维过程是：
线性目标函数z＝Ax＋By＋C(A，B不全为0)中，当B≠0时，y＝－x＋，这样线性目标函数可看成斜率为－，在y轴上的截距为，且随z变化的一组平行线，则把求z的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上的截距的最大值和最小值的问题．因此只需先作出直线y＝－x，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解．应特别注意，当B＞0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B＜0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小．通常情况下，可以利用可行域边界直线的斜率来判断．
对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解．最优解一般在可行域的顶点处取得．若要求最优整解，则必须满足x，y均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出的最优整解．上述求整点最优解的方法可归纳为三步：找整点→验证→选最优整解．
题型一 求线性目标函数的最值[来源:Zxxk.Com]
【例题1】 (2018·北京海淀二模)点P(x，y)在不等式组表示的平面区域内，则z＝x＋y的最大值为__________．
反思：解决线性规划问题的方法是图解法，即借助直线(把线性目标函数看作斜率确定的一组平行线)与平面区域(可行域)有交点时，直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解．
其步骤是：
(1)根据线性约束条件，在直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来；
(2)运用数形结合的思想，把线性目标函数看成是直线系，将目标函数表示的直线平行移动，最先通过的顶点或最后通过的顶点便是所需要的点，由此可以确定目标函数的最优解．特别地，当线性目标函数表示的直线与可行域的某边平行时，其最优解可能有无数个；
(3)若要求的最优解是整数解，而得到的解为非整数解时，应作适当调整，其方法是应以到线性目标函数表示的直线的距离为依据，在直线附近的可行域里寻求与此直线距离最近的整点，如果可行域中整点很少，也可逐个验证．
题型二 易错辨析
【例题2】 已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围．
错解：依题意
①＋②，得0≤2x≤8，即0≤x≤4.③
①＋②×(－1)，得－2≤2y≤6，
即－1≤y≤3.④
∴－9≤2x－3y≤11.
错因分析：错解中由①②得到不等式③④是利用了不等式中的加法法则，而此法则不具有可逆性，从而使x，y的范围扩大，这样2x－3y的范围也就随之扩大了．
反思：1.本题中的两个变量x，y之间并不是相互独立的关系，而是由不等式组决定的相互制约的关系．x取得最大(或最小)值时，y并不能同时取得最大(或最小)值；y取得最大(或最小)值时，x也并不能同时取得最大(或最小)值．如果忽视了x，y之间的相互制约关系，将导致所求的取值范围出错．
2．已知几个二元一次式的范围，求另外一个二元一次式的范围问题，通常有两种解法，即用线性规划或把所求用已知线性表示后再利用不等式的性质求解．
答案：【例题1】 6 画出可行域，如图中的阴影部分所示．
由z＝x＋y，得y＝－x＋z，
则z是直线y＝－x＋z在y轴上的截距．
由可行域知，当直线y＝－x＋z经过点A(2,4)时，z取最大值，此时x＝2，y＝4，则z的最大值为z＝x＋y＝2＋4＝6.
【例题2】 正解：解法一：作出二元一次方程组所表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)即可行域．考虑z=2x－3y，把它变形为y=，得到斜率为，且随z变化的一组平行直线．是直线在y轴上的截距，当直线截距最大时，z的值最小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=2x－3y取得最小值；当直线截距最小时，z的值最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=2x－3y取得最大值．
由图可见，当直线z=2x－3y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最小．
解方程组得A的坐标为(2,3)，[来源:学科网ZXXK]
∴zmin=2x－3y=2×2－3×3=－5.
当直线z＝2x－3y经过可行域上的点B时，截距最小，即z最大．解方程组得B的坐标为(2，－1)，
∴zmax＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7.
∴－5≤2x－3y≤7.
∴2x－3y的取值范围是[－5,7]．
解法二：设2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y)，
则2x－3y＝(a＋b)x＋(a－b)y，
∴∴
即2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)．
又1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，
∴－≤－(x＋y)≤－，
－≤(x－y)≤.
∴－5≤－(x＋y)＋(x－y)≤7，
即－5≤2x－3y≤7.
∴2x－3y的取值范围是[－5,7]．
1设实数x和y满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值为( )
A．26 B．24 C．16 D．14
2若则z＝x＋2y的最大值是__________．
3 (2018·北京昌平二模)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则此三角形的面积是__________；若x，y满足上述约束条件，则z＝x－y的最大值是__________．[来源:Z,xx,k.Com]
4若实数x，y满足求z＝3x＋2y的最小值．
5已知－4≤a－b≤－1，－1≤4a－b≤5，求9a－b的取值范围．
答案：1．D 2.3 3.1 2
4. 解：不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．
令t=x+2y，则当直线y=经过原点O(0,0)时，取最小值，即t有最小值为0，则z=3x+2y有最小值为30=1.
5．解：令a＝x，b＝y，z＝9a－b，即已知－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，求z＝9x－y的取值范围，画出不等式组表示的可行域如图中的阴影部分所示．
由z＝9x－y，得y＝9x－z，当直线过A点时z取最大值，当直线过点B时z取最小值．
由得A(3,7)．
由得B(0,1)．
即zmax＝9×3－7＝20，zmin＝－1.
所以9a－b的取值范围是[－1,20]．
3．3.2 简单的线性规划问题(一)
课时目标
1．了解线性规划的意义．
2．会求一些简单的线性规划问题．
线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式或方程
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
一、选择题
1．若实数x，y满足不等式组则x＋y的最大值为( )
A．9 B. C．1 D.
答案 A
解析 画出可行域如图：
当直线y＝－x＋z过点A时，z最大．
由得A(4,5)，∴zmax＝4＋5＝9.
2．已知点P(x，y)的坐标满足条件则x2＋y2的最大值为( )
A. B．8 C．16 D．10
答案 D
解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示：
易得A(1,1)，|OA|＝，B(2,2)，
|OB|＝2，
C(1,3)，|OC|＝.
∴(x2＋y2)max＝|OC|2＝()2＝10.
3．在坐标平面上有两个区域M和N，其中区域M＝，区域N＝{(x，y)|t≤x≤t＋1,0≤t≤1}，区域M和N公共部分的面积用函数f(t)表示，则f(t)的表达式为( )
A．－t2＋t＋ B．－2t2＋2t
C．1－t2 D.(t－2)2
答案 A
解析
作出不等式组所表示的平面区域．
由t≤x≤t＋1,0≤t≤1，得
f(t)＝S△OEF－S△AOD－S△BFC
＝1－t2－(1－t)2
＝－t2＋t＋.
4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为( )
A．3，－11 B．－3，－11
C．11，－3 D．11,3
答案 A
解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z＝3x－4y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值．易求A(3,5)，B(5,3)．∴z最大＝3×5－4×3＝3，z最小＝3×3－4×5＝－11.
5设不等式组，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，则|AB|的最小值为( )
A. B．4 C. D．2
答案 B
解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D(1,1)，E(1,2)，C(3,3)．
要求|AB|min，可通过求D、E、C三点到直线3x－4y－9＝0距离最小值的2倍来求．
经分析，D(1,1)到直线3x－4y－9＝0的距离d＝＝2最小，∴|AB|min＝4.
二、填空题
6．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为________．
答案 7
解析 作出可行域如图所示．
由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最小值，z的最小值为7.
7．已知－1答案 (3,8)
解析 由得平面区域如图阴影部分所示．
由得
由得
∴2×3－3×1即38．已知实数x，y满足则的最大值为________．
答案 2
解析 画出不等式组对应的平面区域Ω，＝表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率．
A(1,2)，B(3,0)，∴0≤≤2.
三、解答题
9．线性约束条件下，求z＝2x－y的最大值和最小值．
解 如图作出线性约束条件
下的可行域，包含边界：其中三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于点A(3,3)，
x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1)，
x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9)，
作一组与直线2x－y＝0平行的直线l：2x－y＝z，
即y＝2x－z，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为－z，当l经过点B时，－z取最小值，此时z最大，即zmax＝2×9－1＝17；当l经过点C时，－z取最大值，此时z最小，即zmin＝2×1－9＝－7.
∴zmax＝17，zmin＝－7.
10．已知，求x2＋y2的最小值和最大值．
解 作出不等式组
的可行域如图所示，
由，得A(1,3)，
由，得B(3,4)，
由，得C(2,1)，
设z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B的距离最大，注意到OC⊥AC，∴原点到点C的距离最小．
故zmax＝|OB|2＝25，zmin＝|OC|2＝5.
能力提升
11．已知实数x，y满足，求x2＋y2－2的取值范围．
解 作出可行域如图，
由x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，
可以看作区域内的点与原点的距离的平方，
最小值为原点到直线x＋y－6＝0的距离的平方，
即|OP|2，最大值为|OA|2，
其中A(4,10)，|OP|＝＝＝3，
|OA|＝＝，
∴(x2＋y2－2)min＝(3)2－2＝18－2＝16，
(x2＋y2－2)max＝()2－2＝116－2＝114，
∴16≤x2＋y2－2≤114.
即x2＋y2－2的取值范围为16≤x2＋y2－2≤114.
12．已知实数x、y满足，试求z＝的最大值和最小值．
解 由于z＝＝，
所以z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，
因此的最值就是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，
结合图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，即
zmax＝kMB＝3，此时x＝0，y＝2；
zmin＝kMC＝，此时x＝1，y＝0.
∴z的最大值为3，最小值为.
1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．
2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．
课件23张PPT。简单的线性规划问题
画出不等式组 表示的平面区域。3x+5y≤ 25 x -4y≤ - 3x≥13x+5y≤25x-4y≤-3x≥1问题２：ｙ有无最大(小)值？xyo问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？xyox=1CB 设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 ，
求ｚ的最大值和最小值。
3x+5y≤25x-4y≤-3x≥1Ａx-4y=-33x+5y=25xyox-4y=-3x=1C 设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 ，
求ｚ的最大值和最小值。 BＡ3x+5y=25问题 1: 将z＝2ｘ+ｙ如何变形?问题 2: z几何意义是_____________________________。斜率为-2的直线在y轴上的截距 则直线 l：
2ｘ+ｙ=z是一簇与 l0平行的直线,故直线 l 可通过平移直线l0而得，当直线往右上方平移时z 逐渐增大：
当l 过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3
当l 过点A(5,2)时，ｚ最大,
即 zmax＝2×5+2＝12 。 析: 作直线l0 ：2ｘ+ｙ=0 ,最优解：使目标函数达到最大值或 最小值 的可 行 解。 线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。有关概念 约束条件：由ｘ、ｙ的不等式（方程）构成的不等式组。目标函数：欲求最值的关于x、y的一次解析式。线性目标函数：欲求最值的解析式是关于x、y的一次解析式。线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。可行解：满足线性约束条件的解（x，y）。 可行域：所有可行解组成的集合。xyox-4y=-3x=1CBＡ3x+5y=25 设Z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ
满足下列条件 ，
求ｚ的最大值和最小值。
例1：设z＝2x－y,式中变量x、y满足下列条件
求ｚ的最大值和最小值。解：作出可行域如图：当ｚ＝0时，设直线 l0：2x－y＝0 当l0经过可行域上点A时，
－z 最小，即ｚ最大。 当l0经过可行域上点C时，
－ｚ最大，即ｚ最小。∴ zmax＝2×5－2＝8 zmin＝2×1－4.4＝ －2.4(5,2)(1,4.4)平移l0，平移l0 ，2x－y＝0解线性规划问题的步骤： 2、 在线性目标函数所表示的一组平行线
中，用平移的方法找出与可行域有公
共点且纵截距最大或最小的直线； 3、 通过解方程组求出最优解； 4、 作出答案。 1、 画出线性约束条件所表示的可行域；画移求答解答线性规划问题的步骤：第一步：根据约束条件画出可行域；
第二步：令z＝0，画直线l0；
第三步：观察，分析，平移直线l0，
从而找到最优解；
第四步：求出目标函数的最大值或最
小值.3x+5y=25 例2：已知x、y满足 ，设z＝ax＋y (a>0)， 若ｚ
取得最大值时，对应点有无数个，求a 的值。xyox-4y=-3x=1CBＡ解：当直线 l ：y ＝－ax＋ z 与直线AC重合时，有无数个点，使函数值取得最大值，此时有： k l ＝kAC ∵ kAC＝k l = -a∴ -a =∴ a =
例3：满足线性约束条件 的可行域中共有
多少个整数解。1223314455xy0解：由题意得可行域如图: 由图知满足约束条件的
可行域中的整点为(1,1)、
(1,2)、(2,1)、(2,2)
故有四个整点可行解.例4、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？分析：将已知数据列成表格解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么目标函数为：z＝28x＋21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域把目标函数z＝28x＋21y 变形为xyo5/75/76/73/73/76/7 它表示斜率为
随z变化的一组平行直线系 是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小。M 如图可见，当直线z＝28x＋21y 经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小。M点是两条直线的交点，解方程组得M点的坐标为：所以zmin＝28x＋21y＝16 由此可知，每天食用食物A143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元。四、练习题：1、求z＝2x＋y的最大值，使x、y满足约束条件：2、求z＝3x＋5y的最大值，使x、y满足约束条件：1.解：作出平面区域xyABCoz＝2x＋y 作出直线y=－2x＋z的图像，可知z要求最大值，即直线经过C点时。 求得C点坐标为（2，－1），则Zmax=2x＋y＝32.解：作出平面区域xyoABCz＝3x＋5y 作出直线3x＋5y ＝z 的图像，可知直线经过A点时，Z取最大值；直线经过B点时，Z取最小值。 求得A（1.5，2.5），B（－2，－1），则Zmax=17，Zmin=－11。解线性规划问题的步骤： （1）画：
画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：
在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点
且纵截距最大或最小的直线； （3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。 几个结论：1、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。
2、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义 --------与y轴上的截距相关的数。小结:
1．线性规划问题的有关概念;
2. 用图解法解线性规划问题的一般步骤;
3. 求可行域中的整点可行解。关键是找准
几何意义作业课本第93页，习题3.3 A组
第2，3，4题
