北师大版数学九年级上 2.6 应用一元二次方程（1） 教学设计
课题
2.6 应用一元二次方程（1）
单元
第二章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：根据问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型，加强学生对数学建模的基本方法的掌握；
过程与方法：经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述；
情感态度与价值观：通过用一元二次解决实际问题，体会数学知识应用的价值，激发学生学习数学的兴趣，体会做数学的快乐，培养用数学的意识．
重点
列一元二次方程解实际问题．
难点
发现问题中的等量关系．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，这些天我们学习了一元二次方程的相关知识，下面请回答：
问题：还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？
如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
/
提示：如果设梯子底端滑动xm，那么你能列出怎样的方程？
解：(x+6)2+72=102
（舍）
（1）在这个问题中，梯子顶端下滑1m时，梯子底端滑动的距离大于1m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？
解：设梯子顶端下滑x米时，顶端滑动距离与梯子底端滑动的距离相等.
梯子底端原来离墙的距离：
(8-x)2+(6+x)2=102
化简得：2x2-4x=0即：2x(x-2)=0
则：2x=0或x-2=0
x1=0(不合题意舍去）,x2=2
答：梯子顶端下滑2米时，梯子底端滑动的距离和它相等.
（2）如果梯子的长度是13m，梯子顶端与地面的垂直距离为12m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？
解：设梯子顶端下滑x米时，顶端滑动距离与梯子底端滑动的距离相等.
梯子底端原来离墙的距离：
(12-x)2+(5+x)2=132
化简得：2x2-14x=0即2x(x-7)=0
则:2x=0或x-7=0
解得：x1=0(不合题意舍去）,x2=7
答：梯子顶端下滑7米时，梯子底端滑动的距离和它相等.
追问：可否利用一元二次方程解决其他实际问题呢？
学生积极回答老师的问题，并根据分析完成下面的两个问题.
通过回答问题，体会一元二次方程在实际问题中的应用.
新知讲解
例1：如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200 n mile处有一重要目标B，在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C．小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点．一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1 n mile）
/
解：连接DF．
∵AD=CD，BF=CF，
∴DF是△ABC的中位线.
∴DF∥AB，且DF=
1
2
AB．
∵AB⊥BC，AB=BC=200 n mile，
∴DF⊥BC，DF=100 n mile，BF=100 n mile．
设相遇时补给船航行了x n mile，那么
DE=x n mile，AB+BE=2x n mile，
EF=AB+BF-（AB+BE）=（300-2x）n mile．
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
x2=1002+（300-2x）2，
整理，得
3x2-1200x+100000=0．
解这个方程，得
x1=200-
100
6
3
≈118.4，
x2=200+
100
6
3
（不合题意，舍去）．
所以，相遇时补给船大约航行了118.4 n mile．
追问：你能说一说利用一元二次方程解题的步骤是什么呢？
归纳：列一元二次方程解应用题的一般步骤
（1）审题：读懂题目,审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的关系;
（2）设元：就是设未知数,根据题意,选择适当的未知量,并用字母（x)表示出来,设元又分直接设元和间接设元;
（3）列方程：根据题目中给出的等量关系,列出符合题意的一元二次方程;
（4）解方程：求出所列方程的解;
（5）验根：检验未知数的值是否符合题意;
（6）写出答案.
练习：《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？
/
解：设经x秒二人在B处相遇，
这时乙共行AB=3x，甲共行AC+BC=7x，
∵AC=10，
∴BC=7x?10，
又∵∠A=90°，
∴BC2=AC2+AB2，
∴(7x?10)2=102+(3x)2，
∴x=0(舍去)或x=3.5，
∴AB=3x=10.5，
AC+BC=7x=24.5，
答：甲走了24.5步，乙走了10.5步.
学生先思考问题，找出题中的相等关系，然后班内讨论，并完成解答过程后听老师的讲评.
师生共同归纳.
学生独立完成后，班内交流.
探索一元二次方程在实际问题中的应用.
归纳应用一元二次方程解决实际问题的一般步骤.
提高学生应用一元二次方程解决实际问题的能力.
课堂练习
1．如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为( )
/
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
答案：A
2．在一块长为35m，宽为26m的矩形绿地上有宽度相同的两条路，如图所示，其中绿地面积为850m2，求小路的宽．
/
解：设小路的宽为xm，则
(26－x)(35－x)＝850，
x2－61x＋60＝0，
解得：x1＝1，x2＝60(舍去)．
答：小路的宽为1m.
3．如图是由三个边长分别为6，9和x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是( )
/
A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6
答案：D
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3600元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是________________________.
分析：原售价×（1-降低率）2=降低后的售价得出两次降价后的价格
解：两次降价后的售价为3600（1-x）2=2500.
答案：3600（1-x）2=2500
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
中考链接
下面让我们一起赏析一道中考题：
（2019?日照）某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ）
A．1000（1+x）2=3990
B．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2=3990
C．1000（1+2x）=3990
D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）=3990
答案：B
在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题运用.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
想一想：列一元二次方程解应用题的一般步骤?
答案：（1）审题；
（2）设元；
（3）列方程；
（4）解方程；
（5）验根；
（6）写出答案.
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第53页习题2.9第1题、第2题
能力作业
教材第53页习题2.9第3题、第4题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
/
课件20张PPT。应用一元二次方程（1）数学北师大版 九年级上新知导入还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？如图,一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑 1m，那么梯子的底端滑动多少米？( x + 6)2+ 72= 102如果设梯子底端滑动 x m，那么你能列出怎样的方程？（舍）新知导入（1）在这个问题中，梯子顶端下滑 1m时，梯子底端滑动的距离大于1m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？解：设梯子顶端下滑x米时，顶端滑动距离与梯子底端滑动的距离相等.
梯子底端原来离墙的距离：
(8-x)2+(6+x)2=102
化简得：2x2-4x=0 即：2x(x-2)=0
则：2x=0或x-2=0
x1=0(不合题意舍去）,x2=2
答：梯子顶端下滑2米时，梯子底端滑动的距离和它相等.新知导入（2）如果梯子的长度是 13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？解：设梯子顶端下滑x米时，顶端滑动距离与梯子底端滑动的距离相等.
梯子底端原来离墙的距离：
(12-x)2+(5+x)2=132
化简得：2x2-14x=0 即 2x(x-7)=0
则:2x=0或x-7=0
解得：x1=0(不合题意舍去）,x2=7
答：梯子顶端下滑7米时，梯子底端滑动的距离和它相等. 可否利用一元二次方程解决其他实际问题呢？新知讲解例1： 如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 n mile 处有一重要目标 B，在 B 的正东方向 200 n mile 处有一重要目标 C．小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F 位于 BC 的中点．一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线
航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度
是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给
船相遇于 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海
里？（结果精确到 0.1 n mile ）新知讲解?新知讲解? 你能说一说利用一元二次方程解题的步骤是什么呢？新知讲解列一元二次方程解应用题的一般步骤
（1）审题：读懂题目,审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的关系;
（2）设元：就是设未知数,根据题意,选择适当的未知量 ,并用字母（x )表示出来,设元又分直接设元和间接设元 ;
（3）列方程：根据题目中给出的等量关系,列出符合题意的一元二次方程 ;
（4）解方程：求出所列方程的解 ;
（5）验根：检验未知数的值是否符合题意 ;
（6）写出答案.练习：《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3．乙一直向东走，甲先向南走 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？新知讲解解：设经x秒二人在B 处相遇，
这时乙共行AB=3x，甲共行AC+BC=7x，
∵AC=10，
∴BC=7x?10，
又∵∠A=90°，
∴BC2=AC2+AB2，练习：《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3．乙一直向东走，甲先向南走 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？新知讲解∴(7x?10)2=102+(3x)2，
∴x=0(舍去)或x=3.5，
∴AB=3x=10.5，
AC+BC=7x=24.5，
答：甲走了24.5步，乙走了10.5步.课堂练习1．如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为( )
A．1米
B．1.5米
C．2米
D．2.5米A课堂练习2．在一块长为35 m，宽为26 m的矩形绿地上有宽度相同的两条路，如图所示，其中绿地面积为850 m2，求小路的宽．解：设小路的宽为x m，根据题意可列方程
(26－x)(35－x)＝850，
即：x2－61x＋60＝0，
解得：x1＝1，x2＝60(舍去)．
答：小路的宽为1 m.课堂练习3．如图是由三个边长分别为6，9和x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是( )
A．1或9
B．3或5
C．4或6
D．3或6D拓展提高某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3600元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是________________________.原售价×（1-降低率）2=降低后的售价得出两次降价后的价格
解：两次降价后的售价为3600（1-x）2=2500. 3600（1-x）2=2500（2019?日照）某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ）
A．1000（1+x）2=3990
B．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2=3990
C．1000（1+2x）=3990
D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）=3990中考链接B课堂总结列一元二次方程解应用题的一般步骤?（1）审题； （2）设元；
（3）列方程； （4）解方程；
（5）验根； （6）写出答案.板书设计
课题：2.6 应用一元二次方程（1）
教师板演区
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能力作业
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