课件17张PPT。3.4基本不等式: 引入新课提问1:我们把“风车”造型抽象成下图.
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边的长为a、b,
那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?引入新课提问1:我们把“风车”造型抽象成下图.
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边的长为a、b,
那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?提问2:那4个直角三角形的面积和是多
少呢?引入新课提问3:根据观察4个直角三角形的面积
和正方形的面积,我们可得容易得到一个
不等式 ,什么时候这两部
分面积相等呢?讲授新课 一般地,对于任意实数a、b,我们有
,当且仅当a=b时,等号
成立.提问4:你能给出它的证明吗?讲授新课注意:讲授新课提问5:观察右图,你能得到不等式的几何解释吗?讲授新课讲授新课例1. 讲授新课例1. 练习. 讲授新课例2. 讲授新课例3. 讲授新课例4. 讲授新课例5. 讲授新课例5. 练习.教材P.100练习第1、2题.课堂小结比较两个重要不等式的联系和区别:1. 阅读教材P.97-P.100;2.《习案》作业三十一.课后作业 3.4 基本不等式
第一课时 基本不等式(一)
一、教学目标
(1)知识与技能:理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明;理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释
(2)过程与方法 :本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明,从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解,并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性,老师要帮助学生分析每一步的理论依据,培养学生良好的数学品质
(3)情感与价值:培养学生举一反三的逻辑推理能力,并通过不等式的几何解释,丰富学生数形结合的想象力
二、教学重点、难点
教学重点:两个不等式的证明和区别
教学难点:理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵
三、教学过程
提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为、,那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?
(,)
提问2:那4个直角三角形的面积和是多少呢? ( )
提问3:根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积,我们可得容易得到一个不等式,。什么时候这两部分面积相等呢?
(当直角三角形变成等腰直角三角形,即时,正方形EFGH变成一个点,这时有)
1、一般地,对于任意实数 、,我们有,当且仅当时,等号成立。
提问4:你能给出它的证明吗?
证明:
所以
注意强调 (1) 当且仅当时,
(2)特别地,如果 用和代替、,可得,
也可写成,引导学生利用不等式的性质推导
提问5:观察图形3.4-3,你能得到不等式的几何解释吗?
练习、已知:求证:
例3、若,,,
比较的大小
例4、当时,求函数的值域。
例5、若实数满足求的最小值
练习:教材P100面练习1题、2题。
四:课堂小结:
比较两个重要不等式的联系和区别
五:作业:《习案》作业三十一。
双基限时练(二十二)
1.已知a,b∈R+,则下列不等式不一定成立的是( )
A.a+b+≥2
B.(a+b)≥4
C.≥a+b
D.≥
解析 取a=,b=1试验知D不成立.
答案 D
2.已知a>0,b>0,则++2的最小值是( )
A.2 B.2
C.4 D.5
解析 ∵a>0,b>0,
∴+≥,当且仅当a=b时取等号,
∴++2≥+2≥4,
当且仅当=2,即ab=1,
∴当a=b=1时,++2有最小值4.
答案 C
3.若对x>0,y>0,有(x+2y)≥m恒成立,m的取值范围是( )
A.m≤8 B.m>8
C.m<0 D.m≤4
解析 (x+2y)=2+++2≥4+2 =8.∴m≤8.
答案 A
4.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则( )
A.ab≤ B.ab≥
C.a2+b2≥2 D.a2+b2≤3
解析 ∵a+b=2,∴a2+b2=a2+(2-a)2=2a2-4a+4=2(a-1)2+2,a∈[0,2].∴a2+b2≥2.
答案 C
5.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则( )
A. x= B.x≤
C.x> D.x≥
解析 依题意,可得
(1+x)2=(1+a)(1+b)≤2=2,
∴1+x≤1+.即x≤.
答案 B
6.若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是________.
解析 3a+3b≥2=2=6.
当且仅当a=b=1时,取等号.
答案 6
7.设x,y,z为正实数,满足x-2y+3z=0,则的最小值是________.
解析 由x-2y+3z=0,得y=,代入,得
≥=3,
当且仅当x=3z时取“=”.
答案 3
8.函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则+的最小值为________.
解析 函数y=loga(x+3)-1的图象恒过定点A(-2,-1).又∵点A在直线mx+ny+1=0上,∴2m+n=1.
∴+=(2m+n)
=4+≥4+2=8,当且仅当=.
∵mn>0,∴n=2m时,等号成立.
∴当m=,n=时,+有最小值8.
答案 8
9.已知x,y∈R+,且满足+=1,则xy的最大值为________.
解析 ∵x>0,y>0,∴1=+≥2 = ,∴xy≤3,当且仅当=,即x=,y=2时,xy有最大值3.
答案 3
10.如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过C点,已知|AB|=3 m,|AD|=2 m.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2,则AN的长度应在什么范围内?
(2)当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小值.
解 设AN的长为x m(x>2),则由=得|AM|=.所以S矩形AMPN=|AN|·|AM|=.
(1)由S矩形AMPN>32,得>32.又x>2,所以3x2-32x+64>0,解得2
8.所以AN的长度的取值范围为∪(8,+∞).
(2)因为S矩形AMPN===3(x-2)++12≥2+12=24,当且仅当3(x-2)=,即x=4时,等号成立.
所以当AN的长度是4 m时,矩形AMPN的面积最小,最小值为24 m2.
11.围建一个360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).
(1)将y表示为x的函数;
(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.
解 (1)如图,设矩形的另一边长为a m,
则y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360,
由已知xa=360,得a=.
∴y=225x+-360(x>0).
(2)∵x>0,∴225x+≥2=10800.
∴y=225x+-360≥10440.当且仅当225x=时,等号成立.
即当x=24 m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元.
12.设f(x)=.
(1)求f(x)的最大值;
(2)证明:对任意实数a,b恒有f(a)解 (1)f(x)===≤=2,
当且仅当2x=时,即x=时等号成立.
∴f(x)的最大值为2.
(2)证明:∵b2-3b+=2+3,
∴当b=时,b2-3b+有最小值3.
由(1)知,f(a)有最大值2,
又2<3,∴对任意实a,b恒有f(a)第1课时 基本不等式
1.理解并掌握基本不等式及其推导过程,明确基本不等式成立的条件.
2.能利用基本不等式求代数式的最值.
1.重要不等式
当a,b是任意实数时,有a2+b2≥____,当且仅当______时,等号成立.
(1)公式中a,b的取值是任意的,a和b代表的是实数,它们既可以是具体的数字,也可以是比较复杂的代数式,因此其应用范围比较广泛.今后有不少不等式的证明就是根据条件进行转化,使之可以利用该公式来证明.
(2)公式中a2+b2≥2ab常变形为ab≤或a2+b2+2ab≥4ab或2(a2+b2)≥(a+b)2等形式,要注意灵活掌握.
【做一做1】 x2+y2=4,则xy的最大值是( )
A. B.1 C.2 D.4
2.基本不等式
(1)有关概念:当a,b均为正数时,把____叫做正数a,b的算术平均数,把____叫做正数a,b的几何平均数.
(2)不等式:当a,b是任意正实数时,a,b的几何平均数不大于它们的算术平均数,即≤____,当且仅当______时,等号成立.[来源:Zxxk.Com]
(3)几何意义:半弦不大于半径.如图所示,AC=a,CB=b,则OD=_______,DC= =DE,则DC≤OD.
(4)变形:,a+b≥ (其中a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立).
从数列的角度看,a,b的算术平均数是a,b的等差中项,几何平均数是a,b的正的等比中项,则基本不等式可表示为:a与b的正的等比中项不大于它们的等差中项.
【做一做2】 已知ab=16,a>0,b>0,则a+b的最小值为__________.
答案:1.2ab a=b
【做一做1】 C
2.(1) (2) a=b (3)
【做一做2】 8
1.应用基本不等式≤求最值的条件
剖析:应用基本不等式≤求最值的条件是一正二定三相等,具体如下:
一正:a,b都是正实数,即所求最值的代数式中的各项必须都是正数,否则就会得出错误的答案.例如,当x<0时,函数f(x)=x+≥2=2,所以函数f(x)的最小值是2.由于f(-2)=-2+=-<2,那么显然这是一个错误的答案.其原因是当x<0时,不能直接用基本不等式求f(x)=x+的最值.因此,利用基本不等式求最值时,首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数.其实,当x<0时,-x>0,则f(-x)=-x+≥2=2,此时有f(x)≤-2.由此看,所求最值的代数式中的各项不都是正数时,要利用变形,先转化为各项都是正数的代数式,再求最值.
二定:ab与a+b有一个是定值.即当ab是定值时,可以求a+b的最值;当a+b是定值时,可以求ab的最值.如果ab和a+b都不是定值,那么就会得出错误的答案,陷入困境.例如,当x>1时,函数f(x)=x+≥2,所以函数f(x)的最小值是2.由于2是一个与x有关的代数式,显然这是一个错误的答案.其原因是没有掌握基本不等式求最值的条件,ab与a+b有一个是定值.其实,当x>1时,有x-1>0,则函数f(x)=x+=+1≥2+1=3.由此看,当ab与a+b没有一个是定值时,通常要把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式.
三相等:等号能够成立,即存在正数a,b使基本不等式两边相等.也就是存在正数a,b,使得=.如果忽视这一点,就会得出错误的答案.例如,当x≥2时,函数f(x)=x+≥2=2,所以函数f(x)的最小值是2.很明显x+中的各项都是正数,积也是定值,但是等号成立的条件是当且仅当x=即x=1,而函数的定义域是x≥2,所以这是一个错误的答案.其原因是基本不等式中的等号不成立.其实,根据解题经验,遇到这种情况时,一般就不再用基本不等式求最值了,此时该函数的单调性是确定的,可以利用函数的单调性求得最值.利用函数单调性的定义可以证明,当x≥2时,函数f(x)=x+是增函数,所以函数f(x)的最小值是f(2)=2+=.
2.与基本不等式有关的常用结论
剖析:(1)已知x,y∈R,
①若x2+y2=S(平方和为定值),则xy≤,当且仅当x=y时,积xy取得最大值;
②若xy=P(积为定值),则x2+y2≥2P,当且仅当x=y时,平方和x2+y2取得最小值2P.
(2)已知x>0,y>0,
①若x+y=S(和为定值),则xy≤,当且仅当x=y时,积xy取得最大值;
②若xy=P(积为定值),则x+y≥2,当且仅当x=y时,和x+y取得最小值2.
题型一 比较大小
【例题1】 当a,b为两个不相等的正实数时,下列各式中最小的是( )
A. B. C. D.
反思:在比较n个数的大小时,若从中确定一个最小(大)者,则可以把n个数分组,在每一组中确定一个最小(大)者,再将这些最小(大)者进行比较.由此题的讨论可以看到≤≤≤(a,b大于0,当且仅当a=b时,等号成立.)[来源:Z,xx,k.Com]
题型二 利用基本不等式求最值
【例题2】 已知a>3,求+a的最小值.
分析:直接使用基本不等式无法约掉字母a,而+a=+(a-3)+3.这样变形后,再用基本不等式可得证.
反思:如果要求最值的代数式不符合基本不等式的形式,可先通过适当变形,将其配凑成可使用基本不等式的形式,再利用基本不等式求最值.如本题中,将+a凑成+(a-3)+3后就可以用基本不等式求最值.
【例题3】 已知x,y均为正数,且+=1,求x+y的最小值.
分析:由于已知条件右边是一定值1,且左边各项均为正数,所以可以用整体换元、代入消元、“1”的代换等方法求解.
反思:本题易错解为:
由+=1,得+≥2=,
∴xy≥36.∴x+y≥2=12.
这显然是错误的,因为两个不等式中,不能同时取得“等号”,即不存在满足题设条件的x,y,使(x+y)min=12.
题型三 易错辨析
【例题4】 求函数y=x+的值域.
错解:∵x+≥2=2,∴函数值域为[2,+∞).
错因分析:上述解题过程中应用了基本不等式,却忽略了应用基本不等式的条件——两个数应大于零,因而导致错误.因为函数y=x+的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),所以需对x的符号加以讨论.
[来源:学科网ZXXK]
答案:【例题1】 D ∵a>0,b>0,a≠b,∴>,
∵a2+b2>2ab,∴>,
∴选项A,B,C中,最小.
又a+b>2>0,∴<1,
由于>0,两边同乘以,
得·<,
∴<,∴最小.[来源:学+科+网]
【例题2】 解:∵a>3,∴a-3>0.
由基本不等式,得+a=+a-3+3
≥2·+3=2×+3=7.
当且仅当=a-3,即a=5时取等号.
∴+a的最小值是7.
【例题3】 解:∵x,y均为正数,且+=1,显然x>1,
∴y=.
∴x+y=x+
==
=(x-1)++10≥2×3+10=16.
当且仅当x=4时取等号,即(x+y)min=16.
【例题4】 正解:函数定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
当x>0时,由基本不等式,得y=x+≥2,
当且仅当x=1时,等号成立;
当x<0时,y=x+=-.
∵-x>0,∴(-x)+≥2,
当且仅当x=-1时,等号成立,
∴y=x+≤-2.
综上可知,函数y=x+的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
1 (2011·东济南一模)若x>0,则的最小值为( )
A.2 B.3 C. D.4
2已知2a+b=1,a>0,b>0,则的最小值是( )
A. B.
C. D.[来源:学*科*网]
3(2011·安徽合肥一模)若M=(a∈R,a≠0),则M的取值范围为( )
A.(-∞,-4]∪[4,+∞) B.(-∞,-4]
C.[4,+∞) D.[-4,4]
4若a>b>1,,,,则下列结论正确的是( )
A.R<P<Q B.P<Q<R
C.Q<P<R D.P<R<Q
5设x+3y-2=0,则函数z=3x+27y+3的最小值是( )
A. B. C.6 D.9
答案:1.D 2.C 3.A 4.B 5.D
§3.4 基本不等式:≤(一)
课时目标
1.理解基本不等式的内容及其证明;
2.能利用基本不等式证明简单不等式.
1.如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号).
2.若a,b都为正数,那么≥(当且仅当a=b时,等号成立),称上述不等式为基本不等式,其中称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数.
3.基本不等式的常用推论
(1)ab≤2≤ (a,b∈R);
(2)当x>0时,x+≥2;当x<0时,x+≤-2.
(3)当ab>0时,+≥2;当ab<0时,+≤-2.
(4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca,(a,b,c∈R).
一、选择题
1.已知a>0,b>0,则,, ,中最小的是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 方法一 特殊值法.
令a=4,b=2,则=3,=, =,=.∴最小.
方法二 =,由≤≤≤ ,可知最小.
2.已知m=a+ (a>2),n=x2-2 (x<0),则m、n之间的大小关系是( )
A.m>n B.m答案 A
解析 ∵m=(a-2)++2≥2+2=4,
n=22-x2<22=4.∴m>n.
3.设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有( )
A.1≤ab≤ B.ab<1<
C.ab<<1 D.答案 B
解析 ∵ab≤2,a≠b,∴ab<1,
又∵>>0,
∴>1,∴ab<1<.
4.已知正数0A.a2+b2 B.2 C.2ab D.a+b
答案 D
解析 因为a、b∈(0,1),a≠b,所以a+b>2,a2+b2>2ab,所以,最大的只能是a2+b2与a+b之一.而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又05.设0A. B.b C.2ab D.a2+b2
答案 B
解析 ∵ab<2,∴ab<,∴2ab<.
∵>>0,∴ >,
∴a2+b2>.
∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2
=ab-a2=a(b-a)>0,∴b>a2+b2,∴b最大.
6.若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈恒成立,则a的最小值为( )
A.0 B.-2 C.- D.-3
答案 B
解析 x2+ax+1≥0在x∈上恒成立
?ax≥-x2-1?a≥max.
∵x+≥2,∴-≤-2,∴a≥-2.
二、填空题
7.若a<1,则a+有最______值,为________.
答案 大 -1
解析 ∵a<1,∴a-1<0,
∴-=(1-a)+≥2(a=0时取等号),
∴a-1+≤-2,∴a+≤-1.
8.若lg x+lg y=1,则+的最小值为________.
答案 2
解析 ∵lg x+lg y=1,∴xy=10,x>0,y>0,
∴+=+≥2(x=2时取等号).
9.已知x,y∈R+,且满足+=1,则xy的最大值为________.
答案 3
解析 ∵x>0,y>0且1=+≥2,
∴xy≤3.当且仅当=时取等号.
10.若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围为________.
答案
解析 ∵x>0,∴>0,易知a>0.
∴≥,
∴≤x++3.
∵x>0,x++3≥2+3=5(x=1时取等号),
∴≤5.∴a≥.
三、解答题
11.设a、b、c都是正数,求证:++≥a+b+c.
证明 ∵a、b、c都是正数,∴、、也都是正数.
∴+≥2c,+≥2a,+≥2b,
三式相加得2≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c.
12.a>b>c,n∈N且+≥,求n的最大值.
解 ∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,a-c>0.
∵+≥,
∴n≤+.
∵a-c=(a-b)+(b-c),
∴n≤+,
∴n≤++2.
∵+≥2
=2(2b=a+c时取等号).
∴n≤4.∴n的最大值是4.
能力提升
13.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
答案 C
解析 只需求(x+y)的最小值大于等于9即可,
又(x+y)=1+a·++a≥a+1+2 =a+2 +1,等号成立仅当a·=即可,所以()2+2 +1≥9,
即()2+2 -8≥0求得≥2或≤-4(舍去),所以a≥4,即a的最小值为4.
14.已知a,b,c为不等正实数,且abc=1.
求证:++<++.
证明 ∵+≥2 =2,
+≥2 =2,
+≥2 =2,
∴2≥2(++),
即++≥++.
∵a,b,c为不等正实数,
∴++<++.
1.设a,b是两个正实数,用min(a,b)表示a,b中的较小的数,用max(a,b)表示a,b中的较大的数,则有min(a,b)≤≤≤≤ ≤max(a,b).当且仅当a=b时,取到等号.
2.两个不等式a2+b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式,对于“当且仅当…时,取‘=’号”这句话的含义要有正确的理解.
一方面:当a=b时,=;
另一方面:当=时,也有a=b.
课件31张PPT。3.4 基本不等式高一数学必修5第三章《不等式》先阅读课本P91---P92如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗? 1.如果设直角三角形的两条直角边的边长为a和b,你能用a和b表示哪些面积?这些面积之间有什么关系?2.从图形分析,上述不等式在什么情况
下取等号? 当直角三角形为等腰直角三角形,即 a=b时, a2+b2=2ab. 新知探究3.在上面的图形背景中,a,b都是正数,那么当a,b∈R时,不等式a2+b2≥2ab成立吗?为什么? 一般地,对于任意实数a,b,有:a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立.新知探究说明:新知探究4.特别地,如果a>0,b>0,我们用 、 分别代替a、b ,可得什么不等式? 当且仅当a=b时等号成立.基本不等式新知探究变式:典例讲评典例讲评 例1 已知x、y都是正数,求证:
(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3 例2 已知 a2+b2+c2=1,
求证:(a+b+c)2≤3.典例讲评例4.已知x,y∈R+,求证:
(1)若xy为定值P,那么x=y时,和x+y有
最小值2 ;
(2)若x+y为定值S,那么x=y时,积xy有
最大值 积定和最小;
和定积最大.典例讲评典例讲评例6 已知 求
的最小值 .
典例讲评典例讲评(1)积为定值→和化积→和有最小值(2)和为定值→积化和→积有最大值最值原理: (3)环境条件:一正二定三相等.典例讲评例9 判断以下解题过程的正误:不满足“一正”典例讲评不满足“二定”典例讲评不满足“三相等”典例讲评课堂小结1.不等式a2+b2≥2ab与 都是基本不等式,它们成立的条件不同,前者a、b可为任意实数,后者要求a、b都是正数,但二者等号成立的条件相同. 课堂小结2.基本不等式有多种形式,应用时具有很大的灵活性,既可直接应用也可变式应用.一般地,遇到和与积,平方和与积,平方和与和的平方等不等式问题时,常利用基本不等式处理 3.
(1) a2+b2≥ 2ab (当且仅当a=b时取等号)(4)(3)课堂小结典例讲评例1.(1)用篱笆围成一个面积为100m2
的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为
多少时,所用篱笆最短.最短的篱笆是多少?(2)一段长为36m的篱笆围成一个一边靠
墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各
为多少时,菜园的面积最大,最大面积
是多少?典例讲评例2. 某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池, 其容积为4800 m3, 深为 3 m, 如果池底每平方米的造价为150元, 池壁每平方米的造价为120元, 怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价是多少?课堂作业