21.2.4 y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 教学设计
课题
二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质
单元
沪科版
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
一、知识目标
1.会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象；
2.掌握抛物线y=ax2与y=a(x-h)2+k之间的平移规律；
3.依据具体问题情境建立二次函数y=a(x-h)2+k模型来解决实际问题.
二、能力目标
通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身的特点的认识和对二次函数性质的理解；经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力。
三、情感态度目标
进一步培养学生观察能力、抽象概括能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，了解从特殊到一般的辩证关系。
重点
教学重点：
二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象
难点
1.二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2(a≠0)的图象之间的平移关系；
2.通过对图象的观察，分析规律，归纳性质
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
师生回顾
类比知新
同学们，我们之前已研究了一些特殊二次函数：y=ax2, y=ax2＋k, y=a(x－h)2（a≠0) 。
问题：我们研究了这些特殊二次函数的哪些内容呢?
教师引导学生思考。
下面将同学们的学习思路归纳为以下五步进行探究：
/
学生通过 对旧知的回顾，通过类比学习，教师引导学生思考新的特殊二次函数如何具体开展研究？
通过教师的主导作用，激发学生的探究欲望，消除他们的畏难情绪。同时让学生了解探究函数方法，为后面的二次函数一般形式探究做好铺垫。
讲授新课
合作探究
1.小组讨论设定研究的具体函数。
请大家思考：如何选取a,h,k值便于研究，且具有针对性和代表性？
（教师根据情形适当引导）
2.分组探究，画函数图像
请同学们画出小组所定具体函数
/
3.观察图像，讨论研究二次函数抛物线的几个重要因素:
开口方向、对称 轴、顶点坐标、最值、增减性
4.观察共性，猜想性质，完成表格。
将学生分组，由小组共同完成探究表格，
（教师对上台演示的学生给小组加分予以鼓励。）
/
学生分组合作，动手操作，发现问题，并思考和交流问题。
学生把一些不同的函数图象画在同一坐标系中，通过观察、类比得出其性质，小组合作加强彼此间的沟通和交流，体会小组荣誉感。
小组代表上台投影展示并讲解本组大致探究过程及探究结果。其他小组补充。
函数的学习离不开图像的研究。
让学生操作画图，为学生创设活动的时间和空间，体现学生为主体的教学地位，让学生通过观察、分析、探索函数图象的几个重要因素，培养数形结合的思想。
加强学生的交流，概况归纳的能力的培养。把学生被动接受的地位转变为学生主动参与动手、动脑、自主研究、探索、小组学习讨论、交流为主。
5.验证猜想性质。
教师组织学生展示一般情形的函数图像和对开口方向、对称 轴、顶点坐标、最值、增减性的讨论结果。
/
探究发现：
函数y=a（x-h）2+k的性质，
/
|a|越大开口越小
通过动手操作、积极思
考、交流讨论
,突出重点和难点。图形和图像在变动
的状态下保持
不变的几何关
系的特点，观察图象，思考问题，学生观察二次函数图象的变与a,h,k变对应情形，体会从数到形，调动学生的各种感
官积极参与到
知识的探索活动中来。
展示函数图像，化抽象为直观，变静态为动态，让学生动手操作，观察图像，得出结论，有效地激发学生学习兴趣，使抽象枯燥的数学概念变得直观、形象，使学生由原来的害怕、厌恶数学，转为乐学。
探究过程中，渗透了数形结合，类比，分类以及由特殊到一般的思想方法，提升了学生认识问题和解决问题的能力。
自主探究 规律
1、下面我们继续研究函数图像。
在同一坐标系中画出函数图像y=?
1
2
??
2
，y=?
1
2
??+1
2
与y=?
1
2
??+1
2
?1的图像。
2、自主探究
老师提出问题并从中给与学习方法的指导，理解和巩固知识，提高学生认知和解决问题的能力。
（1） 请观察你所画的三个函数图像有什么共同特征？
（2） 图像之间的位置能否通过适当的 变换得到？
（3） 由此，你发现了什么？（探究二次函数 y=a(x－h)2和 y=ax2?图像之间的关系）
得出结论： y=?
1
2
??
2
的图像向左平移一个单位 y=?
1
2
??+1
2
的图像， y=?
1
2
??+1
2
的图像向上平移一个单位 y=?
1
2
??+1
2
?1的图像。
/
教师再导学生观察刚才得到的图象之间位置关系，并说出两种平移方式
/
归纳总结，形成规律：
一般地，抛物线y=a(x-h)2 +k与y=ax2形状同，位置不同，把抛物线y=ax2 向上（下）向右（左）平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k。由此，平移的方向、距离要根据h、k的值来决定。
平移方法:
(1)：先左右平移，再上下平移
（2）：先上下平移，再左右平移
规律：简记为“上加下减常数项，左加右减自变量”。
学生结合自己所画的图像，观察、比较这三类函数的图象位置关系。
学生自己画图，根据教师抛出的问题，独立思考主动探索问题，提出自己的见解。
学生观察图像，总结变换过程中h,k值变化的规律。 通过刚才的观察、画图、练习试着总结，归纳。
学生根据图像的位置总结 h,k值变化的规律，从而总结出抛物线平移的规律和方法。
在学生解疑，思辩的过程中引导学生体验揭示二次函数图象平移的一般规律，从而完善学生知识体系。同时教师用课件演示抛物线位置关系的变化，让学生在观察的同时，潜移默化地获取信息，形成有关的技能，体会 学习的乐趣，发展思维，学会学习。
让学生在刚才观察图象的基础之上，继续用具体的实例来说明图象的平移，加深对图象之间平移的理解。
让学生动手、观察、讨论、分析、对比、归纳、建立关系，分析处理数据，发现规律，得出结论，极大地提高猜想的成功率，提高数学结论归纳的准确性和全面性。
小结
老师提出通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
1.相同点:
2.不同点:
3.联系: y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以由y=ax2的图象平移得到。
学生独立完成自己这节课的收获， 其他学生可以补充，老师间接引导。
拓展延伸
画出函数y=
1
2
（x-6）2+3的图象，写出它的开口方向，对称轴和顶点，并说明当y随x的增大而增大时，x的取值范围．
通过解决实际应用问题，达到巩固新知、学以致用的目的，帮助学生进一步提升知识的应用能力。
课堂练习
1、对称轴是直线x=-2的抛物线是( )
A.y=-2x2-2 B. y=2x2-2
C. y=2(x+2)2-2 D.y=-5(x-2)2-6
2、若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是______________。
3、如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到抛物线y=2x2
4、将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得到抛物线y=2(x+2)2-1
5、已知s= –(x+1)2–3，当x为______时，s取最_____值为______。
6、y=(x+n)2+h 的对称轴x=-5，y最小值为10，则n=______,h=_____.
巩固所学新知，体会解决问题的成功感，增强自信心和学习数学的兴趣。
配套的跟踪练习对学生的学习检测非常重要的，学生们通过刚才的合作、探究、归纳，需要通过练习证实自己的这节课的收获。
中考链接
（2019?衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（1，-3）
C．（-1，3） D．（-1，-3）
把新知链接中考真题，通过每节课的真题练习，提高学生对中考题目的解答能力。
板书
/
课件19张PPT。第21章 二次函数的图象和性质21.2.4y=a(x－h)2+k导入已研究的二次函数： y=ax2, y=ax2＋k, y=a(x－h)2 （a≠0)问题：研究了这些二次函数的哪些内容？复习回顾研究二次函数y=a(x－h)2＋k？（a≠0)1.具体函数（小组自定）2. 画出图像（列表描点法）3. 研究图像（开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，最值）4. 猜想性质（完成表格）5. 验证二次函数y=a(x－h)2＋k的性质探究步骤类比新知：新课讲授1.具体函数（小组自定）2. 画出图像（列表描点法）3. 研究图像（开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，最值）4. 猜想性质（完成表格）5. 验证二次函数y=a(x－h)2＋k的性质探究步骤说明：以小组合作的形式进行探究，并完成表格。一、探究图像与性质画图展示一般情形：开口方向：向上y=3(x+1)2+1在对称轴(直线:x=-1)左侧(即x<-1时),函数的值随x的增大而减少顶点是最低点,函数有最小值.当x=-1时,最小值是0.在对称轴(直线:x=-1)右侧(即x>-1时),函数的值随x的增大而增大,对称轴：x=-1顶点坐标：（-1,1）最值：最小值1函数y=3(x+1)2+1画图展示一般情形：开口方向：向下y=-3(x+1)2+1在对称轴(直线:x=-1)左侧(即x<-1时),函数的值随x的增大而增大顶点是最低点,函数有最大值.当x=-1时,最大值是0.在对称轴(直线:x=-1)右侧(即x>-1时),函数的值随x的增大而减小,对称轴：x=-1顶点坐标：（-1,1）最值：最大值1函数y=-3(x+1)2+1探究发现二次函数y=a(x-h)2+k的性质：y=a(x-h)2+k向上向下a>0a<0x=hx=h(h，k)(h，k)当x=h时
y最小=k
当x=h时
y最大=k
当x>h时，y随x的增大而增大；当x当x>h时，y随x的增大而减小；当x|a|越大开口越小.在同一坐标系中画出函数 ， ， 的图像.
根据你画的函数图象试着填写下表向下y轴(0, 0)向下直线x=-1(-1, 0)向下直线x=-1(-1,-1)三、自主探究规律向下平移1个单位向左平移1个单位向下平移1个单位向左平移1个单位平移方法1:平移方法2:1、请观察你所画的三个函数图像有什么共同特征？
2、图像之间的位置能否通过适当的变换得到？
3、由此，你发现了什么？x=-1向下平移3个单位向左平移1个单位向左平移1个单位向下平移3个单位如何平移?请观察平移过程中，h和k的值如何变化规律归纳:一般地，抛物线 y=a(x+h)2+k 与y=ax2形状相同，位置不同，把抛物线y=ax2 向上（下）向右（左）平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k。由此，平移的方向、距离要根据h、k的值来决定。规律:简记为“上加下减常数项，左加右减自变量” 。课堂小结1.相同点: 2.不同点: 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系(2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值.(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . (2)对称轴不同:分别是直线x= -h和y轴. 3.联系: y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以由y=ax2的图象平移得到。(1)形状相同(1)顶点不同:分别是(-h,k)和(0,0).(3)最值不同:分别是k和0.先 沿x轴整体向左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
?拓展延伸?1、对称轴是直线x=-2的抛物线是( )
A.y=-2x2-2 B. y=2x2-2
C. y=2(x+2)2-2 D.y=-5(x-2)2-6
C2、若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是______________。y=-(x+2)2-4课堂练习3、如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到抛物线y=2x24、将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得到抛物线y=2(x+2)2-1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位先向左平移3个单位，再向下平移4个单位5、已知s= –(x+1)2–3，当x为______时，s取最_____值为______。
6、y=(x+n)2+h 的对称轴x=-5，y最小值为10，则n=______,h=_____.5 大 –310 –1 中考链接（2019?衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（1，-3） C．（-1，3） D．（-1，-3） 解：∵y=（x-1）2+3， ∴顶点坐标为（1，3）， 故选：A．A谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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