(共15张PPT)
第三章
数系的扩充与复数的引入
3.1.1
数系的扩充和复数的概念
复数的起源
16世纪意大利米兰学者卡当在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成=40，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40。
给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔，他在《几何学》
中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。
数系的扩充
自然数
整数
有理数
无理数
实数
N
Z
Q
R
i
的引入
对于一元二次方程
没有实数根．
引入一个新数：
满足
虚数单位
i
引入一个新数
，
叫做虚数单位，并规定：
（1）它的平方等于
-1，即
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
复数
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
其中i是虚数单位.
全体复数所成的集合叫做复数集,C表示
复数的代数形式
实部
通常用字母
z
表示，即
虚部
其中
称为虚数单位。
复数的相关概念
当
a
=
0
且
时，z
=bi
叫做纯虚数．
当
时，z
是实数a
当
时，z
叫做虚数
复数
例题讲解
例1
实数m取什么值时，复数
是
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
解：（1）当
，即
时，复数z
是实数．
（2）当
，即
时，复数z
是虚数．
（3）当
，且
，即
时，复
数
z
是纯虚数．
复数的分类
相等复数
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即如果
，那么
0
0
=
=
=
+
b
a
bi
a
两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小
例题讲解
解：根据复数相等的定义，得方程组
所以
例2
已知
，其中
，求
.
y
x
与
复数间的关系
复数
N
Z
Q
R
C
1.虚数单位i的引入；
2.复数有关概念：
复数的代数形式:
复数的实部
、虚部
复数相等
虚数、纯虚数
3.复数的分类：
学习小结(共15张PPT)
第三章
数系的扩充与复数的引入
3.1.2
复数的几何意义
(1)
实数集原有的有关性质和特点能否推广到复数集？
(2)从复数的特点出发，寻找复数集新的(实数集所不具有)性质和特点？
探索复数集的性质和特点
想一想,实数集有些什么性质和特点
(1)实数可以判定相等或不相等；
(2)不相等的实数可以比较大小；
(3)实数可以用数轴上的点表示；
(4)实数可以进行四则运算；
(5)负实数不能进行开偶次方根运算；
……
能否找到用来表示复数的几何模型呢？
我们知道实数可以用数轴上的点来表示。
x
0
1
一一对应
注:规定了正方向，原点，单位长度的直线叫做数轴.
实数
数轴上的点
(形)
(数)
实数的几何模型:
复数z=a+bi
有序实数对(a,b)
直角坐标系中的点Z(a,b)
x
y
0
Z(a,b)
建立了平面直角坐标系来表示复数的平面——复平面
x轴——实轴
y轴——虚轴
a
b
（数）
（形）
一一对应
z=a+bi
一一对应
一一对应
例题讲解
例1:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.
例2
实数x分别取什么值时，复数
对应的点Z在（1）第三象限？（2）第四象限？（3）直线
上？
解：（1）当实数x满足
即
时，点Z在第三象限．
即
时，点Z在第四象限．
（2）当实数x满足
（3）当实数x
满足
即
时，点Z在直线
上
.
模与绝对值
复数z=a+bi
有序实数对(a,b)
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
一一对应
一一对应
一一对应
x
y
0
Z(a,b)
a
b
z=a+bi
一一对应
x
O
z=a+bi
y
Z
(a,b)
|
z
|
=
实数绝对值的几何意义:
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
x
O
A
a
|a|
=
|OA|
实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离.
x
O
z=a+bi
y
|z|=|OZ|
复数的模
复数
z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.
的几何意义:
Z(a,b)
(A)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上；
(B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上；
(C)在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数;
(D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.
练习：
1.下列命题中的假命题是（
）
D
2.“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”的(
)
(A)必要不充分条件
(B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
C
3.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二、四象限，求实数m的取值范围.
选做作业:
B
本课小结：
知识点：
思想方法：
(1)复平面
(2)复数的模
(1)类比思想
(3)数形结合思想
(2)转化思想
