课件26张PPT。第一章 数列1.2 等差数列
1.2.1 等差数列
第1课时 等差数列（一）预习探究一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的 都等于 ,即 ,这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的公差(常用字母“d”表示).?
(1)定义中“从第2项起”是说必须从第2项起才能保证数列中各项均与其前面一项作差,如若不然,从第3项(或第4项…)起作差,则势必遗漏前若干项.等差数列的定义知识点一差同一个常数an-an-1=d(n≥2,n∈N+)预习探究(2)定义中“每一项与它前一项的差”,它的含义有两个,其一是强调作差的顺序,即后面的项减前面的项,其二是强调这两项必须相邻.
(3)定义中的“公差”就是相邻两项的差值,是一个具体常数,可据此求解公差.预习探究[思考] 定义中的“同一个常数”应如何理解?解:定义中的“同一个常数”可理解为:每一项与其前面一项的差是常数,且是唯一的常数,否则这个数列不能称为等差数列.例如an-an-1=n,其中的差n的值会随着两个相邻项的变化而变化,则满足这种条件的数列就不是等差数列.预习探究[探究] 数列{an}的通项公式为an=2n-1,根据定义判断数列{an}是等差数列吗?解:因为an=2n-1,所以an-1=2(n-1)-1=2n-3(n≥2),则an-an-1=(2n-1)-(2n-3)=2,为常数,满足等差数列的定义,故数列{an}为等差数列.预习探究等差数列的通项公式知识点二若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则它的通项公式为an= .?a1+(n-1)d预习探究[讨论] 若知道等差数列{an}中的项am和公差d,如何求解通项公式?解:先求解首项a1,根据am=a1+(m-1)d,得到a1=am-(m-1)d,所以通项公式为an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,即an=am+(n-m)d.预习探究从函数角度认识等差数列{an}知识点三若数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d,则an=f(n)=a1+(n-1)d=nd+(a1-d),由此可看出:
(1)若公差d≠0,则an是关于n的 函数;?
(2)点(n,an)落在直线 上;?
(3)这些点的横坐标每增加1,函数值增加 .?一次f(n)=nd+(a1-d)d预习探究[思考] 是不是所有的等差数列的通项公式都可以写成形如an=kn+b的形式?解:所有等差数列的通项公式都可以写成an=kn+b的形式,但是只有当公差不为零时,通项公式才是关于n的一次函数式.预习探究[探究] 若一个数列的通项公式是关于n的一次函数形式,则可以证明这个数列是等差数列,即{an}是等差数列?an= ,其中公差为k,首项为b+k.?kn+b考点类析例1 (1)等差数列{an}中,a1+a5=10,
a4=7,则数列{an}的公差为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4等差数列的公差?(2)方法一:因为an=3n+2,所以a1=3+2=5,a2=3×2+2=8,
故公差d=a2-a1=8-5=3.
方法二:因为an=3n+2,故an+1=3(n+1)+2=3n+5,
所以公差d=an+1-an=3n+5-(3n+2)=3.考点一(2)等差数列{an}的通项公式为an=3n+2,则其公差d= .?B3考点类析等差数列的定义[导入] 如何判定一个数列为等差数列?解:用定义判断,只要判断后一项与它前一项的差为固定的常数即可.考点二考点类析??考点类析变式 已知数列{an}的通项公式为an=pn2+qn(p,q为常数).
(1)当p,q满足什么条件时,{an}是等差数列?解:(1)∵an=pn2+qn,∴an+1=p(n+1)2+q(n+1),
又∵{an}为等差数列,
∴an+1-an=2pn+p+q是一个与n无关的常数,
∴2p=0,即p=0,q为任意常数.(2)证明:∵an=pn2+qn,∴an+1=p(n+1)2+q(n+1),
∴an+1-an=2pn+p+q,∴当n≥2时,an-an-1=2p(n-1)+p+q,
∴(an+1-an)-(an-an-1)=2p,∴数列{an+1-an}是等差数列.(2)求证:{an+1-an}是等差数列.考点类析[小结] 判断和证明一个数列是等差数列,只需用定义判断即可,无论数列是否给出通项公式,只要能够借助题目条件证明任意相邻两项的差为常数即可,如例2,没有通项公式但按照定义提供的思路证明就可以得到答案.考点类析等差数列的通项公式[导入] 等差数列的通项公式主要作用有哪些?解:(1)求解数列的通项公式;(2)根据通项公式求解数列中的某一项.考点三考点类析例3 已知数列{an}满足an+1=an+2,且a1=2,则an= .?[解析] 因为an+1=an+2,所以an+1-an=2,
所以数列{an}为等差数列且公差d=2,首项a1=2,
故通项公式为an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.考向一 利用通项公式求解数列通项2n考点类析变式 已知等差数列{an}满足a4=6,a6=10,求数列{an}的通项公式an.?考点类析??考向二 根据通项求解数列中的某一项B考点类析变式 在等差数列{an}中,a2=4,a3+a7=20,则a8= ( )
A.8 B.12 C.16 D.24[解析] 因为数列{an}是等差数列,设其公差为d,所以a3+a7=2a2+6d,又a2=4,a3+a7=20,所以d=2,a8=a2+6d=16.故选C.C考点类析[小结] 等差数列的通项公式是解决等差数列问题的重要工具,在本节中其应用主要有三个方面:一是用来求解等差数列的通项公式,二是用来求解数列中的某一项,三是利用其方程功能判断某项是否为等差数列的项.考点类析拓展 若等差数列5,8,11,…与等差数列3,7,11,…均有100项,则它们的共同项有 ( )
A.25项 B.24项
C.23项 D.22项[解析] 设两数列的共同项组成的新数列为{an},则{an}是首项为11的等差数列.
∵等差数列5,8,11,…与等差数列3,7,11,…的公差分别为3与4.∴{an}的公差d=3×4=12,∴an=11+(n-1)×12=12n-1.
∵等差数列5,8,11,…与等差数列3,7,11,…的第100项分别为302与399,∴an=12n-1≤302,
∴n≤25.25.∵n∈N*,∴所给两数列有25个共同项,故选A.A当堂自测[解析] 设等差数列{an}的公差为d,则a1+a9=a1+a1+8d=2a1+8d=2(a1+4d)=2a5=10,∴a5=5.1.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则a5的值为 ( )
A.5 B.6 C.8 D.10A当堂自测[解析] 由题意,得an=a1+(n-1)d=1+
3(n-1)=3n-2,又∵am=22,∴3m-2=22,
∴m=8.2.{an}是首项为a1=1,公差d=3的等差数列,如果am=22,则m等于( )
A.6 B.7 C.8 D.9C当堂自测[解析] 因为a2,a+1,-1是等差数列的前三项,故(a+1)-a2=-1-(a+1),可化为a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1.当a=3时,公差d=-1-(a+1)=-5;当a=-1时,公差d=-1-(a+1)=-1.故选C.3.若等差数列的前三项依次为a2,a+1,-1,则该数列的公差为( )
A.-1 B. -5
C.-5或-1 D.-1或3C当堂自测?4.已知{an}为等差数列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,则a5=( )
A.1 B.2 C.3 D.4B课件24张PPT。第一章 数列1.2 等差数列
1.2.1 等差数列
第2课时 等差数列（二）预习探究?等差中项知识点一?a,A,b成等差数列预习探究[思考] 任意两个实数都有等差中项吗?解:任意两个实数都有等差中项,而且有唯一的等差中项,其本质是两个数的算术平均数.预习探究??预习探究1.在等差数列{an}中,若an=dn+b,则等差数列的图像是在直线y=dx+b上均匀分布的无穷多个孤立的点组成的散点图,若公差d=0,则此数列为 ;若d>0,则此数列为 ;若d<0,则此数列为 .?等差数列的性质知识点二常数列递增数列递减数列预习探究2.若{an}是有穷等差数列,则与首、末两项等距离的两项的和都 ,且等于 ,用式子可表示为: .?
3.若{an}是等差数列,m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则 .?
特别地,若m+n=2p,则 .?相等首、末两项之和a1+an=a2+an-1=…=ak+1+an-kam+an=ap+aqam+an=2ap预习探究4.在等差数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,仍构成一个新的 数列.即若{an}是等差数列,k,l∈N*,则ak,a2k,a3k,…,alk也是等差数列.?
5.若{an},{bn}是等差数列,且公差分别是da,db,则a1+b1,a2+b2,…,an+bn是
数列,且公差为 .?
6.在等差数列{an}中,am-an= d或d= (m,n∈N+,m≠n).?等差等差da+db(m-n)?预习探究??预习探究[讨论] 在等差数列{an}中,“若项数m,n,p满足m+n=p,则am,an,ap满足am+an=ap”,这个结论对吗?解:不对.
因为am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d=2a1+(p-2)d,
而ap=a1+(p-1)d,所以am+an-ap=2a1+(p-2)d-[a1+(p-1)d]=a1-d,
若等差数列的首项与公差不相等,则am+an=ap不正确;
若等差数列的首项与公差相等,则am+an=ap正确.考点类析?等差中项及其应用??考点一(2)一个等差数列连续三项的值分别为 3,5,a,则a= .?C7考点类析等差数列的性质[导入] 等差数列的性质,可以根据什么知识推理其正确性?解:可以利用等差数列的定义或者利用等差数列的通项公式,转化为首项和公差的关系去推理验证.考点二考点类析例2 等差数列{an}中,a4+a5+a6=21,求a1+a2+…+a9的值.解:a4+a5+a6=3a5=21,所以a5=7,
则a1+a2+…+a9=(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5=9a5=63.考点类析变式 在等差数列{an}中,已知a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8的值.解:由等差中项公式得a3+a7=2a5,a4+a6=2a5,
由a3+a4+a5+a6+a7=450,得5a5=450,则a5=90,∴a2+a8=2a5=180.考点类析[小结] 与等差数列项的求值有关的问题的求解关键是对等差数列的性质的熟练掌握与准确恰当的应用.考点类析等差数列的通项公式及性质的综合[导入] 等差数列的通项公式是什么?解:an=a1+(n-1)d.考点三考点类析例3 设等差数列{an}的公差为正数,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13= .??105考点类析例3 设等差数列{an}的公差为正数,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13= .?方法二:因为a1+a2+a3=15,所以3a2=15,则a2=5.
因为a1a2a3=80,所以(a2-d)a2(a2+d)=80,
则5(5-d)(5+d)=80,解得d=±3,
因为d>0,所以d=3,故a11+a12+a13=(a2+9d)+(a2+10d)+(a2+11d)=3a2+30d=105.105考点类析变式 等差数列{an}中,a1+a3+a5
=-12,且a1·a3·a5=80,则{an}的通项公式为 ( )
A.an=3n-13或an=-3n+15
B.an=3n-12或an=-3n+13
C.an=3n-13或an=-3n+3
D.an=3n-13或an=-3n+5?D考点类析[小结] 上述这类问题的求解,可以利用通项公式,回归首项和公差求解问题,也可以回归到某一项和公差求解问题,总之,首项和公差是联系所有条件的桥梁.考点类析拓展 四个数成等差数列,其平方和为94,第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18,求此四个数.?当堂自测[解析] 在等差数列{an}中,a2+a13=a7+a8=16,故选B.1.在等差数列{an}中,已知a7+a8=16,则a2+a13= ( )
A.12 B.16
C.20 D.24B当堂自测[解析] 根据等差数列的性质,a1+a99=a2+a98=…=a49+a51=2a50,故a1+a2+…+a99=99a50=0,则a50=0,所以a1+a99=a2+a98=…=a49+a51=
2a50=0,故选C.2.已知等差数列{an}满足a1+a2+…+a99=0,则 ( )
A.a1+a99>0
B.a2+a98<0
C.a3+a97=0
D.a50=50C当堂自测?3.若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a= .??当堂自测[解析] 在等差数列{an}中,a2+a8=2a5,所以15-a5=2a5,所以a5=5.4.等差数列{an}中,若a2+a8=15-a5,则a5= .??
