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《24.1.4圆周角（1）》导学案
课题 圆周角（1） 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1.理解圆周角的定理2.熟练掌握圆周角定理及其推理的灵活应用，培养学生观察能力和应用能力，渗透“化归”的思想。
3.通过探究圆心角圆周角之间的数量关系，体会事物联系的普遍性
重点难点 重点：圆周角定理， 难点：圆周角的定理的推论及运用它们解题
教学过程
知识链接 问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ 问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点?
合作探究 知识点1、圆周角的定义：类似圆心角我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.强调：定义中的两个条件（顶点在圆上、两边都与圆相交）缺一不可试一试：1、圆中所对的圆周角有哪些？2、你还能画出多少个所对的圆周角吗？3、猜想，这些圆周角之间有什么关系，和圆心角∠DOE之间有什么关系？ 下面，我们来用逻辑证明一下上述发现的结论。猜想与验证：如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.∠BAC=∠BOC你能画出几种同弧（等弧）所对的圆周角和圆心角?(让学生小组讨论、然后学着画出图形，然后教师在展示ppt)根据这三种情况，我们分别探究圆周角与圆心角的关系？下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.” (1)设圆周角∠ABC的一边BC是☉O的直径,如图所示 (2)如图,圆周角∠ABC的两边AB、BC在一条直径OD的两侧,那么∠ABC=1/2∠AOC吗?请同学们独立完成这道题的说明过程. 如图,圆周角∠ABC的两边AB、BC在一条直径OD的同侧,那么∠ABC=1/2∠AOC吗?请同学们独立完成证明.现在,如果再画一个任意的圆周角∠AB'C,同样可证得它等于同弧上圆心角的一半,因此,同弧上的圆周角是相等的.从(1)、(2)、(3)我们可以总结归纳出圆周角定理: 进一步,我们还可以得到哪些结论: 例、如图，⊙O直径AC为10cm，弦AD为6cm.若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求DC 、AB、BC的长．
自主尝试 1.判断下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. 2.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35?. ∠BOC=________ ?，理由是_____________________ ; (2)∠BDC=________ ?，理由是___________________________.3.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线. (1)完成下列填空 ∠1=______ . ∠2=______ . ∠3=_______. ∠5=________ .（2）若=，则∠1与∠2是否相等，为什么？ （3）若AC是半圆， ∠ADC=_________， ∠ABC=__________.
当堂检测 1.如图,点A,B,C在☉O上,∠ABO=32°,∠ACO=38°,则∠BOC等于( ) A.60° B.70° C.120° D.140°2.如图,在☉O中直径CD垂直弦AB,垂足为E,若∠AOD=52°,则∠DCB=___________.3.如图,AB是半圆O的直径,C,D是上两点,∠ADC=120°,则∠BAC的度数是 度.4.如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,延长BC至点D,使DC=CB.延长DA与☉O的另一 个交点为E,连接AC,CE. (1)求证:∠B=∠D. (2)若AB=4,BC-AC=2,求CE的长. 5.如图,☉O的直径AB的长为6,弦AC的长为2,∠ACB的平分线交☉O于点D,求四边形ADBC的面积.
小结反思 本节课主要学习了圆周角概念、定理．?在证明中，运用了数学 (?http:?/??/?www.teachercn.com?/?ShuXue?/?" \t "_blank?)中的分类方法和“化归”思想．分类时应做到不重不漏；“化归思想”是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题。学习过程中，培养学生勇于独立探索、不怕困难，遇到问题，学会与他人沟通、合作。
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《24.1.4圆周角（1）》导学案
课题 圆周角（1） 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 1.理解圆周角的定理2.熟练掌握圆周角定理及其推理的灵活应用，培养学生观察能力和应用能力，渗透“化归”的思想。
3.通过探究圆心角圆周角之间的数量关系，体会事物联系的普遍性
重点难点 重点：圆周角定理， 难点：圆周角的定理的推论及运用它们解题
教学过程
知识链接 问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ 问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点? 考考你：你能仿照圆心角的定义，给图中像∠BAC 这样的角下个定义吗？它有什么特点呢？今天我们一起来研究这个问题。
合作探究 知识点1、圆周角的定义：类似圆心角我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.强调：定义中的两个条件（顶点在圆上、两边都与圆相交）缺一不可试一试：1、圆中所对的圆周角有哪些？2、你还能画出多少个所对的圆周角吗？3、猜想，这些圆周角之间有什么关系，和圆心角∠DOE之间有什么关系？ 小结： 1．一个弧上所 对的圆周角的个数有无数多个．2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角的度数是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半． 下面，我们来用逻辑证明一下上述发现的结论。猜想与验证：如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.∠BAC=∠BOC你能画出几种同弧（等弧）所对的圆周角和圆心角?(让学生小组讨论、然后学着画出图形，然后教师在展示ppt)根据这三种情况，我们分别探究圆周角与圆心角的关系？下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.” (1)设圆周角∠ABC的一边BC是☉O的直径,如图所示∵∠AOC是△ABO的外角,∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO.∴∠AOC=2∠ABO.∴∠ABC=1/2∠AOC.(2)如图,圆周角∠ABC的两边AB、BC在一条直径OD的两侧,那么∠ABC=1/2∠AOC吗?请同学们独立完成这道题的说明过程.第(2)题图如图,圆周角∠ABC的两边AB、BC在一条直径OD的同侧,那么∠ABC=1/2∠AOC吗?请同学们独立完成证明.第(3)题图现在,如果再画一个任意的圆周角∠AB'C,同样可证得它等于同弧上圆心角的一半,因此,同弧上的圆周角是相等的.从(1)、(2)、(3)我们可以总结归纳出圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.进一步,我们还可以得到下面的推导:同弧所对的圆周角相等.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.等弧所对的圆周角相等例、如图，⊙O直径AC为10cm，弦AD为6cm.若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求DC 、AB、BC的长．解：∵AC是直径，∴ ∠ADC=90°.在Rt△ADC中，DC=8 ∵ AC是直径, ∴ ∠ABC=90°. ∵BD平分∠ADC, ∴∠ADB=∠CDB. 又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC . ∴ ∠BAC=∠ACB, ∴AB=BC. 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， 小结：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.
自主尝试 1.判断下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. 答案：√、×、×、×、√2.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35?. ∠BOC=________ ?，理由是_____________________ ; (2)∠BDC=________ ?，理由是___________________________.答案：70、一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半、35、同弧所对的圆周角相等 3.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线. (1)完成下列填空 ∠1=______ . ∠2=______ . ∠3=_______. ∠5=________ 答案：∠4、∠8、∠6、∠7.（2）若=，则∠1与∠2是否相等，为什么？ 连接OA、OB、OD，∵ = ∴∠AOB=∠AOD∴∠1=∠2（3）若AC是半圆， ∠ADC=_________， ∠ABC=__________.答案：900、900
当堂检测 1.如图,点A,B,C在☉O上,∠ABO=32°,∠ACO=38°,则∠BOC等于( ) A.60° B.70° C.120° D.140° 解:选D.延长CO交AB于D,则∠BOC=∠ODB+∠B=∠A+∠C+∠B,又因为∠BOC=2∠A,即2∠A=∠A+∠C+∠B,2∠A=∠A+32°+38°,所以∠A=70°,所以∠BOC=140°.2.如图,在☉O中直径CD垂直弦AB,垂足为E,若∠AOD=52°,则∠DCB=___________. 答案:26°解∵CD是直径,CD⊥AB,∴=,∴∠DCB=∠AOD= QUOTE ×52°=26°.3.如图,AB是半圆O的直径,C,D是上两点,∠ADC=120°,则∠BAC的度数是 度. 答案:30解∵∠ADC=120°, ∴∠B=180°-∠ADC=60°. ∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC=90°-60°=30°.4.如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,延长BC至点D,使DC=CB.延长DA与☉O的另一 个交点为E,连接AC,CE. (1)求证:∠B=∠D. (2)若AB=4,BC-AC=2,求CE的长. 解(1)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°, ∴AC⊥BC,∵DC=CB,∴AD=AB,∴∠B=∠D. (2)设BC=x,则AC=x-2. 在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2, ∴(x-2)2+x2=16, 解得x1=1+,x2=1- QUOTE (舍去), ∵∠B=∠E,∠B=∠D,∴∠D=∠E,∴CD=CE,∵CD=CB,∴CE=CB=1+.5.如图,☉O的直径AB的长为6,弦AC的长为2,∠ACB的平分线交☉O于点D,求四边形ADBC的面积. 解∵AB是直径,∴∠ACB=∠ADB=90°. 在Rt△ABC中,AB=6,AC=2, ∴BC===4. ∵∠ACB的平分线交☉O于点D, ∴∠DCA=∠BCD,∴=,∴AD=BD, ∴在Rt△ABD中,AD=BD=AB=3, ∴四边形ADBC的面积=S△ABC+S△ABD =AC·BC+AD·BD =×2×4+×(3)2=9+4.
小结反思 本节课主要学习了圆周角概念、定理．?在证明中，运用了数学 (?http:?/??/?www.teachercn.com?/?ShuXue?/?" \t "_blank?)中的分类方法和“化归”思想．分类时应做到不重不漏；“化归思想”是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题。学习过程中，培养学生勇于独立探索、不怕困难，遇到问题，学会与他人沟通、合作。
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