第二章测试
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．Sn是数列{an}的前n项和，log2Sn＝n(n＝1,2,3，…)，那么数列{an}( )
A．是公比为2的等比数列
B．是公差为2的等差数列
C．是公比为的等比数列
D．既非等差数列也非等比数列
解析 由log2Sn＝n，得Sn＝2n，a1＝S1＝2，a2＝S2－S1＝22－2＝2，a3＝S3－S2＝23－22＝4，…
由此可知，数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列．
答案 D
2．一个数列{an}，其中a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则a5＝( )
A．6 B．－3
C．－12 D．－6
解析 a3＝a2－a1＝6－3＝3，
a4＝a3－a2＝3－6＝－3，
a5＝a4－a3＝－3－3＝－6.
答案 D
3．首项为a的数列{an}既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n项和为( )
A．an－1 B．na
C．an D．(n－1)a
解析 由题意，知an＝a(a≠0)，∴Sn＝na.
答案 B
4．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为( )
A．63 B．64
C．127 D．128
解析 a5＝a1q4＝q4＝16，∴q＝2.
∴S7＝＝128－1＝127.
答案 C
5．已知－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)的值等于( )
A．－8 B．8
C．－ D.
解析 a2－a1＝＝，
b＝(－1)×(－9)＝9，∴b2＝－3，
∴b2(a2－a1)＝－3×＝－8.
答案 A
6．在－12和8之间插入n个数，使这n＋2个数组成和为－10的等差数列，则n的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析 依题意，得－10＝(n＋2)，
∴n＝3.
答案 B
7．已知{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率为( )
A．4 B.
C．－4 D．－
解析 由a4＝15，S5＝55，得
解得
∴a3＝a4－d＝11.∴P(3,11)，Q(4,15)．kPQ＝＝4.
答案 A
8．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a17＝10，则S19＝( )
A．55 B．95
C．100 D．190
解析 S19＝×19＝×19＝×19＝95.
答案 B
9．Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2＋a4＋a15是一个确定的常数，则在数列{Sn}中也是确定常数的项是( )
A．S7 B．S4
C．S13 D．S16
解析 a2＋a4＋a15＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋14d＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7，∴a7为常数．
∴S13＝×13＝13a7为常数．
答案 C
10．等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝31，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝62，则通项是( )
A．2n－1 B．2n
C．2n＋1 D．2n＋2
解析 ∵a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝q(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)，
∴62＝q×31，∴q＝2.∴S5＝＝31.
∴a1＝1，∴an＝2n－1.
答案 A
11．已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使其前n项和Sn取得最大值的自然数n是( )
A．4或5 B．5或6
C．6或7 D．不存在
解析 由d<0知，{an}是递减数列，
∵|a3|＝|a9|，∴a3＝－a9，即a3＋a9＝0.
又2a6＝a3＋a9＝0，∴a6＝0.
∴S5＝S6且最大．
答案 B
12．若a，b，c成等比数列，则方程ax2＋bx＋c＝0( )
A．有两个不等实根
B．有两相等的实根
C．无实数根
D．无法确定
解析 a，b，c成等比数列，∴b2＝ac>0.
而Δ＝b2－4ac＝ac－4ac＝－3ac<0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0无实数根．
答案 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．2，x，y，z,18成等比数列，则x＝________.
解析 设公比为q，则由2，x，y，z,18成等比数列．得18＝2q4，∴q＝±.∴x＝2q＝±2.
答案 ±2
14．若数列{an}满足an＋1＝且a1＝，则a2013＝________.
解析 由题意，得a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，a6＝，a7＝，…，∴a2013＝a3＝.
答案
15．一个数列的前n项和为Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n＋1n，则S17＋S33＋S50＝____________.
解析 S17＝－8＋17＝9，S33＝－16＋33＝17，S50＝－25，∴S17＋S33＋S50＝1.
答案 1
16．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________.
解析 ＝＝15.
答案 15
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.
(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{nan}的前n项和．
解 (1)令n＝1，得2a1－a1＝a，即a1＝a，∵a1≠0，
∴a1＝1，令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.
当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1＝Sn－1
两式相减得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1，
于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
即an＝2n－1.
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)由(1)知，nan＝n·2n－1.
记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是
Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①
2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②
①－②得
－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n.
从而Bn＝1＋(n－1)·2n.
18．(12分)已知等比数列{an}，首项为81，数列{bn}满足bn＝log3an，其前n项和为Sn.
(1)证明{bn}为等差数列；
(2)若S11≠S12，且S11最大，求{bn}的公差d的范围．
解 (1)证明：设{an}的公比为q，
则a1＝81，＝q，由an>0，可知q>0，
∵bn＋1－bn＝log3an＋1－log3an＝log3＝log3q(为常数)，
∴{bn}是公差为log3q的等差数列．
(2)由(1)知，b1＝log3a1＝log381＝4，
∵S11≠S12，且S11最大，
∴即
∴－≤d<－.
19．(12分)等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.
(1)求an与bn；
(2)证明：＋＋…＋<.
解 (1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d>0，q≠0，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，依题意有
解得或(舍去)．
故an＝2n＋1，bn＝8n－1.
(2)证明：由(1)知Sn＝×n＝n(n＋2)，
＝＝，
∴＋＋…＋＝＋＋＋…＋
＝
＝
＝－
∵>0
∴＋＋…＋<.
20．(12分)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
解 (1)设{an}的公比为q，由已知，得16＝2q3，解得
q＝2，
∴an＝a1qn－1＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.
设{bn}的公差为d，则有解得
从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.
所以数列{bn}的前n项
和Sn＝＝6n2－22n.
21．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*.
(1)求an，bn；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
解 (1)由Sn＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.∴an＝4n－1(n∈N*)．
由an＝4log2bn＋3＝4n－1，得bn＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)知an·bn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，
∴Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)×2n－1，
2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)×2n－1＋(4n－1)×2n.
∴2Tn－Tn＝(4n－1)×2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1]＝(4n－5)2n＋5.
故Tn＝(4n－5)2n＋5.
22．(12分)已知数列{an}满足a1＝1，an－2an－1－2n－1＝0(n∈N*，n≥2)．
(1)求证：数列{}是等差数列；
(2)若数列{an}的前n项和为Sn，求Sn.
解 (1)∵an－2an－1－2n－1＝0，∴－＝，
∴{}是以为首项，为公差的等差数列．
(2)由(1)，得＝＋(n－1)×，
∴an＝n·2n－1，
∴Sn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1①
则2Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n②
①－②，得
－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝2n－1－n·2n，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.
第二章 章末复习课
课时目标
综合运用等差数列与等比数列的有关知识，解决数列综合问题和实际问题．
一、选择题
1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为( )
1
2
1
a
b
c
A.1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 由题意知，a＝，b＝，c＝，
故a＋b＋c＝1.
2．已知等比数列{an}，a1＝3，且4a1、2a2、a3成等差数列，则a3＋a4＋a5等于( )
A．33 B．72 C．84 D．189
答案 C
解析 由题意可设公比为q，则4a2＝4a1＋a3，
又a1＝3，∴q＝2.
∴a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)
＝3×4×(1＋2＋4)＝84.
3．已知一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
答案 C
解析 设项数为2n，公比为q.
由已知S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1. ①
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n. ②
②÷①得，q＝＝2，
∴S2n＝S奇＋S偶＝255＝＝，
∴2n＝8.
4．在公差不为零的等差数列{an}中，a1，a3，a7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{an}的通项an等于( )
A．n B．n＋1 C．2n－1 D．2n＋1
答案 B
解析 由题意a＝a1a7，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，
得a1d＝2d2.
又d≠0，∴a1＝2d，S7＝7a1＋d＝35d＝35.
∴d＝1，a1＝2，an＝a1＋(n－1)d＝n＋1.
5．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n (n≥2，n∈N＋)，则的值是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，
∴a3·a2＝a2＋(－1)3，∴a3＝，
∴a4＝＋(－1)4，∴a4＝3，
∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，
∴＝×＝.
6．已知等比数列{an}的各项均为正数，数列{bn}满足bn＝ln an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}前n项和的最大值等于( )
A．126 B．130 C．132 D．134
答案 C
解析 ∵{an}是各项不为0的正项等比数列，
∴{bn}是等差数列．
又∵b3＝18，b6＝12，∴b1＝22，d＝－2，
∴Sn＝22n＋×(－2)＝－n2＋23n，
＝－(n－)2＋
∴当n＝11或12时，Sn最大，
∴(Sn)max＝－112＋23×11＝132.
二、填空题
7．三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数按从小到大的顺序依次为__________．
答案 2,4,8
解析 设这三个数为，a，aq.由·a·aq＝a3＝64，得a＝4.
由＋a＋aq＝＋4＋4q＝14.解得q＝或q＝2.
∴这三个数从小到大依次为2,4,8.
8．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32∶27，则这个等差数列的公差是____．
答案 5
解析 S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12；S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11.
则，∴S奇＝162，S偶＝192，
∴S偶－S奇＝6d＝30，d＝5.
9．如果b是a，c的等差中项，y是x与z的等比中项，且x，y，z都是正数，则(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz＝______.
答案 0
解析 ∵a，b，c成等差数列，设公差为d，
则(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz＝－dlogmx＋2dlogmy－dlogmz
＝dlogm＝dlogm1＝0.
10．等比数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则a13＋a14＋a15＝________.
答案 48
解析 易知q≠1，∴，
∴＝1＋q3＝3，∴q3＝2.
∴a13＋a14＋a15＝(a1＋a2＋a3)q12
＝S3·q12＝3×24＝48.
三、解答题
11．设{an}是等差数列，bn＝an，已知：b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求等差数列的通项an.
解 设等差数列{an}的公差为d，
则＝＝an＋1－an＝d.
∴数列{bn}是等比数列，公比q＝d.
∴b1b2b3＝b＝，∴b2＝.
∴，解得或.
当时，q2＝16，∴q＝4(q＝－4<0舍去)
此时，bn＝b1qn－1＝·4n－1＝22n－5.
由bn＝5－2n＝an，∴an＝5－2n.
当时，q2＝，∴q＝
此时，bn＝b1qn－1＝2·n－1＝2n－3＝an，
∴an＝2n－3.
综上所述，an＝5－2n或an＝2n－3.
12．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝ (n∈N*)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在t，使得对任意的n均有Sn>总成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2.∵d>0，∴d＝2
∵a1＝1.∴an＝2n－1 (n∈N*)．
(2)bn＝＝＝，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝.
假设存在整数t满足Sn>总成立，
又Sn＋1－Sn＝－＝>0，
∴数列{Sn}是单调递增的．
∴S1＝为Sn的最小值，故<，即t<9.
又∵t∈Z，∴适合条件的t的最大值为8.
能力提升
13．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，其中ak1，ak2，…，akn恰为等比数列，若k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1＋k2＋…＋kn.
解 由题意知a＝a1a17，
即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)．
∵d≠0，由此解得2d＝a1.
公比q＝＝＝3.∴akn＝a1·3n－1.
又akn＝a1＋(kn－1)d＝a1，
∴a1·3n－1＝a1.
∵a1≠0，∴kn＝2·3n－1－1，
∴k1＋k2＋…＋kn＝2(1＋3＋…＋3n－1)－n
＝3n－n－1.
14．设数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足关系式：
3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t (t>0，n＝2,3,4，…)．
(1)求证：数列{an}是等比数列；
(2)设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1＝1，bn＝f (n＝2,3,4，…)．求数列{bn}的通项bn；
(3)求和：b1b2－b2b3＋b3b4－b4b5＋…＋b2n－1b2n－b2n·b2n＋1.
(1)证明 由a1＝S1＝1，S2＝1＋a2，
得a2＝，＝.
又3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t， ①
3tSn－1－(2t＋3)Sn－2＝3t. ②
①－②，得3tan－(2t＋3)an－1＝0.
∴＝，(n＝2,3，…)．
∴数列{an}是一个首项为1，
公比为的等比数列．
(2)解 由f(t)＝＝＋，
得bn＝f＝＋bn－1.
∴数列{bn}是一个首项为1，公差为的等差数列．
∴bn＝1＋(n－1)＝.
(3)解 由bn＝，可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列．
于是b1b2－b2b3＋b3b4－b4b5＋…＋b2n－1b2n－b2nb2n＋1
＝b2(b1－b3)＋b4(b3－b5)＋b6(b5－b7)＋…＋b2n(b2n－1－b2n＋1)
＝－(b2＋b4＋…＋b2n)＝－·n
＝－(2n2＋3n)．
1．等差数列和等比数列各有五个量a1，n，d，an，Sn或a1，n，q，an，Sn.一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和d(或q)，问题可迎刃而解．
2．数列的综合问题通常可以从以下三个角度去考虑：①建立基本量的方程(组)求解；②巧用等差数列或等比数列的性质求解；③构建递推关系求解．
第二章 章末检测 （A）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2 011，则序号n等于( )
A．667 B．668 C．669 D．671
答案 D
解析 由2 011＝1＋3(n－1)解得n＝671.
2．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )
A．15 B．30 C．31 D．64
答案 A
解析 在等差数列{an}中，a7＋a9＝a4＋a12，
∴a12＝16－1＝15.
3．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为( )
A．81 B．120 C．168 D．192
答案 B
解析 由a5＝a2q3得q＝3.
∴a1＝＝3，
S4＝＝＝120.
4．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于( )
A．160 B．180 C．200 D．220
答案 B
解析 ∵(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)
＝(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)
＝3(a1＋a20)＝－24＋78＝54，
∴a1＋a20＝18.
∴S20＝＝180.
5．数列{an}中，an＝3n－7 (n∈N＋)，数列{bn}满足b1＝，bn－1＝27bn(n≥2且n∈N＋)，若an＋logkbn为常数，则满足条件的k值( )
A．唯一存在，且为 B．唯一存在，且为3
C．存在且不唯一 D．不一定存在
答案 B
解析 依题意，
bn＝b1·n－1＝·3n－3＝3n－2，
∴an＋logkbn＝3n－7＋logk3n－2
＝3n－7＋(3n－2)logk
＝n－7－2logk，
∵an＋logkbn是常数，∴3＋3logk＝0，
即logk3＝1，∴k＝3.
6．等比数列{an}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于( )
A．8 B．－8 C．±8 D．以上都不对
答案 A
解析 ∵a2＋a6＝34，a2·a6＝64，∴a＝64，
∵a2>0，a6>0，∴a4＝a2q2>0，∴a4＝8.
7．若{an}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q等于( )
A．1或2 B．1或－2 C．－1或2 D．－1或－2
答案 C
解析 依题意有2a4＝a6－a5，
即2a4＝a4q2－a4q，而a4≠0，
∴q2－q－2＝0，(q－2)(q＋1)＝0.
∴q＝－1或q＝2.
8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于( )
A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3
答案 A
解析 显然等比数列{an}的公比q≠1，则由＝＝1＋q5＝?q5＝－，
故＝＝＝＝.
9．已知等差数列{an}的公差d≠0且a1，a3，a9成等比数列，则等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为a＝a1·a9，所以(a1＋2d)2＝a1·(a1＋8d)．所以a1＝d.
所以＝＝.
10．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( )
A．21 B．20 C．19 D．18
答案 B
解析 ∵(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d，
∴99－105＝3d.∴d＝－2.
又∵a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝105，∴a1＝39.
∴Sn＝na1＋d＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.
∴当n＝20时，Sn有最大值．
11．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是( )
A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
答案 D
解析 由题意知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z.
又∵{an}是等比数列，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列，
即X，Y－X，Z－Y为等比数列，
∴(Y－X)2＝X·(Z－Y)，
即Y2－2XY＋X2＝ZX－XY，
∴Y2－XY＝ZX－X2，
即Y(Y－X)＝X(Z－X)．
12．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是数列中的( )
A．第48项 B．第49项
C．第50项 D．第51项
答案 C
解析 将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n组n个，
即，，，…，，
则第n组中每个数分子分母的和为n＋1，则为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13.－1与＋1的等比中项是________．
答案 ±1
14．已知在等差数列{an}中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______．
答案 －4
解析 由，解得－≤d<－，
∵d∈Z，∴d＝－4.
15．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________秒．
答案 15
解析 设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an，则数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列，由求和公式得na1＋＝240，即2n＋n(n－1)＝240，解得n＝15.
16．等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1>1，a99a100－1>0，<0.给出下列结论：①01成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是________．(填写所有正确的序号)
答案 ①②④
解析 ①中，?
?q＝∈(0,1)，∴①正确．
②中，?a99a101<1，∴②正确．
③中，?T100④中，T198＝a1a2…a198
＝(a1a198)(a2a197)…(a99a100)
＝(a99a100)99>1，
T199＝a1a2…a198a199＝(a1a199)…(a99a101)·a100
＝a199100<1，∴④正确．
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
17．(12分)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．
解 (1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a3＝－6，a6＝0，
所以
解得a1＝－10，d＝2.
所以an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，
所以－8q＝－24，q＝3.
所以数列{bn}的前n项和公式为
Sn＝＝4(1－3n)．
18．(12分)已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.
解 设{an}的公差为d，则
即
解得或
因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)，
或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．
19．(12分)已知数列{log2(an－1)} (n∈N*)为等差数列，且a1＝3，a3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<1.
(1)解 设等差数列{log2(an－1)}的公差为d.
由a1＝3，a3＝9，
得log2(9－1)＝log2(3－1)＋2d，则d＝1.
所以log2(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n，
即an＝2n＋1.
(2)证明 因为＝＝，
所以＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝＝1－<1.
20．(12分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的前n项和．
(1)证明 由已知an＋1＝2an＋2n，
得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.
∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.
∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)解 由(1)知，bn＝n，＝bn＝n.∴an＝n·2n－1.
∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1
两边乘以2得：2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，
两式相减得：－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n
＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.
21．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当bn＝log(3an＋1)时，求证：数列{}的前n项和Tn＝.
(1)解 由已知(n≥2)，
得an＋1＝an(n≥2)．
∴数列{an}是以a2为首项，以为公比的等比数列．
又a2＝S1＝a1＝，
∴an＝a2×()n－2(n≥2)．
∴an＝
(2)证明 bn＝log(3an＋1)＝log[×()n－1]＝n.
∴＝＝－.
∴Tn＝＋＋＋…＋
＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)
＝1－＝.
22．(14分)已知数列{an}的各项均为正数，对任意n∈N*，它的前n项和Sn满足Sn＝(an＋1)(an＋2)，并且a2，a4，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)n＋1anan＋1，Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n.
解 (1)∵对任意n∈N*，有Sn＝(an＋1)(an＋2)， ①
∴当n＝1时，有S1＝a1＝(a1＋1)(a1＋2)，
解得a1＝1或2.
当n≥2时，有Sn－1＝(an－1＋1)(an－1＋2)． ②
①－②并整理得(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0.
而数列{an}的各项均为正数，∴an－an－1＝3.
当a1＝1时，an＝1＋3(n－1)＝3n－2，
此时a＝a2a9成立；
当a1＝2时，an＝2＋3(n－1)＝3n－1，
此时a＝a2a9不成立，舍去．
∴an＝3n－2，n∈N*.
(2)T2n＝b1＋b2＋…＋b2n
＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1
＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)
＝－6a2－6a4－…－6a2n
＝－6(a2＋a4＋…＋a2n)
＝－6×＝－18n2－6n.
第二章 章末检测 (B)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．在等差数列{an}中，a3＝2，则{an}的前5项和为( )
A．6 B．10
C．16 D．32
2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
3．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
4．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则( )
A．a1＝1 B．a3＝1
C．a4＝1 D．a5＝1
5．等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝24－n B．an＝2n－4 C．an＝2n－3 D．an＝23－n
6．已知等比数列{an}的前n项和是Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于( )
A．8 B．12 C．16 D．24
7．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a10－a12的值为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
8．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5等于( )
A．35 B．33 C．31 D．29
9．已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和．若S16>0，且S17<0，则当Sn最大时n的值为( )
A．8 B．9 C．10 D．16
10．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为的等比数列，则
|m－n|等于( )
A．1 B. C. D.
11．将正偶数集合{2,4,6，…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组：{2,4}，{6,8,10,12}，{14,16,18,20,22,24}，….则2 010位于第( )组．
A．30 B．31 C．32 D．33
12．a1，a2，a3，a4是各项不为零的等差数列且公差d≠0，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则的值为( )
A．－4或1 B．1 C．4 D．4或－1
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且
a1＝－1，公和为1，那么这个数列的前2 011项和S2 011＝________.
14．等差数列{an}中，a10<0，且a11>|a10|，Sn为数列{an}的前n项和，则使Sn>0的n的最小值为__________．
15．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为________．(lg 2≈0.301 0)
16．数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则它的通项公式是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)数列{an}中，a1＝，前n项和Sn满足Sn＋1－Sn＝()n＋1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；
(2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值．
18．(12分)已知点(1,2)是函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象上一点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝logaan＋1，求数列{anbn}的前n项和Tn.
19．(12分)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S3，S4的等比中项为S5；S3，S4的等差中项为1，求数列{an}的通项公式．
20．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝nan－2n(n－1)．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)设数列{}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<.
21．(12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1＝1，b1＝3，a2＋b2＝8，T3－S3＝15.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}满足a1cn＋a2cn－1＋…＋an－1c2＋anc1＝2n＋1－n－2对任意n∈N*都成立，求证：数列{cn}是等比数列．
22．(12分)甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为(n2－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多an－1万元．
(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；
(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？
第二章 数 列 章末检测(B) 答案
1．B [S5＝＝5a3＝10.]
2．B [∵3S3＝a4－2,3S2＝a3－2.
∴3(S3－S2)＝a4－a3，∴3a3＝a4－a3.
∴a4＝4a3.∴q＝4.]
3．C [当项数n为偶数时，由S偶－S奇＝d知
30－15＝5d，∴d＝3.]
4．B [T5＝a1a2a3a4a5＝(a1a5)(a2a4)a3
＝a53＝1.∴a3＝1.]
5．A [q3＝＝，∴q＝.
∵a1＋a3＝a1(1＋q2)＝a1＝10，∴a1＝8.
∴an＝a1·qn－1＝8·()n－1＝24－n.]
6．C [∵S10＝6，S5＝2，S10＝3S5.∴q≠1.
∴∴＝1＋q5＝3.q5＝2.
∴a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)q15
＝S5·q15＝2×23＝16.]
7．C [a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝(a4＋a12)＋(a6＋a10)＋a8＝5a8＝120，a8＝24.
∴a10－a12＝(2a10－a12)
＝[2(a1＋9d)－(a1＋11d)]＝(a1＋7d)
＝a8＝12.]
8．C [设公比为q(q≠0)，则由a2a3＝2a1知
a1q3＝2，∴a4＝2.
又a4＋2a7＝，∴a7＝.
∴a1＝16，q＝.
∴S5＝＝＝31.]
9．A [∵S16＝＝8(a8＋a9)>0，
∴a8＋a9>0.
∵S17＝＝17a9<0.
∴a9<0，∴a8>0.
故当n＝8时，Sn最大．]
10．B [易知这四个根依次为：，1,2,4.
不妨设，4为x2－mx＋2＝0的根，
1,2为x2－nx＋2＝0的根．
∴m＝＋4＝，n＝1＋2＝3，
∴|m－n|＝|－3|＝.]
11．C [∵前n组偶数总的个数为：
2＋4＋6＋…＋2n＝＝n2＋n.
∴第n组的最后一个偶数为2＋[(n2＋n)－1]×2＝2n(n＋1)．
令n＝30，则2n(n＋1)＝1 860；
令n＝31，则2n(n＋1)＝1 984；
令n＝32，则2n(n＋1)＝2 112.
∴2 010位于第32组．]
12．A [若删去a1，则a2a4＝a，
即(a1＋d)(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，化简，得d＝0，不合题意；
若删去a2，则a1a4＝a，
即a1(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，化简，得＝－4；
若删去a3，则a1a4＝a，
即a1(a1＋3d)＝(a1＋d)2，化简，得＝1；
若删去a4，则a1a3＝a，
即a1(a1＋2d)＝(a1＋d)2，化简，得d＝0，不合题意．故选A.]
13．1 004
解析 a1＝－1，a2＝2，a3＝－1，a4＝2，…，
∴a2 011＝－1，∴S2 011＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 009＋a2 010)＋a2 011＝1 005×1＋(－1)
＝1 004.
14．20
解析 ∵S19＝＝19a10<0；
S20＝＝10(a10＋a11)>0.
∴当n≤19时，Sn<0；当n≥20时，Sn>0.
故使Sn>0的n的最小值是20.
15．14
解析 设原杂质数为1，各次过滤杂质数成等比数列，且a1＝1，公比q＝1－20%，
∴an＋1＝(1－20%)n，由题意可知：
(1－20%)n<5%，即0.8n<0.05.
两边取对数得nlg 0.8∵lg 0.8<0，∴n>，
即n>＝＝
≈≈13.41，取n＝14.
16．an＝
解析 当n＝1时，
a1＝S1＝3－2＋1＝2.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1
＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]
＝6n－5.
则当n＝1时，6×1－5＝1≠a1，
∴an＝.
17．解 (1)由Sn＋1－Sn＝()n＋1得an＋1＝()n＋1(n∈N*)，
又a1＝，故an＝()n(n∈N*)．
从而Sn＝＝[1－()n](n∈N*)．
(2)由(1)可得S1＝，S2＝，S3＝.
从而由S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列得
＋3×(＋)＝2×(＋)t，解得t＝2.
18．解 (1)把点(1,2)代入函数f(x)＝ax得a＝2，
所以数列{an}的前n项和为Sn＝f(n)－1＝2n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，
对n＝1时也适合，∴an＝2n－1.
(2)由a＝2，bn＝logaan＋1得bn＝n，
所以anbn＝n·2n－1.
Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1， ①
2Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n. ②
由①－②得：
－Tn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，
所以Tn＝(n－1)2n＋1.
19．解 设等差数列{an}的首项a1＝a，公差为d，则Sn＝na＋d，依题意，有
整理得
∴a＝1，d＝0或a＝4，d＝－.
∴an＝1或an＝－n，
经检验，an＝1和an＝－n均合题意．
∴所求等差数列的通项公式为an＝1或an＝－n.
20．(1)解 由Sn＝nan－2n(n－1)得
an＋1＝Sn＋1－Sn＝(n＋1)an＋1－nan－4n，
即an＋1－an＝4.
∴数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列，
∴an＝4n－3.
(2)证明 Tn＝＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝(1－＋－＋－＋…＋－)
＝(1－)<.
又易知Tn单调递增，
故Tn≥T1＝，得≤Tn<.
21．(1)解 设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q(q>0)．
由题意得
解得∴an＝n.bn＝3×2n－1.
(2)证明 由cn＋2cn－1＋…＋(n－1)c2＋nc1＝2n＋1－n－2，
知cn－1＋2cn－2＋…＋(n－2)c2＋(n－1)c1＝2n－(n－1)－2(n≥2)．
两式相减：cn＋cn－1＋…＋c2＋c1＝2n－1(n≥2)，
∴cn－1＋cn－2＋…＋c2＋c1＝2n－1－1(n≥3)，
∴cn＝2n－1(n≥3)．
当n＝1,2时，c1＝1，c2＝2，适合上式．
∴cn＝2n－1(n∈N*)，
即{cn}是等比数列．
22．解 (1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an，bn.则有：a1＝a，n≥2时：
an＝(n2－n＋2)－[(n－1)2－(n－1)＋2]
＝(n－1)a.
∴an＝
bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝a＋a＋a2＋…＋an－1
＝a，(n∈N*)．
(2)易知bn<3a，所以乙超市将被甲超市收购，
由bn<an得：a<(n－1)a.
∴n＋4n－1>7，∴n≥7.
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．
第二章数列复习
知识结构
知识纲要
⑴数列的概念 ，通项公式，数列的分类，用函数的观点看数列．
⑵等差、等比数列的定义．
⑶等差、等比数列的通项公式．
⑷等差中项、等比中项．
⑸等差、等比数列的前n项和公式及其推导的方法．
知识归纳
一、等差数列
1.等差数列这单元学习了哪些内容？
2. 等差数列的定义、用途及使用时需注意的问题:
n≥2，an －an－1＝d (常数)
3. 等差数列的通项公式如何？结构有什么特点？
an＝a1＋(n－1) d an＝An＋B (d＝A∈R)
4. 等差数列图象有什么特点？单调性如何确定？
5. 用什么方法推导等差数列前n项和公式的?公式内容? 使用时需注意的问题? 前n项和公式结构有什么特点?
Sn＝An2＋Bn (A∈R) 注意: d＝2A !
6. 你知道等差数列的哪些性质?
等差数列{an}中，(m、 n、p、q∈N+):
①an＝am＋(n－m)d ；
②若 m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq ；
③由项数成等差数列的项组成的数列仍是等差数列；
④ 每n项和Sn , S2n－Sn , S3n－S2n …组成的数列仍是等差数列.
二、等比数列
1. 等比数列的定义
2. 等比数列的通项公式
3. 等比中项
4. 等比数列的判定方法
（1）an=an－1·q（n≥2），q是不为零的常数，an－1≠0{an}是等比数列.
（2）an2=an－1·an＋1（n≥2, an－1,an,an＋1≠0）{an}是等比数列.
（3）an=c·qn（c，q均是不为零的常数）{an}是等比数列.
5. 等比数列的性质
(1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时， {an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时， {an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列；当q＜0时，{an}是摆动数列.
(2)an＝am·qn－m(m、n∈N*).
6. 等比数列的前n项和公式
7. 等比数列前n项和的一般形式
8. 等比数列的前n项和的性质
(1)在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则
(2)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.
方法总结
1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．
2．等差、等比数列中，a1、an、n、d（q）、Sn“知三求二”，体现了方程（组）的思想、整体思想，有时用到换元法．
3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．
4．数列求和的基本方法有公式法、化归法、倒序相加法、错位相减法、并项求和法、分步求和法、裂项相消法等．
练习
1. 已知: x＞0，y＞0, x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
2．数列的前项和记作，满足，．
证明数列为等比数列；并求出数列的通项公式．
记，数列的前项和为，求．
3．已知实数列是等比数列，其中，且，，成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）数列的前项和记为，证明：．
4．设数列的前项和为，为等比数列，且，，
求数列和的通项公式；设，求数列的前项和
课件21张PPT。第二章数列复习知识归纳等差数列定 义通 项前n项和主要性质1.等差数列这单元学习了哪些内容？一、等差数列2. 等差数列的定义、用途及使用时需
注意的问题:n≥2，an －an－1＝d (常数)3. 等差数列的通项公式如何？结构有
什么特点？an＝a1＋(n－1) dan＝An＋B(d＝A∈R)一、等差数列4. 等差数列图象有什么特点？
单调性如何确定？nnanand＞0d＜0一、等差数列5. 用什么方法推导等差数列前n项和公式
的?公式内容? 使用时需注意的问题? 前n
项和公式结构有什么特点?Sn＝An2＋Bn (A∈R) 注意: d＝2A !一、等差数列6. 你知道等差数列的哪些性质?等差数列{an}中，(m、 n、p、q∈N+):
①an＝am＋(n－m)d ；
②若 m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq ；
③由项数成等差数列的项组成的数列仍
是等差数列；
④ 每n项和Sn , S2n－Sn , S3n－S2n …
组成的数列仍是等差数列.一、等差数列1. 等比数列的定义2. 等比数列的通项公式3. 等比中项二、等比数列4. 等比数列的判定方法(1) an＝an－1·q (n≥2)，q是不为零的常数，
an－1≠0 ? {an}是等比数列.
(2) an2＝an－1·an＋1(n≥2, an－1, an, an＋1≠0)
? {an}是等比数列.
(3) an＝c·qn (c，q均是不为零的常数)
? {an}是等比数列.二、等比数列5. 等比数列的性质 (1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，
{an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，
{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列；
当q＜0时，{an}是摆动数列.二、等比数列5. 等比数列的性质 (2)an＝am·qn－m(m、n∈N*).(1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，
{an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，
{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列；
当q＜0时，{an}是摆动数列.二、等比数列6. 等比数列的前n项和公式 二、等比数列7. 等比数列前n项和的一般形式已知，，成等差数列，成等比数列，则 二、等比数列8. 等比数列的前n项和的性质二、等比数列(1)在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，
则(2)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.8. 等比数列的前n项和的性质(1)在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，
则二、等比数列1. 已知: x＞0，y＞0, x，a，b，y成等差数
列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4练习2．数列的前项和记作，满足，2. 数列{an}的前n项和记作Sn，满足
Sn＝2an＋3n－12(n∈N*)．
(1)证明数列{an－3}为等比数列；
并求出数列{an}的通项公式．
(2)记bn＝nan ，数列{bn}的前n项
和为Tn ，求Tn．练习2．数列的前项和记作，满足，3．已知实数列{an}是等比数列，其中
a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{an}的前n项和记为Sn，
证明：Sn＜128(n＝1,2,3,…).练习4．设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}
为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1，
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设 ，求数列{cn}的前n项和Tn .练习
