课件27张PPT。第一章 数列1.2 等差数列
1.2.2 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和（一）预习探究一般地,称 为数列{an}的前n项的和,用Sn表示,即Sn= .?数列的前n项和公式知识点一a1+a2+a3+…+ana1+a2+a3+…+an[思考] 数列{an}的第n项an与前n项和Sn之间的关系是怎样的??预习探究[探究] 已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,求数列的通项公式an.解:当n=1时,a1=S1=2-3=-1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5.
把n=1代入4n-5得4×1-5=-1=a1,所以an=4n-5.预习探究?等差数列的前n项和公式知识点二??预习探究[思考] 等差数列的前n项和公式的适用条件分别是什么?解:已知首项、末项和项数用公式1求和,已知首项、公差和项数用公式2求和.预习探究[探究] (1)1+2+3+…+n= ;?
(2)1+3+5+…+(2n-1)= ;?
(3)2+4+6+…+2n= .??n2n(n+1)预习探究公式2可化成关于n的解析式:Sn= ,当d≠0时,是一个常数项为零的二次式,即点(n,Sn)在其相应的二次函数的图像上,这就是说等差数列的前n项和是关于n的二次函数.这便给出了一种判断数列是否为等差数列的方法.?等差数列的前n项和公式与二次函数的关系知识点三?预习探究??-1预习探究??-1考点类析例1 (1)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S3=4a3,a7=-2,则a9= ( )
A.-6 B.-4 C.-2 D.2等差数列{an}的前n项和Sn?考点一A考点类析?例1 (2)已知一个等差数列的前四项之和为21,末四项之和为67,前n项和为286,则项数n为 ( )
A.24 B.26 C.27 D.28B考点类析等差数列的前n项和公式的综合应用[导入] (1)等差数列的前n项和公式与通项公式一共涉及几个量?
(2)若数列{an}为等差数列,则数列{|an|}是等差数列吗?解:(1)一共涉及五个量:a1,an,d,n,Sn,知道其中三个量,可以求解另外两个量.考点二(2)不一定是.若各项符号相同,则是;若各项符号不完全相同,有正项也有负项,则不是.考点类析例2 设数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且S4=-62,S6=-75,则{an}的前n项和Sn= .??考点类析?变式 将等差数列{an}的前n项和记为Sn,已知a10=30,a20=50.
(1)求Sn;
(2)若Sn=242,求n的值.(2)由Sn=n2+11n,Sn=242得n2+11n-242=0,
解得n=11或n=-22(舍去),∴n=11.考点类析?例3 设数列{an}的前n项和为Sn=3n2-65n,求数列{|an|}的前n项和Tn.考点类析?变式 等差数列{an}的通项公式为an=3n-18,求数列{|an|}的前n项和Tn.考点类析?考点类析[小结] 与等差数列密切相关的数列求和问题,要弄清该数列和等差数列的关系,合理选择求和的方法,或者等价转化为等差数列求和.考点类析例4 某地为了防止水土流失,植树造林,绿化荒沙地,每年比上一年多植相同亩数的林木,但由于自然环境和人为因素的影响,每年都有相同亩数的土地沙化,具体情况如下表所示:
而土地一旦植完林木,则不会被沙化.若绿化完全部沙地,则需到_________年.?等差数列的实际应用考点三2025考点类析?考点类析?变式 一辆双层公共汽车有66个座位,空车出发,第一站上一位乘客,第二站上两位乘客,第三站上三位乘客,每一站下一位乘客,第几站后,车上坐满乘客?考点类析[小结] 等差数列应用题,关键是建模,明确首项、公差、项数、末项、和等等这些量中知道了哪些,求解什么,然后确定求解思路,注意公式应用的准确性,注意最后回扣原题作答.考点类析?拓展 在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2,并求出这些数的和.当堂自测??A当堂自测?2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=2,a6=8,则S8= ( )
A.20 B.40
C.60 D.80B当堂自测?3.已知数列{an}为等差数列,
a1=35,d=-2,Sn=0,则n等于 ( )
A.33 B.34
C.35 D.36D当堂自测??C课件25张PPT。第一章 数列1.2 等差数列
1.2.2 等差数列的前n项和
第2课时 等差数列的前n项和（二）预习探究我们已经知道等差数列的前n项和公式可化成式子:Sn= .由二次函数的性质知:当d>0时,等差数列{an}的前n项和Sn有
值;当d<0时,等差数列{an}的前n项和Sn有 值.一般地,求等差数列{an}的前n项和Sn最值的主要方法有两种:?等差数列前n项和公式与二次函数的关系知识点一?最小最大预习探究?最大最小配方预习探究等差数列前n项和不仅给出一种判断数列是否为等差数列的方法,同时也告诉我们可以借助于二次函数的图像和性质(主要指单调性和最值)来研究与等差数列前n项和有关的问题.预习探究[思考] 等差数列前n项和的最值问题的求解与二次函数的最值问题的求解有什么区别?解:等差数列前n项和的最值问题的求解是在n∈N*条件下求解的,二次函数的最值问题的求解一般是在实数集范围内进行的.预习探究[讨论] 一个数列的前n项和是Sn=an2+bn(n∈N*,a,b为常数),这个数列是等差数列吗?解:当n=1时,a1=S1=a+b,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an2+bn-a(n-1)2-b(n-1)=2an-a+b,
把n=1代入上式验证得2a-a+b=a+b=a1,故an=2an-a+b(n∈N*),
所以an+1-an=2a(n+1)-a+b-(2an-a+b)=2a(为常数),
所以该数列为等差数列.预习探究性质1:若数列{an}是等差数列,Sn是其前n项的和,k∈N*,那么 , ,
成等差数列.?
性质2:奇数项和与偶数项和的关系
设数列{an}是公差为d的等差数列,S奇是奇数项的和,S偶是偶数项的和,d为公差,等差数列的中间一项记为a中,则前n项和Sn=S奇+S偶有如下性质:等差数列前n项和的性质知识点二SkS2k-SkS3k-S2k预习探究??a中????预习探究?3[解析] (1)S3,S6-S3和a7+a8+a9构成等差数列,公差为3-1-1=1,所以a7+a8+a9=3.??考点类析例1 (1)在等差数列{an}中,a2=1,
a5=-5,则数列{an}的前n项和Sn的最大值为 .?等差数列的前n项和的最值[解析] (1)由a2=1,a5=-5求得该数列的首项为3,公差为-2,则前n项和为Sn=-n2+4n.配方得Sn=4-(n-2)2,故前两项的和最大,最大为4.考点一4(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=13,S3=S11,当Sn最大时,n的值是 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8(2)由S3=S11得a4+a5+…+a11=0,根据等差数列性质可得a7+a8=0,根据首项等于13可推知这个数列递减,从而得到a7>0,a8<0,故n=7时,Sn最大.C考点类析等差数列前n项和性质的应用[导入] 等差数列前n项和的性质主要有哪些方面?解:三大方面:一是依次取n项得到的和构成新的等差数列;二是奇数项和与偶数项和的关系问题;三是两个等差数列前n项的和的比值与项的比值之间的关系问题.考点二考点类析?例2 设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5= ( )
A.5 B.7
C.9 D.11A考点类析???考点类析[解析] 在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列,
从而有2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m).
∴S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.例3 若等差数列{an}的前m项的和为30,前2m项的和为100,则它的前3m项的和为 ( )
A.210 B.170
C.140 D.160A考点类析[解析] 由等差数列的性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,则2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n,所以S3n=3S2n-3Sn=3(b-a).变式 在等差数列{an}中,Sn=a,
S2n=b,则S3n等于 ( )
A.2b-a B.3a-b
C.3(b-a) D.2(b-a)C考点类析[小结] 上述两类题目考查了等差数列的性质,属于等差数列中的典型问题,要熟练掌握.考点类析叠加法在等差数列求和中的应用[导入] 推导等差数列通项公式的方法是什么?其适用条件是什么?解:叠加法.其适用条件是给出相邻两项的差an+1-an=f(n),可以用叠加法求通项公式.考点三考点类析?B?考点类析变式 已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+2n-1(n≥2),求数列{an}的通项公式.?考点类析[小结] 叠加法适用于给出相邻项差的数列求通项公式或求和,其左边一般是叠加消项,右边是数列求和,根据条件要合理选择求和方法,整个过程要注意式子中n的取值范围,最后答案勿忘对n的范围进行验证.考点类析???当堂自测??C当堂自测??A当堂自测??C当堂自测[解析] 在等差数列{an}中,S5=S9,所以a6+a7+a8+a9=0,所以a1+a14=0,又a1>0,所以公差d<0,所以a7>0>a8,所以{Sn}中的最大的项为S7.4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S5=S9,a1>0,则{Sn}中最大的项是 ( )
A.S6 B.S7
C.S8 D.S9B
