课件38张PPT。第二章
平面解析几何初步2.2 直线的方程
2.2.2 直线方程的几种形式
第1课时 直线的点斜式方程和两点式方程预习探究?直线的点斜式方程知识点一y-y0=k(x-x0)点斜式预习探究?预习探究[思考] 什么条件下可以使用直线的点斜式方程?解:已知直线的斜率和直线上一个点的坐标时,可以直接利用点斜式写出直线方程.预习探究[讨论] 过点(x0,y0)的直线方程是y-y0=k(x-x0)吗?解:不是.若直线的斜率存在,则直线方程为y-y0=k(x-x0);若直线的斜率不存在,则直线方程为x=x0.故具体问题中要注意斜率是否存在,不确定时可分类讨论.预习探究[探究] 一条直线经过点P1(-2,3),倾斜角α=45°,则这条直线的方程为 .?[解析] 这条直线经过点P1(-2,3),斜率k=1,代入点斜式方程,得y-3=x+2,即y=x+5.y=x+5预习探究已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点坐标为(0,b),设点P(x,y)为直线l上任意一点,则直线的点斜式方程为y-b=k(x-0),整理得 ②,?
称②式为直线的 方程.?
(1)直线的斜截式方程仅由直线在 的截距与直线的斜率确定.?
(2)当直线的倾斜角为 时,直线的斜率不存在,故不存在斜截式方程.当直线的倾斜角为 时,直线的方程可写成y=b.?
(3)直线的斜截式方程只适用于 的直线. ?直线的斜截式方程知识点二y=kx+b斜截式y轴上90°0°斜率存在预习探究[讨论] 截距与距离有何区别?解:直线与x轴交点的横坐标叫作直线在x轴上的截距,直线与y轴交点的纵坐标叫作直线在y轴上的截距,故截距可正、可负,也可为零,但距离代表长度,一定是非负数,故截距不等同于距离.预习探究[探究] 写出下列直线在两坐标轴上的截距.
(1)x+y=1;(2)x-y=1;(3)y=2x.解:(1)直线在两坐标轴上的截距均为1;
(2)直线在x轴上的截距为1,在y轴上的截距为-1;
(3)直线在两坐标轴上的截距均为0.预习探究已知直线过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),由点斜式可得直线的方程为
,当y1≠y2时,方程可以写成
,该直线方程叫作直线的两点式方程,简称两点式.?直线的两点式方程知识点三??预习探究?不存在0预习探究[思考] 直线的两点式方程不能表示哪类直线?解:不能表示与坐标轴垂直或重合的直线.[探究] 经过点A(-5,0)与点B(3,-3)的直线的两点式方程为 ,将其化为斜截式为 .???预习探究?直线的截距式方程知识点四?截距式预习探究[说明] (1)截距式是两点式的特殊情形,此时的两点为直线与两坐标轴的交点.
(2)直线在x轴、y轴上的截距又分别简称 截距、 截距.?
(3)使用截距式方程的条件是 ,即两个截距非零,这就是说,截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行或重合的直线.?
(4)用截距式画直线比较方便,因为可以由截距式方程直接确定直线与x轴、y轴的交点的坐标.横纵a≠0,b≠0预习探究[探究] 已知直线mx+ny=18在x轴、y轴上的截距分别为3和-6,求m,n的值.?考点类析?对几种直线方程的理解[解析] 选项A,C,D中的方程都不能表示直线的斜率不存在的情况.考点一B考点类析直线的点斜式方程的应用[导入] 应用直线的点斜式方程时应注意什么问题?解:注意考虑斜率是否存在.考点二考点类析????考点类析变式 若直线l满足下列条件,求直线l的方程.
(1)过点(-1,2)且斜率为3;
(2)过点(-1,2)且与x轴平行;
(3)过点(-1,2)且与x轴垂直.解:(1)由直线的点斜式方程可得y-2=3[x-(-1)],即3x-y+5=0.
(2)由于直线的斜率为0,故直线方程为y=2.
(3)由于直线的斜率不存在,故直线方程为x=-1.考点类析[小结] 利用点斜式求解直线方程时,需要先求解直线的斜率,再找出直线上一点,然后由点斜式直接写出直线方程.考点类析直线的斜截式方程的应用[导入] 何时使用斜截式方程求解问题?解:直线斜率存在的有关的问题、画图问题、已知方程求解斜率的问题等,都可使用斜截式来求解.考点三考点类析例3 已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l的斜率与l1的斜率相等,且与l2在y轴上的截距相同,则直线l的方程为 .?[解析] 由直线的斜截式方程知,直线l1的斜率k1=-2,所以直线l的斜率k=k1=-2.又l2在y轴上的截距b2=-2,所以直线l在y轴上的截距b=b2=-2,由斜截式可得,直线l的方程为y=-2x-2.y=-2x-2考点类析??考点类析[小结] 已知直线的斜率求直线的方程,往往设出直线的斜截式方程.考点类析拓展 直线y=ax+b和y=bx+a在同一坐标系中的位置可能是 ( )图2-2-6D考点类析直线的两点式方程的应用[导入] 什么时候可使用直线的两点式方程?解:给出两点坐标求直线方程,且这两点的横坐标与纵坐标均不相等时,可考虑直接用两点式方程解决问题.考点四考点类析??D考点类析变式 若3x1-2y1=5,3x2-2y2=5(x1≠x2),则过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线的方程为 .[解析] 由3x1-2y1=5,可知点A(x1,y1)满足方程3x-2y=5,即点A在直线3x-2y=5上,同理点B也在直线3x-2y=5上.又x1≠x2,过点A,B的直线有且只有一条,所以所求直线的方程为3x-2y=5,即3x-2y-5=0.3x-2y-5=0考点类析[小结] 两点式方程一般适用于给出两点坐标,求直线方程的问题,但两点式方程比较难记忆,因此所有能用两点式求解的问题,都可以先求斜率,然后利用点斜式或斜截式求解.考点类析直线的截距式方程的应用[导入] 哪些问题可考虑使用直线的截距式方程来解决?解:与坐标轴交点有关的问题、直线与坐标轴围成的三角形的面积问题等,都可以考虑用截距式方程来解决.考点五考点类析??D考点类析??D考点类析?考点类析拓展 一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,求此直线的方程.?当堂自测?1.过(0,3),(2,1)两点的直线方程为 ( )
A.x-y-3=0 B.x+y-3=0
C.x+y+3=0 D.x-y+3=0 B当堂自测?2.在x轴上截距为2,在y轴上截距为-2的直线方程为 ( )
A.x-y-2=0 B.x-y+2=0
C.x+y-2=0 D.x+y+2=0A当堂自测?3.过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 .?2x-y=0或x+y-3=0当堂自测?2x-3y+1=03x-y+3=0x=4??(3)因为直线的斜率不存在,所以直线垂直于x轴,又因为直线过点P(4, -3),所以其直线方程为x=4.课件20张PPT。第二章
平面解析几何初步2.2 直线的方程
2.2.2 直线方程的几种形式
第2课时 直线方程的一般式预习探究1.任何关于x和y的二元一次方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)都表示一条直线.反之,任何一条直线的方程都是关于x和y的二元一次方程.
2.方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)叫作直线的 .?直线的一般式方程知识点一般式方程预习探究?????一般式预习探究??相交???预习探究[思考] 直线方程Ax+By+C=0的系数A,B,C满足什么条件时,这条直线具有如下性质?
(1)与x轴垂直;(2)与y轴垂直; (3) 与x轴、y轴都相交; (4)过原点.解:(1) ∵与x轴垂直的直线方程为x=a,即x-a=0,它缺少y的一次项,∴B=0.故当B=0且A≠0时,直线Ax+By+C=0与x轴垂直.(2)与(1)同理可知,当A=0且B≠0时, 直线Ax+By+C=0与y轴垂直.(3)要使直线与x轴、y轴都相交,则它与两坐标轴都不垂直,由(1)(2)可知,当A≠0且B≠0,即AB≠0时, 直线Ax+By+C=0与x轴、y轴都相交.(4)将x=0,y=0代入Ax+By+C=0,得C=0,故当C=0时,直线Ax+By+C=0过原点.考点类析例1 (1)若方程Ax+By+C=0表示直线,则A,B应满足的条件为 ( )
A.A≠0 B.B≠0
C.A·B≠0 D.A2+B2≠0正确理解直线方程的一般式[解析] (1)方程Ax+By+C=0表示直线的条件是A,B不同时为零,即A2+B2≠0.考点一D ??D 考点类析例1 (3)直线的一般式方程Ax+By+C=0可以化成斜截式方程的条件是 ,可以化成截距式方程的条件是 .??B≠0ABC≠0考点类析直线的一般式方程的应用[导入] 直线方程的一般形式是什么?所有直线的方程都可以写成这种形式吗?解:直线方程的一般形式为Ax+By+C=0(A2+B2≠0),所有直线的方程都可以写成这种形式.考点二考点类析例2 设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)若直线l不经过第二象限,求实数a的取值范围.??考点类析变式 设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),根据下列条件分别确定k的值:
(1)直线l的斜率为-1;
(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.??考点类析[小结] (1)“截距相等”表示直线的斜率等于-1或者直线过原点且不与坐标轴重合.在题目中出现“截距相等”“截距互为相反数”“一截距是另一截距的几倍”等条件时要全面考察,不要漏掉过原点的情况.
(2)由直线的一般式方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)求直线在两坐标轴上的截距时,令x=0,得纵截距;令y=0,得横截距.由两截距的数值可知直线的位置.考点类析[导入] 方程ax+b=0满足什么条件时,解集为R?直线过定点问题考点三解:a=0且b=0.考点类析例3 已知直线2kx-y+1=6k,当k变化时,所有直线都经过定点 ( )
A.(0,0) B.(0,1)
C.(3,1) D.(2,1)?C考点类析?变式 已知直线l:5ax-5y-a+3=0(a∈R).求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限.考点类析?考点类析?拓展 已知直线l:kx-y+1-2k=0(k∈R).
(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线l交x轴正半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为原点,且|OA|=|OB|,求k的值.?当堂自测?1.如果AB>0,BC>0,那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限B当堂自测??B图2-2-7当堂自测[解析] 由ax+by+2a-3b=0,得a(x+2)+b(y-3)=0,∴直线过定点P(-2,3).3.若无论a,b(ab≠0)取何实数,直线ax+by+2a-3b=0都过一定点P,则点P的坐标为 .?(-2,3)当堂自测4.已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,-2),C(0,1),求这个三角形的三条边各自所在直线的方程.?
