课件25张PPT。1.3.1 二项式定理第一章 §1.3 二项式定理1.能用计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.问题导学题型探究达标检测学习目标答案问题导学 新知探究 点点落实知识点 二项式定理及其相关概念
思考1 我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式.
答案 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.
思考2 上述两个等式的右侧有何特点？
答案 (a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；
(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.答案思考3 你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？
答案 (a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b).
由多项式的乘法法则知，从每个(a＋b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项.思考4 能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？答案返回类型一 二项式定理的正用、逆用
例1 (1)求(x＋2y)4的展开式.题型探究 重点难点 个个击破＝x4＋8x3y＋24x2y2＋32xy3＋16y4.解析答案反思与感悟1.(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：(1)各项的次数等于n；(2)字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
2.逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.解析答案解析答案(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.解析答案类型二 求二项展开式的特定项(1)n的值；所以n2＝81，n＝9.解析答案(2)展开式中含x2的项.
解 设第k＋1项含x3项，所以第二项为含x3的项：反思与感悟解析答案跟踪训练2 (1)求二项式 的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
解 由已知得二项展开式的通项为Tr＋1解析答案解 设展开式中的第r＋1项为含x3的项，则∴9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含x3，解析答案类型三 求展开式中的特定项(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项.反思与感悟解 通项公式为：(1)∵第6项为常数项，∵r∈Z，∴k应为偶数.
所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.k＝2,0，－2即r＝2,5,8.反思与感悟1.求二项展开式的特定项的常见题型
(1)求第k项，Tk＝ ；
(2)求含xk的项(或xpyq的项)；
(3)求常数项；
(4)求有理项.
2.求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.解析答案当9－2r＝3时，解得r＝3，代入得x3的系数，1解析答案返回7解析答案达标检测1.二项式(a＋b)2n的展开式的项数是( )
A.2n B.2n＋1
C.2n－1 D.2(n＋1)
解析 展开式的项数比指数大1.1234B解析答案2.二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x3的系数为15，则n等于( )
A.4 B.5
C.6 D.7解得：n＝6或－5(舍去).C1234解析答案3.(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为______.(用数字填写答案)
解析 利用二项展开式的通项公式求解.－201234解析答案1234返回1.注意区分项的二项式系数与系数的概念.
2.要牢记 是展开式的第k＋1项，不要误认为是第k项.
3.求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值.更多精彩内容请登录：本课结束课件27张PPT。1.3.2 “杨辉三角”与二项式
系数的性质第一章 §1.3 二项式定理1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.
2.理解二项式系数的性质并灵活运用.问题导学题型探究达标检测学习目标答案问题导学 新知探究 点点落实知识点一 “杨辉三角”与二项式系数的性质
(a＋b)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：思考1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
答案 在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；
在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.答案思考2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？
答案 2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.
思考3 二项式系数的最大值有何规律？
答案 n＝2,4,6时，中间一项最大，n＝3,5时中间两项最大.
1.杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是 ，与这两个1等距离的项的系数 .
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的 ，即 .1相等和答案2.二项式系数的性质等距离二项式系数2n2n偶数2n－1答案返回类型一 与杨辉三角有关的问题
例1 如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值.
解 由题意及杨辉三角的特点可得
S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)解析答案反思与感悟题型探究 重点难点 个个击破解决与杨辉三角有关的问题的一般思路解析答案跟踪训练1 (1)如图数表满足：①第n行首尾两数
均为n；②图中的递推关系类似杨辉三角，则
第n(n≥2)行的第2个数是_________.
解析 由图中数字规律可知，第n行的第2个数是1
2 2
3 4 3
4 7 7 4
5 11 14 11 5
… … …(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成
0，得到如图所示的三角数表.从上往下数，
第1次全行的数都为1的是第1行，第2次
全行的数都为1的是第3行，…，第n次全
行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是___.
解析 观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，
故第n次全行的数都为1的是第2n－1行；
∵n＝6?26－1＝63，
故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，
第61行共有32个1.2n－132解析答案解析答案类型二 求展开式的系数和
例2 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
解 当x＝1时，(1－2x)7＝(1－2)7＝－1，
题中等式等号右边为a0＋a1＋a2＋…＋a7，
∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1.
当x＝0时，a0＝1.
∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2.解析答案(2)a1＋a3＋a5＋a7；
解 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1， ①
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37， ②
由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－1－37，解析答案(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
解 由展开式，知a1，a3，a5，a7均为负，a0，a2，a4，a6均为正，
∴由(2)中①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝－1＋37，∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7
＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝37＝2 187.反思与感悟二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，解析答案跟踪训练2 在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和.
(2)各项系数之和.
(3)所有奇数项系数之和.解 设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.
(3)令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59，
又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，解析答案类型三 二项式系数性质的应用
例3 已知f(x)＝( ＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项.反思与感悟解 令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，
又展开式中各项的二项式系数之和为2n.
由题意知，4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)，或2n＝32，∴n＝5.
(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间的项，解析答案反思与感悟展开式的通项公式为∴展开式中系数最大的项为反思与感悟1.二项式系数的最大项的求法
求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论.
(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.
(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
2.展开式中系数的最大项的求法
求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，
An，且第r＋1项最大，应用 解出r，即得出系数的最大项.跟踪训练3 已知 展开式中的二项式系数的和比(3a＋2b)7展开式的二项式系数的和大128，求 展开式中的系数最大的项和系数最小的项.当r＝4时，展开式中的系数最大，
即T5＝70x4为展开式中的系数最大的项；
当r＝3或5时，展开式中的系数最小，
即T4＝－56x7，T6＝－56x为展开式中的系数最小的项.解析答案返回解析答案达标检测1.已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋…a10x10，则a8等于( )
A.180 B.－180
C.45 D.－451234A解析答案B1234解析答案3.若 的展开式的各项系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A.10 B.20
C.30 D.120
解析 由2n＝64，得n＝6.B1234解析答案4.已知(1－x)8的展开式，求：
(1)二项式系数最大的项；
解 因为(1－x)8的幂指数8是偶数，
所以由二项式系数的性质知，中间一项(即第5项)的二项式系数最大，(2)系数最小的项.
解 二项展开式系数的最小值应在各负项中确定.
由题意知第4项和第6项系数相等且最小，1234返回1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出.
2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.一般地对字母赋的值为0、1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握.
3.注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数.
(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r∈{0,1,2，…，n}的范围.更多精彩内容请登录：本课结束
