北师大版数学九年级上2.5 一元二次方程的根与系数的关系教学设计
课题
2.5 一元二次方程的根与系数的关系
单元
第二章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用；
过程与方法：通过的探究根与系数的关系，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；
情感态度与价值观：根与系数的关系及其推导．
重点
正确理解根与系数的关系.
难点
正确理解根与系数的关系.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，我们通过这些天的学习，掌握了求解一元二次方程的方法，下面请回答：
问题1、我们都学习过用哪些方法求解一元二次方程？
答案：配方法，公式法，因式分解法
问题2、用适当的方法解下列一元二次方程.
（1）x2-2x+1=0；（2）x2-2
3
x-1=0；（3）2x2-3x+1=0.
解:(1)原方程可化为
(x-1)2=0,
所以x1=x2=1
(2)配方得，x2-2
3
x+(
3
)2-(
3
)2-1=0
(x-
3
)2-4=0
移项得(x-
3
)2=4
两边开平方得x-
3
=±2
即x-
3
=2，或x-
3
=-2
所以x1=
3
+2，x2=
3
-2
(3)(2x-1)(x-1)=0,
x-1=0,或2x-1=0,
所以x1=1,x2=
1
2
学生积极回答老师的问题，并独立完成解方程.
通过回答问题及解方程，为探究一元二次方程根与系数的关系做好铺垫.
新知讲解
思考：下面每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？
（1）x2-2x+1=0；（2）x2-2
3
x-1=0；（3）2x2-3x+1=0.
(1)x1=x2=1;(2)x1=
3
+2,x2=
3
-2;(3)x1=1,x2=
1
2
.
我的发现:对于形如ax2+bx+c=0（a≠0）来说，x1+x2=-
??
??
，x1x2=
??
??
追问：对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？
论证：我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），
当b2-4ac≥0时，它的根是：
x1＝
???+
??
2
?4????
2??
，x2=
????
??
2
?4????
2??
．
于是，两根之和为：
x1+x2=
???+
??
2
?4????
2??
+
????
??
2
?4????
2??
=?
??
??
于是，两根之积为：
x1·x2=
???+
??
2
?4????
2??
·
????
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2
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2??
=
（???）
2
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2
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2
4
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2
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2
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2
+4????
4
??
2
=
??
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归纳：一元二次方程根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1,x2，那么x1+x2=-
??
??
，x1x2=
??
??
例：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
（1）x2+7x+6=0；（2）2x2-3x-2=0.
解：（1）这里a=1，b=7，c=6．
Δ=b2-4ac=72-4×1×6=49-24=25>0，
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是x1，x2，那么
x1+x2=-7，x1·x2=6．
（2）这里a=2，b=-3，c=-2．
Δ=b2-4ac=（-3）2-4×2×（-2）=9+16=25>0，
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是x1，x2，那么
x1+x2=
3
2
，x1·x2=-1．
练习：已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值．
解：设方程的两根为x1和x2，
∵x1＋x2＝6，x1＝2，∴x2＝4.
又∵x1x2＝
??
??
=p2－2p＋5＝2×4＝8，
∴p2－2p－3＝0，
解得p＝3或p＝－1.
指出：已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根．也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值．
学生先思考问题.然后探究根与系数的关系，并猜想结论.
学生主动进行推理证明.
师生共同归纳.
学生应用根与系数的关系完成例题与练习题，并主动交流，认真听老师的讲评
探索一元二次方程中根与系数的关系
证明根与系数的关系式.
归纳一元二次方程根与系数的关系.
提高学生应用根与系数的关系解决问题的能力.
课堂练习
1.利用根与系数的关系，求方程x2-3x-1=0的两根之和、两根之积.
解：这里a=1，b=-3，c=-1．
Δ=b2-4ac=（-3）2-4×1×（-1）=9+4=13>0，
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是x1，x2，那么
x1+x2=3，x1·x2=-1．
2.已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为( )
A．4，－2 B．－4，－2 C．4，2 D．－4，2
答案：D
3.等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为( )
A．9 B．10 C．9或10 D．8或10
答案：B
4.小明、小华、小亮分别求出了方程9x2+6x-1=0的根．
小明：x1=x2=-
1
3
；
小华：x1=-3+3
2
，x2=-3-3
2
；
小亮：x1=
?1+
2
3
，x2
?1?
2
3
．
谁的答案正确？说说你的判断方法．
解：小亮正确，对于方程来说方程的两个实数根是x1，x2，
那么x1+x2=-
2
3
，x1·x2=-
1
9
．
只有小亮的两个解符合要求.
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
若α、β是一元二次方程x2+2x-6=0的两根，则
1
??
+
1
??
的值是（ ）
A．?
1
3
B．
1
3
C．-3 D．3
解：∵α、β是一元二次方程x2+2x-6=0的两根，
∴α+β=-2，αβ=-6，
则
1
??
+
1
??
=
α+β
αβ
=
?2
?6
=
1
3
.
故选：B.
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
中考链接
下面让我们一起赏析一道中考题：
（2019?天门）若方程x2-2x-4=0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ）
A．12 B．10 C．4 D．-4
解：∵方程x2-2x-4=0的两个实数根为α，β，
∴α+β=2，αβ=-4，
∴α2+β2=（α+β）2-2αβ=4+8=12.
故选：A
在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题运用.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
想一想：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数什么关系？
答案：如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1,x2，
那么x1+x2=-
??
??
，x1x2=
??
??
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第51页习题2.8第1、2题
能力作业
教材第51页习题2.8第3、4题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
/
课件20张PPT。一元二次方程的根与系数的关系数学北师大版 九年级上新知导入1、我们都学习过用哪些方法求解一元二次方程？配方法公式法因式分解法新知导入2、用适当的方法解下列一元二次方程.?解:(1)原方程可化为
(x-1)2=0,
所以x1=x2=1??新知讲解?思考：每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？??我的发现: 对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？新知讲解我们知道，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0），
当 b2 - 4ac≥0 时，它的根是：?于是，两根之和为：?于是，两根之积为：?新知讲解一元二次方程根与系数的关系?新知讲解例：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）x2 + 7 x + 6 = 0； （2）2x2 -3x -2 = 0. 解：（1）这里 a = 1，b = 7，c = 6．
Δ = b2 - 4ac = 72 - 4 × 1 × 6 = 49 - 24 = 25 > 0，
∴ 方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是 x1 ，x2 ，那么
x1 + x2 = -7， x1 · x2 = 6．新知讲解例：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）x2 + 7 x + 6 = 0； （2）2x2 -3x -2 = 0. ?新知讲解练习：已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值．? 已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根．也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值．课堂练习1.利用根与系数的关系，求方程x2 - 3 x - 1 = 0的两根之和、两根之积.?课堂练习2.已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为( )
A．4，－2 B．－4，－2
C．4，2 D．－4，2D课堂练习3.等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为( )
A．9 B．10
C．9或10 D．8或10B课堂练习??拓展提高??B中考链接（2019?天门）若方程x2-2x-4=0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ）
A．12 B．10 C．4 D．-4解：∵方程2-2x-4=0的两个实数根为α，β，
∴α+β=2，αβ=-4，
∴ α2+β2 =（α+β）2-2αβ=4+8=12.A课堂总结想一想：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数什么关系？?板书设计
课题：2.5 一元二次方程根与系数关系
教师板演区
学生展示区根与系数的关系：基础作业
教材第51页习题2.8第1、2题
能力作业
教材第51页习题2.8第3、4题作业布置
