新高考必修5辽宁地区专用 1.4 数学归纳法24张PPT
文档属性
| 名称 | 新高考必修5辽宁地区专用 1.4 数学归纳法24张PPT |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 936.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-03 00:00:00 | ||
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文档简介
课件24张PPT。第一章 数列1.4 数学归纳法
1.4.1 数学归纳法
1.4.2 数学归纳法应用举例预习探究数学归纳法的定义:一个与自然数相关的命题,如果(1)当n取第一个值n0时命题成立;(2)在假设当n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立的前提下,推出当n=k+1时命题也成立,那么可以断定,这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立.
数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法,它是一种
,它的证明共分两步,其中第一步是 的基础,称为“归纳基础”(或称特殊性),第二步是 ,解决的是延续性问题(又称传递性问题).?数学归纳法步骤以及注意事项知识点一完全归纳法命题成立递推的证据预习探究[思考] 运用数学归纳法证明有关命题要注意哪些方面?解:(1)“两个步骤,一个结论”,缺一不可;(2)第二步中,证明“当n=k+1时结论正确”的过程里,必须利用“归纳假设”,即必须用上“当n=k时结论正确”这一条件,没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法.
(3)在第二步的证明中,“当n=k时结论正确”这一归纳假设起着已知的作用,“当n=k+1时结论正确”则是求证的目标,在这一步中,一般首先要凑出归纳假设里给出的形式,以便利用归纳假设,然后再去凑出当n=k+1时的结论.预习探究运用数学归纳法时,由 的证明是证明的难点,突破难点的关键是掌握由k到k+1的推证方法.在运用归纳假设时,应分析由k到k+1的差异与联系,利用 等手段,或从归纳假设出发,或从k+1时分离出k时的式子,再进行局部调整,也可以考虑二者的结合点,以便顺利过渡.?使用数学归纳法从k到k+1的证明过程知识点二k到k+1拆、添、并、放、缩预习探究[思考] 数学归纳法的易错点有哪些?解:(1)弄错起始值n0,n0不一定恒为1,也可能为n0=2或3(即起点问题).
(2)对项数估算错误,特别是当寻找n=k与n=k+1的关系时,项数的变化易出现错误(即跨度问题).
(3)没有利用归纳假设.归纳假设是必须要用的,假设是起桥梁作用的,桥梁断了就过不去了,整个证明过程也就不正确了(即伪证问题).
(4)关键步骤含糊不清.“假设n=k时结论成立,利用此假设证明n=k+1时结论也成立”是数学归纳法的关键一步,也是证明问题最重要的环节,推导的过程中要把步骤写完整,另外要注意证明过程的严谨性、规范性(即规范问题).预习探究用数学归纳法证明关键在于“两个步骤要做到,递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”.因此必须注意以下三点:
(1)验证是基础.
数学归纳法的原理表明:第一个步骤是要找一个数n0,这个n0就是我们要证明的命题对象的最小自然数,这个自然数并不一定都是“1”,因此“找准起点,奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题.如何正确使用数学归纳法知识点三预习探究(2)递推乃关键.
数学归纳法的实质在于递推.所以从“k”到“k+1”的过程,必须把归纳假设“n=k”时的命题作为条件来导出“n=k+1”时的命题,在推导过程中,要把归纳假设用上一次或几次.
(3)正确寻求递推关系.
我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的,如何寻求递推关系呢?预习探究①在第一步验证时,不妨多计算几项,并争取正确写出来,这样对发现递推关系是有帮助的.
②探求数列通项问题要善于观察式子或命题的变化规律,观察n处在哪个位置.
③在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚.预习探究1.数学归纳法的题型:(1)证恒等式;(2)整除性的证明;(3)探求平面几何中的问题;(4)探求数列的通项;(5)不等式的证明.
2.数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题关键在于“先看项”,弄清两边的构成规律,等式两边各有多少项,项的多少与n的取值有关,从n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.使用数学归纳法证明问题的题型与技巧知识点四预习探究3.证明不等式常用放缩法,即在假设的基础上,通过放大或缩小等技巧,变换出要证明的目标不等式.
4.证明整除时,常从f(k+1)中分离出f(k)或利用f(k+1)-f(k)的差被整除,使问题简化.
5.探索性问题,通过n=1,2,3,…探讨出n个待定系数后,再用数学归纳法证明.
6.观察→分析→归纳→猜想,探索一般规律,其关键在于正确地归纳猜想.考点类析数学归纳法的跨度问题考点一??考点类析?考点类析??考点类析数学归纳法的常见题型[导入] 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立;
(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当 时命题也成立.?
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.考点二n=k+1考点类析??考点类析?考点类析??考点类析??考点类析???考点类析??当堂自测1.若命题A(n)(n∈N*)在n=k(k∈N*)时成立,则有n=k+1时命题也成立,现知命题对n=n0(n0∈N*)成立,则有 ( )
A.命题对所有正整数都成立
B.命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立
C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立
D.以上说法都不正确C当堂自测??B当堂自测3.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从n=k到n=k+1,左边需增添的代数式是 ( )
A.2k+2 B.2k+3
C.2k+1 D.(2k+2)+(2k+3)D当堂自测??B
1.4.1 数学归纳法
1.4.2 数学归纳法应用举例预习探究数学归纳法的定义:一个与自然数相关的命题,如果(1)当n取第一个值n0时命题成立;(2)在假设当n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立的前提下,推出当n=k+1时命题也成立,那么可以断定,这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立.
数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法,它是一种
,它的证明共分两步,其中第一步是 的基础,称为“归纳基础”(或称特殊性),第二步是 ,解决的是延续性问题(又称传递性问题).?数学归纳法步骤以及注意事项知识点一完全归纳法命题成立递推的证据预习探究[思考] 运用数学归纳法证明有关命题要注意哪些方面?解:(1)“两个步骤,一个结论”,缺一不可;(2)第二步中,证明“当n=k+1时结论正确”的过程里,必须利用“归纳假设”,即必须用上“当n=k时结论正确”这一条件,没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法.
(3)在第二步的证明中,“当n=k时结论正确”这一归纳假设起着已知的作用,“当n=k+1时结论正确”则是求证的目标,在这一步中,一般首先要凑出归纳假设里给出的形式,以便利用归纳假设,然后再去凑出当n=k+1时的结论.预习探究运用数学归纳法时,由 的证明是证明的难点,突破难点的关键是掌握由k到k+1的推证方法.在运用归纳假设时,应分析由k到k+1的差异与联系,利用 等手段,或从归纳假设出发,或从k+1时分离出k时的式子,再进行局部调整,也可以考虑二者的结合点,以便顺利过渡.?使用数学归纳法从k到k+1的证明过程知识点二k到k+1拆、添、并、放、缩预习探究[思考] 数学归纳法的易错点有哪些?解:(1)弄错起始值n0,n0不一定恒为1,也可能为n0=2或3(即起点问题).
(2)对项数估算错误,特别是当寻找n=k与n=k+1的关系时,项数的变化易出现错误(即跨度问题).
(3)没有利用归纳假设.归纳假设是必须要用的,假设是起桥梁作用的,桥梁断了就过不去了,整个证明过程也就不正确了(即伪证问题).
(4)关键步骤含糊不清.“假设n=k时结论成立,利用此假设证明n=k+1时结论也成立”是数学归纳法的关键一步,也是证明问题最重要的环节,推导的过程中要把步骤写完整,另外要注意证明过程的严谨性、规范性(即规范问题).预习探究用数学归纳法证明关键在于“两个步骤要做到,递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”.因此必须注意以下三点:
(1)验证是基础.
数学归纳法的原理表明:第一个步骤是要找一个数n0,这个n0就是我们要证明的命题对象的最小自然数,这个自然数并不一定都是“1”,因此“找准起点,奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题.如何正确使用数学归纳法知识点三预习探究(2)递推乃关键.
数学归纳法的实质在于递推.所以从“k”到“k+1”的过程,必须把归纳假设“n=k”时的命题作为条件来导出“n=k+1”时的命题,在推导过程中,要把归纳假设用上一次或几次.
(3)正确寻求递推关系.
我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的,如何寻求递推关系呢?预习探究①在第一步验证时,不妨多计算几项,并争取正确写出来,这样对发现递推关系是有帮助的.
②探求数列通项问题要善于观察式子或命题的变化规律,观察n处在哪个位置.
③在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚.预习探究1.数学归纳法的题型:(1)证恒等式;(2)整除性的证明;(3)探求平面几何中的问题;(4)探求数列的通项;(5)不等式的证明.
2.数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题关键在于“先看项”,弄清两边的构成规律,等式两边各有多少项,项的多少与n的取值有关,从n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.使用数学归纳法证明问题的题型与技巧知识点四预习探究3.证明不等式常用放缩法,即在假设的基础上,通过放大或缩小等技巧,变换出要证明的目标不等式.
4.证明整除时,常从f(k+1)中分离出f(k)或利用f(k+1)-f(k)的差被整除,使问题简化.
5.探索性问题,通过n=1,2,3,…探讨出n个待定系数后,再用数学归纳法证明.
6.观察→分析→归纳→猜想,探索一般规律,其关键在于正确地归纳猜想.考点类析数学归纳法的跨度问题考点一??考点类析?考点类析??考点类析数学归纳法的常见题型[导入] 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立;
(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当 时命题也成立.?
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.考点二n=k+1考点类析??考点类析?考点类析??考点类析??考点类析???考点类析??当堂自测1.若命题A(n)(n∈N*)在n=k(k∈N*)时成立,则有n=k+1时命题也成立,现知命题对n=n0(n0∈N*)成立,则有 ( )
A.命题对所有正整数都成立
B.命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立
C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立
D.以上说法都不正确C当堂自测??B当堂自测3.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从n=k到n=k+1,左边需增添的代数式是 ( )
A.2k+2 B.2k+3
C.2k+1 D.(2k+2)+(2k+3)D当堂自测??B