课件11张PPT。3.4基本不等式： 复习引入基本不等式： 讲授新课例1. 讲授新课例1. 变式1. 讲授新课例1. 变式1. 变式2. 讲授新课例1. 变式1. 变式2. 变式3. a,b是正数且2a+3b=4,求ab的最值和
此时a、b的值.讲授新课例2. (1)a,b都是正数且2a＋b＝2,求a(1＋b)
的最值和此时a、b的值.(2)讲授新课例3. 讲授新课练习. 课堂小结1. 阅读教材P.97-P.100；2.《习案》作业三十三.课后作业课件29张PPT。3.4基本不等式： 复习引入1．基本不等式： 复习引入1．基本不等式： 复习引入1．基本不等式： 前者只要求a, b都是实数，而后者要
求a, b都是正数.复习引入复习引入练习 复习引入练习 复习引入练习 复习引入练习 复习引入练习 复习引入小结:1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最
大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为
定值，则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立.复习引入小结:1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最
大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为
定值，则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最
小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定
值，则a＋b≥2，等号当且仅当a＝b时成立.讲授新课例1. (1)用篱笆围成一个面积为100m2的
矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为
多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆
是多少？讲授新课例1. (1)用篱笆围成一个面积为100m2的
矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为
多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆
是多少？ (2)一段长为36m的篱笆围成一个
矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为
多少时，菜园的面积最大.最大面积
是多少？讲授新课例2. 某工厂要建造一个长方形无盖贮水
池，其容积为4800m3，深为3m.如果池
底每平方米的造价为150元，池壁每平
方米的造价为120元，怎样设计能使总
造价最低？最低总造价是多少？讲授新课用均值不等式解决此类问题时，应按如下
步骤进行：
归纳:讲授新课用均值不等式解决此类问题时，应按如下
步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把
要求最大值或最小值的变量定为函数；
归纳:讲授新课用均值不等式解决此类问题时，应按如下
步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把
要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽
象为函数的最大值或最小值问题；
归纳:讲授新课用均值不等式解决此类问题时，应按如下
步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把
要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽
象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小
值；
归纳:讲授新课用均值不等式解决此类问题时，应按如下
步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把
要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽
象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小
值；
(4)正确写出答案. 归纳:讲授新课练习1. 讲授新课练习2. 讲授新课练习3.已知△ABC中，∠ACB=90o，BC=3，
AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC
的距离乘积的最大值是__________. 讲授新课练习4.某人购买小汽车,购车费用为10万元,
每年使用的保险费、养路费、汽油费约为
0.9万元,年维修费是0.2万元,以后逐年递增
0.2万元,问这种汽车使用多少年时,它的年
平均费用最少？讲授新课练习5.经过长期观测得到：在交通繁忙的
时段内，某公路汽车的车流量y(千辆/时)
与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数
关系为：(1)该时段内，当汽车的平均速度v为多少
时，车流量最大？最大车流量为多少？
(2)若要求在该时段内，车流量超过10千辆
/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？课堂小结 本节课我们用两个正数的算术平均数
与几何平均数的关系顺利解决了函数的一
些最值问题.
在用均值不等式求函数的最值，是值
得重视的一种方法，但在具体求解时，应
注意考查下列三个条件：课堂小结(1)函数的解析式中，各项均为正数；
(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或
积必须有一个为定值；
(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，
取得最值.课堂小结(1)函数的解析式中，各项均为正数；
(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或
积必须有一个为定值；
(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，
取得最值. 即用均值不等式求某些函数的最值时，
应具备三个条件：一正二定三取等.1. 阅读教材P.97-P.100；2.《习案》作业三十二.课后作业第三课时 基本不等式（三）
（一）教学目标
（1）知识与技能目标
1.熟练使用a2+b2(2ab和.
2.会应用此定理求某些函数的最值；
3.能够解决一些简单的实际问题.
（2）过程与能力目标
了解运用的条件，熟练运用不等式中1的变换.
（3）情感与态度目标
通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.
（二）教学重点：在运用中要注意“一正”、“二定”、“三相等”.
教学难点：的运用.
（三）教学流程
（1）复习：基本不等式
（2）举例分析
变形3： a,b是正数且2a+3b=4,求ab的最值和此时a、b的值
例2． a,b都是正数且2a+b=2,求a(1+b)的最值和此时a、b的值
。
证法1：直接用公式
证法2：对1进行变换
练 习
课堂小结：
课后作业：《习案》作业三十三
第二课时 基本不等式（二）
一、教学目标
（1）知识与技能：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题
（2）过程与方法：本节课是基本不等式应用举例的延伸。
（3）情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性
二、教学重点、教学难点
教学重点：正确运用基本不等式
教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件
三、教学流程
（一）复习引入
1．基本不等式：如果
如果a,b是正数，那么
前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数
?．我们称的算术平均数，称的几何平均数?
成立的条件是不同的：
练习
小结：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，
且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立.
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，
则a＋b≥2，等号当且仅当a＝b时成立.
（二）举例分析
例1、（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的
篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。
最大面积是多少？
解：分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值
（1）设矩形菜园的长为 m, 宽为 m,则 篱笆的长为2（）m
由 ，可得 2（）
等号当且仅当，
因此，这个矩形的长、宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m
（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大
设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则2（）=36，=18，矩形菜园的面积为，
由 可得 ,
可得等号当且仅当
因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81
例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800深为3 m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？
分析：若底面的长和宽确定了，水池的造价也就确定了，因此可转化为考察底面的长和宽各为多少时，水池的总造价最低。
解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得
当
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元
归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
练习3：已知△ABC中，∠ABC=900，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的
最大值是
（四）课堂小结
本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。
在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：
(1)函数的解析式中，各项均为正数；
(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
（五）作业：《习案》作业三十二。
双基限时练(二十二)
1．已知a，b∈R＋，则下列不等式不一定成立的是( )
A．a＋b＋≥2
B．(a＋b)≥4
C.≥a＋b
D.≥
解析 取a＝，b＝1试验知D不成立．
答案 D
2．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是( )
A．2 B．2
C．4 D．5
解析 ∵a>0，b>0，
∴＋≥，当且仅当a＝b时取等号，
∴＋＋2≥＋2≥4，
当且仅当＝2，即ab＝1，
∴当a＝b＝1时，＋＋2有最小值4.
答案 C
3．若对x>0，y>0，有(x＋2y)≥m恒成立，m的取值范围是( )
A．m≤8 B．m>8
C．m<0 D．m≤4
解析 (x＋2y)＝2＋＋＋2≥4＋2 ＝8.∴m≤8.
答案 A
4．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
解析 ∵a＋b＝2，∴a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4＝2(a－1)2＋2，a∈[0,2]．∴a2＋b2≥2.
答案 C
5．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( )
A. x＝ B．x≤
C．x> D．x≥
解析 依题意，可得
(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤2＝2，
∴1＋x≤1＋.即x≤.
答案 B
6．若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是________．
解析 3a＋3b≥2＝2＝6.
当且仅当a＝b＝1时，取等号．
答案 6
7．设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值是________．
解析 由x－2y＋3z＝0，得y＝，代入，得
≥＝3，
当且仅当x＝3z时取“＝”．
答案 3
8．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．
解析 函数y＝loga(x＋3)－1的图象恒过定点A(－2，－1)．又∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴2m＋n＝1.
∴＋＝(2m＋n)
＝4＋≥4＋2＝8，当且仅当＝.
∵mn>0，∴n＝2m时，等号成立．
∴当m＝，n＝时，＋有最小值8.
答案 8
9．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
解析 ∵x>0，y>0，∴1＝＋≥2 ＝ ，∴xy≤3，当且仅当＝，即x＝，y＝2时，xy有最大值3.
答案 3
10．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3 m，|AD|＝2 m.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则AN的长度应在什么范围内？
(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小值．
解 设AN的长为x m(x>2)，则由＝得|AM|＝.所以S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝.
(1)由S矩形AMPN>32，得>32.又x>2，所以3x2－32x＋64>0，解得28.所以AN的长度的取值范围为∪(8，＋∞)．
(2)因为S矩形AMPN＝＝＝3(x－2)＋＋12≥2＋12＝24，当且仅当3(x－2)＝，即x＝4时，等号成立．
所以当AN的长度是4 m时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24 m2.
11．围建一个360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
解 (1)如图，设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360，
由已知xa＝360，得a＝.
∴y＝225x＋－360(x>0)．
(2)∵x>0，∴225x＋≥2＝10800.
∴y＝225x＋－360≥10440.当且仅当225x＝时，等号成立．
即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
12．设f(x)＝.
(1)求f(x)的最大值；
(2)证明：对任意实数a，b恒有f(a)解 (1)f(x)＝＝＝≤＝2，
当且仅当2x＝时，即x＝时等号成立．
∴f(x)的最大值为2.
(2)证明：∵b2－3b＋＝2＋3，
∴当b＝时，b2－3b＋有最小值3.
由(1)知，f(a)有最大值2，
又2<3，∴对任意实a，b恒有f(a)第2课时 基本不等式的应用
1．复习巩固基本不等式．
2．能利用基本不等式求函数的最值，并会解决有关的实际应用问题．
1．重要不等式a2＋b2≥2ab
(1)不等式的证明：课本应用了图形间的面积关系推导出了a2＋b2≥______，也可用分析法证明如下：
要证明a2＋b2≥2ab，只要证明a2＋b2－2ab≥0，即证明(a－b)2≥0，这显然对a，b∈R成立，所以a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．
(2)关于不等式a2＋b2≥2ab的几点说明：
①不等式中的a，b的取值是____实数，它们既可以是具体的某个数，也可以是一个代数式．
②公式中等号成立的条件是______，如果a，b不能相等，则a2＋b2≥2ab中的等号不能成立．
③不等式a2＋b2≥2ab可以变形为ab≤，4ab≤a2＋b2＋2ab,2(a2＋b2)≥(a＋b)2等．[来源:学+科+网Z+X+X+K]
【做一做1】 不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
2．基本不等式
如果a，b为正实数，那么≥____，当且仅当a＝b时，式中等号成立．
我们应该从以下几个方面来理解基本不等式：
(1)基本不等式反映了两个正数的和与积之间的关系，对它的准确理解应抓住两点：一是其成立的条件是a，b都是____；二是“当且仅当_____”时等号成立．
(2)它还可以描述为：
两个正实数的算术平均值大于或等于它的____平均值．
(3)基本不等式是非常重要又极为有用的不等式，它与不等式的性质构成了本章的公理体系，奠定了不等式的理论基础．
【做一做2】 已知0＜α＜π，则2sin α＋的最小值是__________．
答案：1．(1)2ab (2)①任意 ②a＝b
【做一做1】 B
2. (1)正数 a＝b (2)几何
【做一做2】 2
利用基本不等式解应用题的步骤
剖析：(1)审清题意，读懂题；
(2)恰当地设未知数，通常情况下把欲求最值的变量看成函数y；
(3)建立数学模型，即从实际问题中抽象出函数的关系式，并指明函数的定义域，把实际问题转化为求函数最值的问题；
(4)在函数的定义域内，利用基本不等式求出函数的最值；
(5)根据实际问题写出答案．
不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到．若取不到，则必须利用函数的单调性去求函数的最值．
题型一 实际应用题
【例题1】 某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
分析：转化为求函数的最小值．
反思：在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：[来源:学+科+网Z+X+X+K]
①先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
②建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
④根据实际背景写出答案．
题型二 易错辨析[来源:Z。xx。k.Com]
【例题2】 求函数y＝的最小值．
错解：y＝＝＋
＝＋≥2，故y有最小值2.
错因分析：错解中在用基本不等式求最值时，没考虑到定理成立的条件，实际上不论x取何值，总有≠.因此本题不能用基本不等式求解．
反思：利用基本不等式求函数的最值时，若出现等号不成立时，则可借助于函数的单调性来解决．
答案：【例题1】 解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
则f(x)＝(560＋48x)＋
＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)．
所以f(x)＝560＋48x＋
≥560＋2＝2 000，
当且仅当48x＝，
即x＝15时取等号．
因此，当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2 000，
即为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．
【例题2】 正解：设t＝，则y＝t＋，t≥.
可以证明y＝t＋在[，＋∞)上为增函数，
则y≥＋＝，
即ymin＝，此时t＝，则x＝0.
1函数y＝3x＋32－x的最小值为__________．
2两直角边之和为4的直角三角形面积的最大值等于__________．
3如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________ dm2.
4函数y＝(x≥5)的最小值为__________．
5已知某企业原有员工2 000人，每人每年可为企业创利3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，当待岗员工人数x不超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利万元；当待岗员工人数x超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利0.9万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？
答案：1．6 2.2 3.56 4.
5．解：设重组后，该企业年利润为y万元．
当待岗人员不超过1%时，
由＞0，x≤2 000×1%＝20，[来源:学科网ZXXK]
得0＜x≤20(x∈N)，
则y＝(2 000－x)[来源:Z。xx。k.Com]
＝；
当待岗人员超过1%且不超过5%时，
由20＜x≤2 000×5%，得20＜x≤100(x∈N)，
则y＝(2 000－x)(3.5＋0.9)－0.5x
＝－4.9x＋8 800.
故y＝
当0＜x≤20，且x∈N时，
有，
则y＝≤－5×32＋9 000.64＝8 840.64，
当且仅当x＝，即x＝16时取等号，此时y取得最大值8 840.64；
当20＜x≤100，且x∈N时，函数y＝－4.9x＋8 800为减函数．
所以y＜－4.9×20＋8 800＝8 702.
又8 840.64＞8 702，
故当x＝16时，y有最大值8 840.64.
即要使企业年利润最大，应安排16名员工待岗．
§3.4 基本不等式：≤(二)
课时目标
1．熟练掌握基本不等式及变形的应用；
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．设x，y为正实数
(1)若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为.
(2)若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2.
2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：
(1)x，y必须是正数；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．
(3)等号成立的条件是否满足．
利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．
一、选择题
1．函数y＝log2 (x>1)的最小值为( )
A．－3 B．3 C．4 D．－4
答案 B
2．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为( )
A．2 B．4 C．16 D．不存在
答案 B
解析 ∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.
∴2x＋4y≥2＝2＝4(x＝，y＝时取等号)．
3．已知x≥，则f(x)＝有( )
A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1
答案 D
解析 f(x)＝＝
＝≥1.
当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立．
4．函数y＝的最小值为( )
A．2 B. C．1 D．不存在
答案 B
解析 y＝＝＋
∵≥2，而≤，所以不能用基本不等式求最小值，用函数的单调性求最值，函数y＝x＋在(1，＋∞)上是增函数，∴在[2，＋∞)上也是增函数．
∴当＝2即x＝0时，ymin＝.
5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4 C. D.
答案 B
解析 ∵8－(x＋2y)＝2xy＝x·(2y)≤()2.
∴原式可化为(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.
∵x>0，y>0，∴x＋2y≥4.
当x＝2，y＝1时取等号．
6．若xy是正数，则2＋2的最小值是( )
A．3 B. C．4 D.
答案 C
解析 2＋2
＝x2＋y2＋＋＋
＝＋＋≥1＋1＋2＝4.
当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．
二、填空题
7．设x>－1，则函数y＝的最小值是________．
答案 9
解析 ∵x>－1，∴x＋1>0，
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有y＝＝＝t＋＋5≥
2＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.
∴当x＝1时，
函数y＝取得最小值为9.
8．已知正数a，b满足a＋b－ab＋3＝0，则ab的最小值是________．
答案 9
解析 ∵a＋b－ab＋3＝0，
∴ab＝a＋b＋3≥2＋3.
令＝t，则t2≥2t＋3.
解得t≥3(t≤－1舍)．即≥3.
∴ab≥9.当且仅当a＝b＝3时，取等号．
9．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
答案 1 760
解析 设水池的造价为y元，长方形底的一边长为x m，由于底面积为4 m2，所以另一边长为 m．那么
y＝120·4＋2·80·＝480＋320
≥480＋320·2＝1 760(元)．
当x＝2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．
10．函数y＝loga(x＋3)－1 (a>0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．
答案 8
解析 ∵A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，
∴－2m－n＋1＝0，
即2m＋n＝1，mn>0，∴m>0，n>0.
∴＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8.
当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．
故＋的最小值为8.
三、解答题
11．已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
解 方法一 ∵＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋.
∵x>0，y>0，∴＋≥2 ＝6.
当且仅当＝，即y＝3x时，取等号．
又＋＝1，∴x＝4，y＝12.
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
方法二 由＋＝1，得x＝，
∵x>0，y>0，∴y>9.
x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1
＝(y－9)＋＋10.
∵y>9，∴y－9>0，
∴y－9＋＋10≥2 ＋10＝16，
当且仅当y－9＝，即y＝12时取等号．
又＋＝1，则x＝4，
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
12．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?
解 设使用x年的年平均费用为y万元．
由已知，得y＝，
即y＝1＋＋(x∈N*)．
由基本不等式知y≥1＋2 ＝3，当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．
能力提升
13．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有( )
A．2∈M,0∈M B．2?M,0?M C．2∈M,0?M D．2?M,0∈M
答案 A
解析 ∵(1＋k2)x≤k4＋4，∴x≤.
∵＝＝(1＋k2)＋－2≥2－2.
∴x≤2－2，M＝{x|x≤2－2}，∴2∈M,0∈M.
14．设正数x，y满足＋≤a·恒成立，则a的最小值是______．
答案
解析 ∵≤ 成立，
∴＋≤·，∴a≥.
1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．
2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．
3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．
课件32张PPT。3.4基本不等式： 课堂作业复习引入1．基本不等式： 复习引入1．基本不等式： 复习引入1．基本不等式： 前者只要求a, b都是实数，而后者要
求a, b都是正数.复习引入复习引入练习 复习引入练习 复习引入小结:1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最
大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为
定值，则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立.复习引入小结:1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最
大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为
定值，则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最
小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定
值，则a＋b≥2，等号当且仅当a＝b时成立.讲授新课例1. 练习. 讲授新课例2. 讲授新课例3. P矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为
多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆
是多少？ (2) 一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?讲授新课例2. 某工厂要建造一个长方形无盖贮水
池，其容积为4800m3，深为3m.如果池
底每平方米的造价为150元，池壁每平
方米的造价为120元，怎样设计能使总
造价最低？最低总造价是多少？讲授新课用均值不等式解决此类问题时，应按如下
步骤进行：
归纳:讲授新课用均值不等式解决此类问题时，应按如下
步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把
要求最大值或最小值的变量定为函数；
归纳:讲授新课用均值不等式解决此类问题时，应按如下
步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把
要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽
象为函数的最大值或最小值问题；
归纳:讲授新课用均值不等式解决此类问题时，应按如下
步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把
要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽
象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小
值；
归纳:讲授新课用均值不等式解决此类问题时，应按如下
步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把
要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽
象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小
值；
(4)正确写出答案. 归纳:讲授新课练习1. 讲授新课练习2. 讲授新课练习3.已知△ABC中，∠ACB=90o，BC=3，
AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC
的距离乘积的最大值是__________. 讲授新课练习4.某人购买小汽车,购车费用为10万元,
每年使用的保险费、养路费、汽油费约为
0.9万元,年维修费是0.2万元,以后逐年递增
0.2万元,问这种汽车使用多少年时,它的年
平均费用最少？讲授新课练习5.经过长期观测得到：在交通繁忙的
时段内，某公路汽车的车流量y(千辆/时)
与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数
关系为：(1)该时段内，当汽车的平均速度v为多少
时，车流量最大？最大车流量为多少？
(2)若要求在该时段内，车流量超过10千辆
/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？课堂小结 本节课我们用两个正数的算术平均数
与几何平均数的关系顺利解决了函数的一
些最值问题.
在用均值不等式求函数的最值，是值
得重视的一种方法，但在具体求解时，应
注意考查下列三个条件：课堂小结(1)函数的解析式中，各项均为正数；
(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或
积必须有一个为定值；
(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，
取得最值.课堂小结(1)函数的解析式中，各项均为正数；
(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或
积必须有一个为定值；
(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，
取得最值. 即用均值不等式求某些函数的最值时，
应具备三个条件：一正二定三取等.作业
