陕西省汉中市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试卷 Word版含解析

汉中市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试卷
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|2﹣x＞0}则A∩B＝（　　）
A. [﹣3，2） B. （2，3] C. [﹣1，2） D. （﹣1，2）
2.复数在复平面内对应的点在（ ）
A. 实轴上 B. 虚轴上 C. 第一象限 D. 第二象限
3.已知，，，若,则（ ）
A. 2 B. C. D. 5
4.若角是第四象限角，满足，则（ ）
A. B. C. D.
5.设实数，则下列不等式一定正确的是( )
A. B.
C. D.
6.已知两个不同的平面，和两条不同的直线，满足，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）
A. 关于直线对称 B. 关于直线对称
C. 关于点对称 D. 关于点对称
8.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）
A. B. C. D.
9.已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
10.甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ）
A. B. C. D.
11.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2
C. D.
12.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A. 2019 B. 1 C. 0 D. -1
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.抛物线上的点到其焦点的距离为______.
14.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，则______.
15.若函数的最小值为，则实数的取值范围为______.
16.一个直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为________
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.如图，在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18.已知数列满足，.
（Ⅰ）证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.
19.第18届国际篮联篮球世界杯将于2019年8月31日至9月15日在中国北京、广州等八座城市举行.届时，甲、乙、丙、丁四名篮球世界杯志愿者将随机分到、、三个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.
（1）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（2）设随机变量为这四名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列及数学期望.
20.已知函数，.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，若函数在上有两个不同的零点，求的取值范围.
21.已知椭圆：的上顶点为，右顶点为，直线与圆相切于点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率存在的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程.
（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选—题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系中，倾斜角为的直线经过坐标原点，曲线的参数方程为（为参数）.以点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求与的极坐标方程；
（2）设与的交点为、，与的交点为、，且，求值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）当不等式的解集为时，求实数的取值范围.
答案与解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|2﹣x＞0}则A∩B＝（　　）
A. [﹣3，2） B. （2，3] C. [﹣1，2） D. （﹣1，2）
【答案】C
【解析】
【分析】
求得集合，根据集合的交集运算，即可求解．
【详解】由题意，集合，
所以．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2.复数在复平面内对应的点在（ ）
A. 实轴上 B. 虚轴上 C. 第一象限 D. 第二象限
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，即可得出复数在复平面内对应的点的位置。
【详解】，对应的点的坐标为，所对应的点在虚轴上，故选：B。
【点睛】本题考查复数对应的点，考查复数的乘法法则，关于复数问题，一般要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行解答，考查计算能力，属于基础题。
3.已知，，，若,则（ ）
A. 2 B. C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出的坐标，再利用共线向量的坐标关系式可求的值.
【详解】，因，
故，故.故选A.
【点睛】如果，那么：（1）若，则；（2）若，则；
4.若角是第四象限角，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用任意角同角三角函数的基本关系，求得的值．
【详解】解：∴角满足，平方可得 1+sin2，∴sin2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
5.设实数，则下列不等式一定正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对4个选项分别进行判断，即可得出结论．
【详解】解：由于a＞b＞0，，A错；
当0＜c＜1时，ca＜cb；当c＝1时，ca＝cb；当c＞1时，ca＞cb，故ca＞cb不一定正确，B错；
a＞b＞0，c＞0，故ac﹣bc＞0，C错．
，D对；
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
6.已知两个不同的平面，和两条不同的直线，满足，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
分别判断充分性和必要性得到答案.
【详解】如图所示：
既不充分也不必要条件.
故答案选D
【点睛】本题考查了充分必要条件，举出反例可以简化运算.
7.函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）
A. 关于直线对称 B. 关于直线对称
C. 关于点对称 D. 关于点对称
【答案】B
【解析】
【分析】
求出函数的解析式，然后判断对称中心或对称轴即可．
【详解】函数f（x）＝2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，可得ω＝4，
函数f（x）＝2sin（4x）．
由4xkπ+，可得x，k∈Z．
当k＝0时，函数的对称轴为：x．
故选：B．
【点睛】本题考查三角函数的性质的应用，周期的求法，考查计算能力，是基础题
8.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.
【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．
【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．
9.已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数奇偶性和单调性可得，距离y轴近的点，对应的函数值较小，可得选项.
【详解】因为函数满足，且函数在上是减函数，所以可知距离y轴近的点，对应的函数值较小；，且，所以，故选B.
【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.
10.甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型计算公式求解其概率值即可.
【详解】由题意可得：，
设被污损的数字为x，则：，
满足题意时，，即：，
即x可能的取值为,
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值：.
故选：C.
【点睛】本题主要考查茎叶图的识别与阅读，平均数的计算方法，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合点到直线距离公式整理计算可得双曲线的离心率.
【详解】设圆心到直线的距离为，由弦长公式可得：，解得：，
双曲线的渐近线方程为：，圆心坐标为，
故：，即：，双曲线的离心率.
故选：B.
【点睛】本题主要考查圆的弦长公式，点到直线距离公式，双曲线离心率的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A. 2019 B. 1 C. 0 D. -1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意推导出函数的对称性和周期性，可得出该函数的周期为，于是得出
可得出答案。
【详解】函数是上的奇函数，则，
，所以，函数的周期为，
且，，，
，，
，
，故选：C。
【点睛】本题考查抽象函数求值问题，求值要结合题中的基本性质和相应的等式进行推导出其他性质，对于自变量较大的函数值的求解，需要利用函数的周期性进行求解，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题。
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.抛物线上的点到其焦点的距离为______.
【答案】5
【解析】
【分析】
先计算抛物线的准线，再计算点到准线的距离.
【详解】抛物线，准线为：
点到其焦点的距离为点到准线的距离为5
故答案为5
【点睛】本题考查了抛物线的性质，意在考查学生对于抛物线的理解.
14.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】
直接利用余弦定理得到答案.
【详解】，，
（舍去）
故答案：2
【点睛】本题考查了余弦定理，意在考查学生的计算能力.
15.若函数的最小值为，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
分析函数的单调性，由题设条件得出，于此求出实数的取值范围。
【详解】当时，，此时，函数单调递减，则；
当时，，此时，函数单调递增。
由于函数的最小值为，则，得，解得.
因此，实数的取值范围是，故答案为：。
【点睛】本题考查分段函数的最值问题，求解时要分析函数的单调性，还要注意分界点处函数值的大小关系，找出一些关键的点进行分析，考查分析问题，属于中等题。
16.一个直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为________
【答案】
【解析】
【分析】
设此直三棱柱两底面的中心分别为，则球心为线段的中点，利用勾股定理求出球的半径，由此能求出球的表面积．
【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的球面上，
∴设此直三棱柱两底面的中心分别为，则球心为线段的中点，
设球的半径为，则
∴球的表面积 .
故答案为：．
【点睛】本题考查球的表面积的求法，空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、属于中档题．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.如图，在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由正方体的性质得出平面，再由直线与平面垂直的性质可证明出
；
（Ⅱ）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，计算出平面和平面的法向量，利用向量法求出这两个平面所成锐二面角的余弦值。
【详解】（Ⅰ）在正方体中，平面，平面，
∴；
（Ⅱ）如图，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，，
设为平面的一个法向量，
则，即，令，可得，
∵平面，∴为平面的一个法向量，
∴，
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查直线与直线垂直的证明，考查利用空间向量法计算二面角，解题的关键就是计算出两个平面的法向量，利用空间向量法来进行计算，考查计算能力与逻辑推理能力，属于中等题。
18.已知数列满足，.
（Ⅰ）证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用定义得证.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用分组求和法的到前项和.
【详解】解：（Ⅰ）由，可得，即，
又，∴，
∴数列是首项为3，公差为2的等差数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
∴，
∴
.
【点睛】本题考查了等差数列的证明，分组求和法求前项和，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用.
19.第18届国际篮联篮球世界杯将于2019年8月31日至9月15日在中国北京、广州等八座城市举行.届时，甲、乙、丙、丁四名篮球世界杯志愿者将随机分到、、三个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.
（1）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（2）设随机变量为这四名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列及数学期望.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
【分析】
（1）先记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，根据题意求出，再由，即可得出结果；
(2)根据题意，先确定可能取得的值，分别求出对应概率，即可得出分布列，从而可计算出期望.
【详解】解：（1）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，
那么.
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是.
（2）由题意，知随机变量可能取得的值为1，2.
则.
所以.
所以所求的分布列是
所以.
【点睛】本题主要考查古典概型以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记概念以及概率计算公式即可，属于常考题型.
20.已知函数，.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，若函数在上有两个不同的零点，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将代入函数解析式，求出该函数的定义域与导数，解不等式和并与定义域取交集可分别得出该函数的单调递减区间和递增区间；
（Ⅱ）求出函数的导数，分析函数在区间上的单调性，由题中条件得出，于此可解出实数的取值范围。
【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，
当时，，，
令，即，解得，
令，即，解得，
∴函数单调递减区间为，单调递增区间为；
（Ⅱ），
，
由得，，
当时，，当时，，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∵，，
∴函数在上有两个不同的零点，只需，解得，∴的取值范围为.
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，利用导数研究函数的零点个数问题，解题时常用导数研究函数的单调性、极值与最值，将零点个数转化为函数极值与最值的符号问题，若函数中含有单参数问题，可利用参变量分离思想求解，考查化归与转化思想，属于中等题。
21.已知椭圆：的上顶点为，右顶点为，直线与圆相切于点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率存在的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题中条件得知可求出直线的斜率，结合点在直线上，利用点斜式可写出直线的方程，于是可得出点、的坐标，进而求出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）可知直线的斜率不为零，由椭圆定义得出，设该直线方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，并列出韦达定理，利用弦长公式以及，并结合韦达定理可求出的值，于此可得出直线的方程。
【详解】（Ⅰ）∵直线与圆相切于点，∴，
∴直线方程为，
∴，，即，，
∴椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）易知直线的斜率不为零，
设直线的方程为，代入椭圆的方程中，
得：，
由椭圆定义知，
又，从而，
设，，则，.
∴，
代入并整理得，∴.
故直线的方程为或.
【点睛】本题考查椭圆方程的求解、直线与圆的位置关系，考查直线与椭圆中弦长的计算，解决这类问题的常规方法就是将直线与圆锥曲线方程联立，结合韦达定理与弦长公式计算，难点在于计算，属于中等题。
（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选—题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系中，倾斜角为的直线经过坐标原点，曲线的参数方程为（为参数）.以点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求与的极坐标方程；
（2）设与的交点为、，与的交点为、，且，求值.
【答案】（1）的极坐标方程为.的极坐标方程为.（2）
【解析】
【分析】
（1）倾斜角为的直线经过坐标原点，可以直接写出；
利用，把曲线的参数方程化为普通方程，然后再利用
，把普通方程化成极坐标方程；
（2）设，，则，，已知，所以有
，运用二角差的正弦公式，可以得到，根据倾斜角的范围，可以求出值.
【详解】解：（1）因为经过坐标原点，倾斜角为，故的极坐标方程为.
的普通方程为，可得的极坐标方程为.
（2）设，，则，.
所以 .
由题设，因为，所以.
【点睛】本题考查了已知曲线的参数方程化成极坐标方程.重点考查了极坐标下求两点的距离.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）当不等式的解集为时，求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 或
【解析】
分析】
(Ⅰ)根据的范围得到分段函数的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；(Ⅱ)由绝对值三角不等式得到的最小值，则最小值大于，得到不等式，解不等式求得结果.
【详解】(Ⅰ)时，
当时，，即
当时，，即
当时，，无解
综上，的解集为
(Ⅱ)
当，即时, 时等号成立；当，即时, 时等号成立
所以的最小值为
即
或
【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型.