第一章测试
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．非钝角三角形
解析 最大边AC所对角为B，则cosB＝＝－<0，∴B为钝角．
答案 C
2．在△ABC中，已知a＝1，b＝，A＝30°，B为锐角，那么A，B，C的大小关系为( )
A．A>B>C B．B>A>C
C．C>B>A D．C>A>B
解析 由正弦定理＝，∴sinB＝＝.
∵B为锐角，∴B＝60°，则C＝90°，故C>B>A.
答案 C
3．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
A．4 B．4
C．4 D.
解析 由A＋B＋C＝180°，可求得A＝45°，由正弦定理，得b＝＝＝＝4.
答案 C
4．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则·的值为( )
A．5 B．－5
C．15 D．－15
解析 在△ABC中，由余弦定理得
cosB＝＝＝.
∴·＝||·||cosB＝5×7×＝5.
答案 A
5．若三角形三边长之比是1：：2，则其所对角之比是( )
A．1：2：3 B．1：：2
C．1：： D.：：2
解析 设三边长分别为a，a,2a，设最大角为A，则cosA＝＝0，∴A＝90°.
设最小角为B，则cosB＝＝，
∴B＝30°，∴C＝60°.
因此三角之比为1：2：3.
答案 A
6．在△ABC中，若a＝6，b＝9，A＝45°，则此三角形有( )
A．无解 B．一解
C．两解 D．解的个数不确定
解析 由＝，得sinB＝＝＝>1.
∴此三角形无解．
答案 A
7．已知△ABC的外接圆半径为R，且2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB(其中a，b分别为A，B的对边)，那么角C的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析 根据正弦定理，原式可化为
2R＝(a－b)·，
∴a2－c2＝(a－b)b，∴a2＋b2－c2＝ab，
∴cosC＝＝，∴C＝45°.
答案 B
8．在△ABC中，已知sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为( )
A．1 B．2
C. D.
解析 由＝＝＝2R，
又sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，
可得a2＋b2－ab＝c2.
∴cosC＝＝，∴C＝60°，sinC＝.
∴S△ABC＝absinC＝.
答案 D
9．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为( )
A. B.
C. D.
解析 由余弦定理，得
cosA＝，解得AC＝3.
由正弦定理＝＝.
答案 D
10.在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为( )
A. B.
C. D.
解析 由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝－，∴∠BAC＝.
答案 A
11．有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( )
A．0.5 km B．1 km
C．1.5 km D. km
解析 如图，AC＝AB·sin20°＝sin20°，
BC＝AB·cos20°＝cos20°，DC＝＝2cos210°，
∴DB＝DC－BC＝2cos210°－cos20°＝1.
答案 B
12．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且A＝75°，则b为( )
A．2 B．4＋2
C．4－2 D.－
解析 在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，∵a＝c，∴0＝b2－2bccosA＝b2－2b(＋)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝＝(－)，∴b2－2b(＋)cos75°＝b2－2b(＋)·(－)＝b2－2b＝0，解得b＝2，或b＝0(舍去)．故选A.
答案 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．在△ABC中，A＝60°，C＝45°，b＝4，则此三角形的最小边是____________．
解析 由A＋B＋C＝180°，得B＝75°，∴c为最小边，由正弦定理，知c＝＝＝4(－1)．
答案 4(－1)
14．在△ABC中，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.
解析 由B＝A＋60°，得
sinB＝sin(A＋60°)＝sinA＋cosA.
又由b＝2a，知sinB＝2sinA.
∴2sinA＝sinA＋cosA.
即sinA＝cosA.
∵cosA≠0，∴tanA＝.
∵0°
答案 30°
15．在△ABC中，A＋C＝2B，BC＝5，且△ABC的面积为10，则B＝________，AB＝________.
解析 由A＋C＝2B及A＋B＋C＝180°，得B＝60°.
又S＝AB·BC·sinB，
∴10 ＝AB×5×sin60°，∴AB＝8.
答案 60° 8
16．在△ABC中，已知(b＋c)：(c＋a)：(a＋b)＝8：9：10，则sinA：sinB：sinC＝________.
解析 设可得a：b：c＝11：9：7.
∴sinA：sinB：sinC＝11：9：7.
答案 11：9：7
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在非等腰△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b(b＋c)．
(1)求证：A＝2B；
(2)若a＝b，试判断△ABC的形状．
解 (1)证明：在△ABC中，∵a2＝b·(b＋c)＝b2＋bc，由余弦定理，得cosB＝＝＝＝＝，
∴sinA＝2sinBcosB＝sin2B.
则A＝2B或A＋2B＝π.
若A＋2B＝π，又A＋B＋C＝π，∴B＝C.这与已知相矛盾，故A＝2B.
(2)∵a＝b，由a2＝b(b＋c)，得3b2＝b2＋bc，∴c＝2b.
又a2＋b2＝4b2＝c2.
故△ABC为直角三角形．
18．(12分)锐角三角形ABC中，边a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，角A，B满足2sin(A＋B)－＝0.求：
(1)角C的度数；
(2)边c的长度及△ABC的面积．
解 (1)由2sin(A＋B)－＝0，得sin(A＋B)＝.
∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B＝120°，∴∠C＝60°.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，
∴a＋b＝2，ab＝2.
∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝12－6＝6.
∴c＝.
S△ABC＝absinC＝×2×＝.
19．(12分)如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：
(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
解 (1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12 ，由正弦定理，得AD＝＝＝24(nmile)．
(2)在△ADC中，由余弦定理，得
CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos30°.
解得CD＝8(nmile)．
∴A处与D处的距离为24 nmile，灯塔C与D处的距离为8 nmile.
20．(12分)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
解 (1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB.
由正弦定得知，sinA＝，sinB＝(其中R为△ABC外接圆的半径)，代入上式，得a·＝b·，∴a＝b.故△ABC为等腰三角形．
(2)∵m⊥p，∴m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得
4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.
解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．
∴△ABC的面积S＝absinC＝×4×sin＝.
21．(12分)在△ABC中，已知内角A＝，边BC＝2，设内角B＝x，周长为y.
(1)求函数y＝f(x)的解析式和定义域；
(2)求y的最大值．
解 (1)△ABC的内角和A＋B＋C＝π，由A＝，B>0，C>0，得0AC＝·sinB＝·sinx＝4sinx.
AB＝sinC＝4sin.
∵y＝AB＋BC＋CA，
∴y＝4sinx＋4sin＋2.
(2)y＝4(sinx＋cosx＋sinx)＋2
＝4sin(x＋)＋2.
∵∴当x＋＝，即x＝时，y取得最大值6.
22．(12分)△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝，sin(B－A)＝cosC.
(1)求A，C；
(2)若S△ABC＝3＋，求a，c.
解 (1)因为tanC＝，
即＝，
所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，
即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，得sin(C－A)＝sin(B－C)．
所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)，
即2C＝A＋B，得C＝，所以B＋A＝.
又因为sin(B－A)＝cosC＝，
则B－A＝，或B－A＝(舍去)．
得A＝，B＝.
所以A＝，C＝.
(2)S△ABC＝acsinB＝ac＝3＋，
又＝，即＝.
得a＝2，c＝2.
第一章 章末复习课
课时目标
1．掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
一、选择题
1．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于( )
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不对
答案 C
解析 sin B＝b·＝，且b2．在△ABC中，已知cos Acos B>sin Asin B，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案 C
解析 cos Acos B>sin Asin B?cos(A＋B)>0，
∴A＋B<90°，∴C>90°，C为钝角．
3．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，0)
C. D.
答案 D
解析 由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，
c＝2mk(m>0)，
∵ 即，∴k>.
4．如图所示，D、C、B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、α(β<α)．则A点离地面的高AB等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 设AB＝h，则AD＝，
在△ACD中，∵∠CAD＝α－β，∴＝.
∴＝，∴h＝.
5．在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面积为220，那么BC的长度为( )
A．25 B．51 C．49 D．49
答案 D
解析 S△ABC＝AC·AB·sin 60°＝×16×AB×＝220，∴AB＝55.
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝552＋162－2×16×55×＝2 401.
∴BC＝49.
6．(2010·天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，
sin C＝2sin B，则A等于( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 A
解析 由sin C＝2sin B，根据正弦定理，得
c＝2b，把它代入a2－b2＝bc得
a2－b2＝6b2，即a2＝7b2.
由余弦定理，得cos A＝＝
＝＝.
又∵0°二、填空题
7．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是________cm2.
答案 6
解析 由5x2－7x－6＝0，解得x1＝－，x2＝2.
∵x2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cos θ＝－，
得sin θ＝，∴S＝×3×5×＝6 (cm2)．
8．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝____________.
答案
解析 由S＝bcsin A＝×1×c×＝，∴c＝4.
∴a＝＝
＝.
∴＝＝.
9．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是
______________．
答案 2解析 因为三角形有两解，所以asin B即x<210．一艘船以20 km/h的速度向正北航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1 h后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC等于________km.
答案 20
解析 如图所示，＝
∴BC＝×sin 45°＝×
＝20 (km)．
三、解答题
11．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试确定△ABC的形状．
解 由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，
即a2＝b2＋c2－bc，∴cos A＝＝＝，
∴A＝.
又sin A＝2sin Bcos C．∴a＝2b·＝，
∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形．
12．在△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角．
(1)求最大角的余弦值；
(2)求以此最大角为内角，夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积．
解 (1)设这三个数为n，n＋1，n＋2，最大角为θ，
则cos θ＝<0，
化简得：n2－2n－3<0?－1∵n∈N*且n＋(n＋1)>n＋2，∴n＝2.
∴cos θ＝＝－.
(2)设此平行四边形的一边长为a，则夹θ角的另一边长为4－a，平行四边形的面积为：
S＝a(4－a)·sin θ＝(4a－a2)＝[－(a－2)2＋4]≤.
当且仅当a＝2时，Smax＝.
能力提升
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C＝－.
(1)求sin C的值；
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．
解 (1)∵cos 2C＝1－2sin2C＝－，0∴sin C＝.
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，由正弦定理＝，
得c＝4.
由cos 2C＝2cos2C－1＝－及0得cos C＝±.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
得b2±b－12＝0(b>0)，
解得b＝或2，
∴或
14．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
解 设BD＝x，在△ABD中，由余弦定理有
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，
即142＝x2＋102－20xcos 60°，
∴x2－10x－96＝0，∴x＝16(x＝－6舍去)，
即BD＝16.
在△BCD中，由正弦定理＝，
∴BC＝＝8.
1．在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用，要注意恰当的选取定理，简化运算过程．
2．应用正、余弦定理解应用题时，要注意先画出平面几何图形或立体图形，再转化为解三角形问题求解，即先建立数学模型，再求解．
第一章 章末检测（A）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝b，A＝2B，则cos B等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由正弦定理得＝，
∴a＝b可化为＝.
又A＝2B，∴＝，∴cos B＝.
2.在△ABC中，AB=3，AC=2，BC= ，则·等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 A
解析 由余弦定理得
cos A＝＝＝.
∴·＝||·||·cos A＝3×2×＝.
∴·＝－·＝－.
3．在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°，则c等于( )
A．2 B.
C．2或 D．以上都不对
答案 C
解析 ∵a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴5＝15＋c2－2×c×.
化简得：c2－3c＋10＝0，即(c－2)(c－)＝0，
∴c＝2或c＝.
4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解
C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
答案 D
解析 A中，因＝，
所以sin B＝＝1，∴B＝90°，即只有一解；
B中，sin C＝＝，
且c>b，∴C>B，故有两解；C中，
∵A＝90°，a＝5，c＝2，
∴b＝＝＝，
即有解，故A、B、C都不正确．
5．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为( )
A. B.
C. D．9
答案 C
解析 设另一条边为x，
则x2＝22＋32－2×2×3×，
∴x2＝9，∴x＝3.设cos θ＝，则sin θ＝.
∴2R＝＝＝，R＝.
6．在△ABC中，cos2 ＝(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形
D．正三角形
答案 A
解析 由cos2＝?cos A＝，
又cos A＝，
∴b2＋c2－a2＝2b2?a2＋b2＝c2，故选A.
7．已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若a＝c＝＋，且A＝75°，则b等于( )
A．2 B.－
C．4－2 D．4＋2
答案 A
解析 sin A＝sin 75°＝sin(30°＋45°)＝，
由a＝c知，C＝75°，B＝30°.sin B＝.
由正弦定理：＝＝＝4.
∴b＝4sin B＝2.
8．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cos A＝，则△ABC的面积S为( )
A. B. C. D．6
答案 A
解析 由b2－bc－2c2＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0.
∴b＝2c，在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，
即6＝4c2＋c2－4c2·.
∴c＝2，从而b＝4.∴S△ABC＝bcsin A＝×2×4×＝.
9．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设BC＝a，则BM＝MC＝.
在△ABM中，AB2＝BM 2＋AM 2－2BM·AM·cos∠AMB，
即72＝a2＋42－2××4·cos∠AMB ①
在△ACM中，AC2＝AM 2＋CM 2－2AM·CM·cos∠AMC
即62＝42＋a2＋2×4×·cos∠AMB ②
①＋②得：72＋62＝42＋42＋a2，∴a＝.
10．若＝＝，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．有一内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一内角是30°的等腰三角形
答案 C
解析 ∵＝，∴acos B＝bsin A，
∴2Rsin Acos B＝2Rsin Bsin A,2Rsin A≠0.
∴cos B＝sin B，∴B＝45°.同理C＝45°，故A＝90°.
11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为( )
A. B.
C.或 D.或
答案 D
解析 ∵(a2＋c2－b2)tan B＝ac，
∴·tan B＝，
即cos B·tan B＝sin B＝.
∵012．△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的周长为( )
A．4sin＋3 B．4sin＋3
C．6sin＋3 D．6sin＋3
答案 D
解析 A＝，BC＝3，设周长为x，由正弦定理知＝＝＝2R，
由合分比定理知＝，
即＝.
∴2＝x，
即x＝3＋2
＝3＋2
＝3＋2
＝3＋2
＝3＋6
＝3＋6sin.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13．在△ABC中，－－＝________.
答案 0
14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B
的值为________．
答案
解析 ∵a2＋c2－b2＝ac，
∴cos B＝＝＝，∴B＝.
15．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝，
A＋C＝2B，则sin C＝________.
答案 1
解析 在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋C＝2B.
∴B＝.
由正弦定理知，sin A＝＝.
又a∴A＝，C＝.
∴sin C＝1.
16．钝角三角形的三边为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是________．
答案 ≤a<3
解析 由.
解得≤a<3.
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
17．(10分)如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．
解 设我艇追上走私船所需时间为t小时，则
BC＝10t，AC＝14t，在△ABC中，
由∠ABC＝180°＋45°－105°＝120°，
根据余弦定理知：
(14t)2＝(10t)2＋122－2·12·10tcos 120°，
∴t＝2.
答 我艇追上走私船所需的时间为2小时．
18．(12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且cos A＝.
(1)求sin2 ＋cos 2A的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积S＝3，求a.
解 (1)sin2 ＋cos 2A＝＋cos 2A＝＋2cos2 A－1＝.
(2)∵cos A＝，∴sin A＝.
由S△ABC＝bcsin A，得3＝×2c×，解得c＝5.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得
a2＝4＋25－2×2×5×＝13，∴a＝.
19．(12分)如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.
(1)求cos∠CBE的值；
(2)求AE.
解 (1)∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，
∴∠CBE＝15°.
∴cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝.
(2)在△ABE中，AB＝2，
由正弦定理得＝，
即＝，
故AE＝＝＝－.
20．(12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
a＝2，cos B＝.
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
解 (1)∵cos B＝>0，且0∴sin B＝＝.
由正弦定理得＝，
sin A＝＝＝.
(2)∵S△ABC＝acsin B＝4，∴×2×c×＝4，
∴c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝22＋52－2×2×5×＝17，∴b＝.
21．(12分)(2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
解 (1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
故cos A＝－，A＝120°.
(2)方法一 由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，
又A＝120°，∴sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝，
∵sin B＋sin C＝1，∴sin C＝1－sin B.
∴sin2B＋(1－sin B)2＋sin B(1－sin B)＝，
即sin2B－sin B＋＝0.
解得sin B＝.故sin C＝.
∴B＝C＝30°.
所以，△ABC是等腰的钝角三角形．
方法二 由(1)A＝120°，∴B＋C＝60°，
则C＝60°－B，
∴sin B＋sin C＝sin B＋sin(60°－B)
＝sin B＋cos B－sin B
＝sin B＋cos B
＝sin(B＋60°)
＝1，
∴B＝30°，C＝30°.
∴△ABC是等腰的钝角三角形．
22．(14分)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，
n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
(1)证明 ∵m∥n，∴asin A＝bsin B，
即a·＝b·，
其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.
∴△ABC为等腰三角形．
(2)解 由题意知m·p＝0，
即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
即(ab)2－3ab－4＝0.
∴ab＝4(舍去ab＝－1)，
∴S△ABC＝absin C＝×4×sin＝.
章末检测 (B)
姓名：________ 班级：________ 学号：________ 得分：________
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．在△ABC中，a＝2，b＝，c＝1，则最小角为( )
A. B.
C. D.
2．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝
(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )
A. B.
C. D.
3.在△ABC中，已知||＝4，||＝1，S△ABC＝，则·等于( )
A．－2 B．2
C．±4 D．±2
4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于( )
A. B．2 C. D.
5．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为( )
A. B. C. D.
6．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x，则x的取值范围是( )
A．1C．17．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于( )
A．－ B.
C．－ D.
8．下列判断中正确的是( )
A．△ABC中，a＝7，b＝14，A＝30°，有两解
B．△ABC中，a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
C．△ABC中，a＝6，b＝9，A＝45°，有两解
D．△ABC中，b＝9，c＝10，B＝60°，无解
9．在△ABC中，B＝30°，AB＝，AC＝1，则△ABC的面积是( )
A. B.
C.或 D.或
10．在△ABC中，BC＝2，B＝，若△ABC的面积为，则tan C为( )
A. B．1 C. D.
11．在△ABC中，如果sin Asin B＋sin Acos B＋cos Asin B＋cos Acos B＝2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
12．△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则角C的度数是( )
A．60° B．45°或135°
C．120° D．30°
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在△ABC中，若＝，则B＝________.
14．在△ABC中，A＝60°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积为________．
15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/小时．
16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(b－c)cos A＝acos C，则cos A＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)如图，H、G、B三点在同一条直线上，在G、H两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，CD＝a，测角仪器的高是h，用a，h，α，β表示建筑物高度AB.
18．(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2bsin A.
(1)求B的大小．
(2)若a＝3，c＝5，求b.
19．(12分)如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．
(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；
(2)求四边形OPDC面积的最大值．
20．(12分)为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤．
21．(12分)在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b.
(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．
22．(12分) 如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．
第一章 解三角形 章末检测 答案 (B)
1．B [∵a>b>c，∴C最小．
∵cos C＝＝＝，
又∵02．B [∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0.
∴c2＝a2＋b2－ab，∵c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴cos C＝，又∵0∴||·||·sin A
＝×4×1×sin A＝.
∴sin A＝.又∵0°∴A＝60°或120°.
·＝||·||cos A
＝4×1×cos A＝±2.]
4．D [由正弦定理得＝，
∴sin C＝＝＝，
∵c∴C＝30°，∴A＝180°－120°－30°＝30°.
∴a＝c＝.]
5．D [由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，
即72＝52＋AC2－10AC·cos 120°，
∴AC＝3.由正弦定理得＝＝.]
6．D [由题意，x应满足条件
解得：27．D [由正弦定理得＝.
∴sin B＝＝.
∵a>b，A＝60°，∴B<60°.
∴cos B＝＝＝.]
8．B [A：a＝bsin A，有一解；
B：A>90°，a>b，有一解；
C：aD：c>b>csin B，有两解．]
9．D [由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，
∴12＝()2＋BC2－2××BC×.
整理得：BC2－3BC＋2＝0.
∴BC＝1或2.
当BC＝1时，S△ABC＝AB·BCsin B＝××1×＝.
当BC＝2时，S△ABC＝AB·BCsin B＝××2×＝.]
10．C [由S△ABC＝BC·BAsin B＝得BA＝1，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，
∴AC＝，∴△ABC为直角三角形，
其中A为直角，
∴tan C＝＝.]
11．C [由已知，得cos(A－B)＋sin(A＋B)＝2，
又|cos(A－B)|≤1，|sin(A＋B)|≤1，
故cos(A－B)＝1且sin(A＋B)＝1，
即A＝B且A＋B＝90°，故选C.]
12．B [由a4＋b4＋c4＝2c2a2＋2b2c2，
得cos2C＝
＝＝
?cos C＝±.∴角C为45°或135°.]
13．45°
解析 由正弦定理，＝.
∴＝.∴sin B＝cos B.
∴B＝45°.
14．10
解析 设AC＝x，则由余弦定理得：
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，
∴49＝25＋x2－5x，∴x2－5x－24＝0.
∴x＝8或x＝－3(舍去)．
∴S△ABC＝×5×8×sin 60°＝10.
15．8
解析 如图所示，
在△PMN中，＝，
∴MN＝＝32，
∴v＝＝8(海里/小时)．
16.
解析 由(b－c)cos A＝acos C，得(b－c)·＝a·，
即＝，
由余弦定理得cos A＝.
17．解 在△ACD中，∠DAC＝α－β，
由正弦定理，得＝，
∴AC＝
∴AB＝AE＋EB＝ACsin α＋h＝＋h.
18．解 (1)∵a＝2bsin A，∴sin A＝2sin B·sin A，
∴sin B＝.∵0(2)∵a＝3，c＝5，B＝30°.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B
＝(3)2＋52－2×3×5×cos 30°＝7.
∴b＝.
19．解 (1)在△POC中，由余弦定理，
得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OC·cos θ
＝5－4cos θ，
所以y＝S△OPC＋S△PCD
＝×1×2sin θ＋×(5－4cos θ)
＝2sin＋.
(2)当θ－＝，即θ＝时，ymax＝2＋.
答 四边形OPDC面积的最大值为2＋.
20．解 ①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示)．
②第一步：计算AM，由正弦定理AM＝；
第二步：计算AN.由正弦定理AN＝；
第三步：计算MN，由余弦定理
MN＝.
21．解 (1)由余弦定理及已知条件得
a2＋b2－ab＝4.
又因为△ABC的面积等于，
所以absin C＝，由此得ab＝4.
联立方程组解得
(2)由正弦定理及已知条件得b＝2a.
联立方程组解得
所以△ABC的面积S＝absin C＝.
22．解 ∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠POB＝60°－θ，
∠OCP＝120°.
在△POC中，由正弦定理得＝，
∴＝，∴CP＝sin θ.
又＝，∴OC＝sin(60°－θ)．
因此△POC的面积为
S(θ)＝CP·OCsin 120°
＝·sin θ·sin(60°－θ)×
＝sin θsin(60°－θ)
＝sin θ
＝2sin θ·cos θ－sin2θ
＝sin 2θ＋cos 2θ－
＝sin－
∴θ＝时，S(θ)取得最大值为.
第一章 复习
一、基本知识复习：
知识结构：
二、举例分析
例1、在中，，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．
解：（Ⅰ），．
又，．
（Ⅱ）， 边最大，即．
又， 角最小，边为最小边．
由且，得．
由得：． 所以，最小边．
例2、在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域； （2）求的最大值．
解：（1）的内角和，由得．
应用正弦定理，知 ，
．
因为，所以，
（2）因为，
所以，当，即时，取得最大值．
例3、在中，角的对边分别为．
（1）求； （2）若，且，求．
解：（1） 又 解得．
，是锐角． ．
（2）， ， ．
又 ． ．
． ．
例4、已知的周长为，且．
（I）求边的长；
（II）若的面积为，求角的度数．
解：（I）由题意及正弦定理，得， ，
两式相减，得．
（II）由的面积，得，
由余弦定理，得，
所以．
三、作业：《习案》作业八
课件7张PPT。第一章复习一、基本知识复习： 正弦定理余弦定理解三角形应用举例二、例题分析： 例1. 在△ABC中，(1) 求角C的大小；
(2) 若△ABC最大边的边长为求最小边的边长．二、例题分析： 例2. 在△ABC中，已知内角(1) 求函数y＝f(x)的解析式和定义域；
(2) 求y的最大值.二、例题分析： 例3. 在△ABC中，角A、B、C的对边
分别为a、b、c，tanC＝(1) 求cosC；
(2)二、例题分析： 例4. 已知△ABC的周长为(1) 求边AB的长；
(2) 若△ABC的面积为求角C的度数. 阅读必修5教材P.23;
2. 《习案》作业八.课后作业