中小学教育资源及组卷应用平台
《24.1.4圆周角（2）》导学案
课题 圆周角（2） 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 掌握圆内接四边形的相关概念以及圆内接四边形的性质定理通过知识的探究，学会与同学合作交流。
重点难点 重点：圆内接四边形的性质定理 难点：圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用.
教学过程
知识链接 回顾：圆周角定理及推论？ 判断正误： 1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ ） 2.相等的圆周角所对的弧相等（ ） 3. 900角所对的弦是直径（ ） 4.直径所对的角等于90°（ ） 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ）
合作探究 你能说出下列多边形的名称吗？说一说，现在的多边形和圆有什么样的特殊位置关系？你能给这类图形命个名吗？ 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为四边形ABCD的外接圆。 类似的，说一说上面图形中的多边形和圆。 我们知道四边形的内角和为3600，再来看圆内接四边形的内角有什么特殊性质呢？证明你的猜想。猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为：____________________证明： 得出结论：圆内接四边形对角_______你能用几何语言表达出上述结论吗？例、求证：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. 你还能写出其他的结论吗？
自主尝试 1.若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（ ）（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4 （B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4 （C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4 （D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1 2.填空：
(1)如图（1）、四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=______，∠B+∠ADC=_____;若∠B=800， 则∠ADC=______ ∠CDE=______
(2)如图（2）、四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=1000则∠B=______∠D=______
(3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则∠A=_____,
当堂检测 如图，AB经过圆心O，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=3∠BAC，则∠ADC的 度数为（ ） A．100° B．112.5° C．120° D．135°2．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是_____．3．利用圆周角定理，我们可以得到圆内接四边形的一个性质，请规范写出我们所学的这个性质的内容_______，并利用这个性质完成下题：如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=60°，则∠DCE的度数是______．4．已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠1=112°，求∠CDE． 5．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=120°，CA平分∠BCD． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）若BD=3，求⊙O的半径．
小结反思 本节课你收获了什么？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
《24.1.4圆周角（2）》导学案
课题 圆周角（2） 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 掌握圆内接四边形的相关概念以及圆内接四边形的性质定理通过知识的探究，学会与同学合作交流。
重点难点 重点：圆内接四边形的性质定理 难点：圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用.
教学过程
知识链接 回顾：圆周角定理及推论？ 判断正误： 1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ ） 2.相等的圆周角所对的弧相等（ ） 3. 900角所对的弦是直径（ ） 4.直径所对的角等于90°（ ） 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ）前面我们学过圆周角、圆心角，那么三角形、四边形甚至是多边形它们和圆之间有什么特练习呢？今天这节课我们一起来学习。
合作探究 你能说出下列多边形的名称吗？说一说，现在的多边形和圆有什么样的特殊位置关系？你能给这类图形命个名吗？定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为四边形ABCD的外接圆。 类似的，说一说上面图形中的多边形和圆。 我们知道四边形的内角和为3600，再来看圆内接四边形的内角有什么特殊性质呢？证明你的猜想。猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为： ∠A+ ∠C=180?，∠B+ ∠D=180? 证明：连接OB,OD 在⊙O中，∠A所对的弧为BCD，∠C所对的弧为BAD. 又∵BCD与BCD所对的圆心角的度数之和为360°，同理：∠B+∠D=180°. 得出结论：圆内接四边形对角互补.你能用几何语言表达出上述结论吗？几何语言：∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°例、求证：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. 已知：如图，四边形 ABCD是⊙O的内接四边形. 求证：∠DCE=∠A. 证明：∵∠DCE+∠BCD=180°， 又∵∠A+∠BCD=180°， ∴∠DCE=∠A.你还能写出其他的结论吗？
自主尝试 1.若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（ ）B（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4 （B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4 （C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4 （D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1 2.填空：
(1)如图（1）、四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=______，∠B+∠ADC=_____;若∠B=800， 则∠ADC=______ ∠CDE=______
(2)如图（2）、四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=1000则∠B=______∠D=______
(3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则∠A=_____,
答案：1800、1800、1000、800、500、1300、450
当堂检测 如图，AB经过圆心O，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=3∠BAC，则∠ADC的 度数为（ ）答案：B A．100° B．112.5° C．120° D．135°2．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是_____．答案为100°3．利用圆周角定理，我们可以得到圆内接四边形的一个性质，请规范写出我们所学的这个性质的内容_______，并利用这个性质完成下题：如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=60°，则∠DCE的度数是______．答案为；圆内接四边形的对角互补，60°4．已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠1=112°，求∠CDE． 解：由圆周角定理得，∠A=∠1=56°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠CDE=∠A=56°．5．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=120°，CA平分∠BCD． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）若BD=3，求⊙O的半径． 解：（1）∵∠BCD=120°，CA平分∠BCD， ∴∠ACD=∠ACB=60°， 由圆周角定理得，∠ADB=∠ACB=60°，∠ABD=∠ACD=60°， ∴△ABD是等边三角形； （2）连接OB、OD，作OH⊥BD于H， 则DH=BD=， ∠BOD=2∠BAD=120°， ∴∠DOH=60°， 在Rt△ODH中，OD=， ∴⊙O的半径为．
小结反思 本节课应掌握:圆内接四边形的定义及性质,了解从“特殊——一般”的研究问题的方法,灵活运用圆内接四边形的性质定理解决问题.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
(共19张PPT)
24.1.4圆周角（2）
人教版 九年级上
新知导入
回顾：圆周角定理及推论？
思考：判断正误：
1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ ）
2.相等的圆周角所对的弧相等（ ）
3. 900角所对的弦是直径（ ）
4.直径所对的角等于90°（ ）
5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ）
√
√
√
×
×
新知讲解
你能说出下列多边形的名称吗？
三角形
五边形
六边形
新知讲解
说一说，现在的多边形和圆有什么样的特殊位置关系？
多边形的每个顶点，都在⊙O上。
你能给这类图形命个名吗？
新知讲解
一般地说，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
圆内接多边形的定义
圆内接五边形
圆内接六边形
圆内接三角形
新知讲解
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为四边形ABCD的外接圆。
我们知道四边形的内角和为3600，再来看圆内接四边形的内角有什么特殊性质呢？证明你的猜想。
新知讲解
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为：
∠A+ ∠C=180?，∠B+ ∠D=180?
证明：连接OB,OD
在⊙O中，∠A所对的弧为BCD，∠C所对的弧为BAD.
又∵BCD与BCD所对的圆心角的度数之和为360°，
同理：∠B+∠D=180°.
得出结论：圆内接四边形对角互补.
几何语言：∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°
巩固练习
1.若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（ ）
（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4
（B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4
（C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4
（D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1
B
巩固练习
2.填空：
(1)如图（1）、四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=__ ，∠B+∠ADC=_____;若∠B=800，
则∠ADC=______ ∠CDE=______
(2)如图（2）、四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=1000则∠B=______∠D=______
(3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则∠A=_____,
1800
1800
1000
800
500
1300
450
例题讲解
例、求证：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
已知：如图，四边形 ABCD是⊙O的内接四边形.
求证：∠DCE=∠A.
证明：∵∠DCE+∠BCD=180°，
又∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠DCE=∠A.
类似的：∠MBC＝∠ADC
∠ADF＝∠ABC
外角
内对角
F
M
拓展提高
1.如图，AB经过圆心O，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=3∠BAC，则∠ADC的度数为（ ）
A．100° B．112.5° C．120° D．135°
2．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是 ．
B
1000
拓展提高
3．利用圆周角定理，我们可以得到圆内接四边形的一个性质，请规范写出我们所学的这个性质的内容__________________________，并利用这个性质完成下题：如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=60°，则∠DCE的度数是____________．
圆内接四边形的对角互补
600
拓展提高
4．已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠1=112°，求∠CDE．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠CDE=∠A=56°．
拓展提高
5．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=120°，CA平分∠BCD．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）若BD=3，求⊙O的半径．
解：（1）∵∠BCD=120°，CA平分∠BCD，
∴∠ACD=∠ACB=60°，
由圆周角定理得，∠ADB=∠ACB=60°，∠ABD=∠ACD=60°，
∴△ABD是等边三角形；
拓展提高
∴⊙O的半径为
课堂总结
1、本节课我们学习了哪些知识？
2、圆周角定理及其推论的用途你都知道了吗？
作业布置
教材88页第5题
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
