21.2.5 y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 教学设计
课题
二次函数y=ax2＋bx＋c的图像和性质
单元
沪科版
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
一、知识目标
1.掌握二次函数的定义，开口，顶点，对称轴,增减性和平移规律。
2.理解并掌握比较函数值大小、求最值的方法。
3.会判断系数a,b,c与二次函数图像的关系，知道一元二次方程与二次函数的关系
二、能力目标
通过复习，渗透数形结合、分类讨论等数学思想方法,提高解题能力，形成知识网络。
三、情感态度目标
通过课堂活动，培养学生学习数学的信心，感受学习数学的乐趣。
重点
教学重点：
学会利用二次函数的图像和性质比较函数值大小、求最值的方法，掌握系数a,b,c 与二次函数图像的关系
难点
数形结合，利用二次函数的图像和性质解决综合性问题。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
问题引入
一、提出问题
1.复习上节课所学y=a(x+h)2+k的图象和性质，并完成表格。
/
学生通过对旧知的回顾，通过迁移学习，引导学生思考新的解析式的图像和性质。
复习二次函数 y=a(x+h)2+k的图象性质，思考函y=a(x+h)2+k与函数y=ax2＋bx＋c的关系。
2．你能说出函数y＝－2(x+2)2-4图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
3．函数y＝－2(x+2)2-4图象与函数y＝－2x2的图象有什么关系?
(函数y＝－2(x+2)2-4的图象可以看成是将函数y＝－2x2 的图象向左平移2个单位再向下平移4个单位得到的)
4．函数y＝－2(x+2)2-4具有哪些性质?
(当x＜-2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞-2时，函数值y随x的增大而减小；当x-2时，函数取得最大值，最大值y＝4)
讲授新课
合作探究
一、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
我们已经知道y=a(x+h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论/的图象和性质？
问题1 怎样将/化成y=a(x+h)2+k的形式？
问题2 不画出图像，你能直接说出 /的图象的开口方向、对称轴
问题3 二次函数 /可以看作是由 /怎样平移得到的？
问题4 如何用描点法画二次函数 / 的图象？
教师根据学生的作答，展示多媒体图像。
问题5 结合二次函数 /的图象，说出其性质.
教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；
学生分组合作，运用配方法将/化成y=a(x+h)2+k的形式。
并思考：配方的方法及步骤是什么？
学生小组讨论，并思考回答/的图像开口方向向上、对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
学生根据上节课所学知识思考并回答问题。
学生用列表、描点画出二次函数的图像。
学生根据函数图像，说出二次函数/的图象，开口，顶点，对称轴等相关性质。
结合已学知识，开展提问，循序渐进地引导学生深入思考，运用已有知识解决新的问题，形成探究式学习。
复习二次函数的图象，开口，顶点，对称轴等相关知识，既为后面的提高做铺垫，又能吸引学生注意力。
复习二次函数平移的相关知识，总结平移规律。既复习了二次函数平移的知识，又渗透数形结合的数学思想。
加强学生画二次函数草图的能力和意识，渗透数形结合的思想。
根据数形结合，归纳出二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，开口，顶点与最值的关系、函数的增减性等性质，从而自然而然的学习了本节课的重点知识。
小组合作
自主探究
二、将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x+h)2+k
以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x+h)2+k？
教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；
学生由特殊函数迁移到一般函数解析式的转化，并运用配方法将一般式转化为顶点式。
针对转化结果，学生分组讨论，各组选派代表发言。
巩固由一般式化成顶点式的方法。通过变式，让学生警觉字母a不仅决定开口形状，同时决定开口方向。训练学生审题能力，严谨的逻辑思维能力。
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x+h)2+k的形式；
可直接看出抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标和对称轴；
根据二次函数y=ax2+bx+c的图像，能分析图像性质：
如果a>0,当x/ 时，y随x的增大而增大.
如果a<0,当x/时，y随x的增大而减小.
例题：
已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1
C．b≥1 D．b≤1
学生分组讨论，归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质，并由其他小组补充。
学生先自行解答问题，再由教师修改讲解。
帮助学生巩固二次函数的图像与性质的基础知识点，为后面应用二次函数的图像与性质解答问题作铺垫。
考查学生综合运用二次函数相关知识解决问题的能力，深度渗透数形结合的思想。
小结
老师提出通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
/
学生独立完成自己这节课的收获， 其他学生可以补充，老师间接引导。
拓展延伸
二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，那么（ ）
/
/
通过解决实际应用问题，达到巩固新知、学以致用的目的，帮助学生进一步提升知识的应用能力。
课堂练习
1、已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
/
则该二次函数图象的对称轴为( )
2.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
/
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ /，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（ ）
4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
/
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0；
（4）当y=–2时，x的值只能取0；
其中正确的是_______.
巩固所学新知，体会解决问题的成功感，增强自信心和学习数学的兴趣。
配套的跟踪练习对学生的学习检测非常重要的，学生们通过刚才的合作、探究、归纳，需要通过练习证实自己的这节课的收获。
中考链接
（2018?枣庄）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac-b2＜0；其中正确的结论有（ ）
/
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
把新知链接中考真题，通过每节课的真题练习，提高学生对中考题目的解答能力。
板书
/
课件21张PPT。第21章 二次函数的图象和性质21.2.5y=ax2+bx+c导入向上向下(-h ,k)(-h ,k)x=-hx=-h当x<-h时，y随着x的增大而减小；当x>-h时，y随着x的增大而增大. 当x<-h时,y随着x的增大而增大；当x>-h时，
y随着x的增大而减小. x=-h时,y最小=kx=-h时,y最大=k抛物线y=a(x+h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.思考：讨论y=-2(x+2)2-4函数的图象和性质复习一、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质探究归纳我们已经知道y=a(x+h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？问题1 怎样将 化成y=a(x+h)2+k的形式？新课讲授配方可得问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？平移方法1：
先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的；
平移方法2：
先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的.问题4 如何用描点法画二次函数 的图象？解: 先利用图形的对称性列表7.553.533.557.5然后描点画图，得到图象如右图.O问题5 结合二次函数 的图象，说出其性质.x=6当x<6时，y随x的增大而减小；
当x>6时，y随x的增大而增大.试一试
你能用上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗？O二、将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x+h)2+k我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x+h)2+k？y=ax2+bx+c 归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x+h)2+k的形式，即因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
对称轴是：直线归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(1)(2)如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大.如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1
C．b≥1 D．b≤1解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D .D典例精析课堂小结顶点：对称轴：y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)配方法公式法
(顶点式)拓展延伸二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，那么（ ） A1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：课堂练习A.y轴 B.直线x=
C. 直线x=2 D.直线x= 则该二次函数图象的对称轴为( )D2.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：直线x=3直线x=8直线x=1.25直线x= 0.53.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（ ）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④xyO2x=-1B4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0；
（4）当y=–2时，x的值只能取0；
其中正确的是_______.直线x=1（2）中考链接（2018?枣庄）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac-b2＜0；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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