1.1 任意角和弧度制（任意角）学案

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学案 任意角

【知识要点】
1．定义
角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
角的表示方法：
①常用大写字母A，B，C等表示；②也可以用希腊字母α、β、γ等表示；
3.角的分类：
按旋转方向可将角分为如下三类：
类型 定义
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
4.象限角与轴线角
在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
象限角：终边在第几象限就是第几象限角；
轴线角：终边落在坐标轴上的角．
5．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．



类型一　任意角概念的辨析
【例1】在下列说法中：
①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；
③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．
其中错误说法的序号为________(错误说法的序号都写上)．



变式训练
1.　A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限角}，则A∩B＝(　　)
A．{锐角} B．{小于90°的角} C．{第一象限角} D．以上都不对



类型二　象限角的判定
【例2】
1.给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°是第一象限角，其中真命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


2.　在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.



类型三 终边相同的角
【例3】　已知角α＝2 010°
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.



【例题改编】
若将例题中“角α＝2 010°”，改为“α＝－315°”，其他条件不变，结果如何？



【变式训练】
1.在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角．



2.写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式
－720°≤β<360°的元素β写出来．



3．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.



类型四　区域角的表示
【例4】如图，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是(　　)

A．{α|k·360°＋30°<αB．{α|k·180°＋150°<αC．{α|k·360°＋150°<αD．{α|k·360°＋30°<α
　?


类型五 判断角所在的象限

【例5】若α是第二象限角，试确定2α、、是第几象限角．



答案解析

例 1：答案　①②④
规律方法　
1.判断说法错误，只需举一个反例即可．解决本题关键在于正确理解各种角的定义．随着角的概念的推广，对角的认识不能再停留在初中阶段，否则判断容易错误．
2.正确理解正角、负角和零角的概念，由定义可知，关键是看终边的旋转方向是逆时针、顺时针还是没有转动，要正确理解象限角的概念．
变式训练：答案　D
例2：1.答案　D
2.解　(1)第三象限角．(2)第四象限角．(3)第二象限角．
规律方法　本题要求在0°～360°范围内，找出与已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础．
例3：
规律方法：
1．把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)也可用除法．
2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
例4 ：规律方法
1．先在－360°～360°范围内确定区域角起止边界处角，再把端点处加上360°的整数倍即得．
2．区域角的表示问题，遵循先从特殊再到一般的规律写出，即先选择一个合适的角度为360°区间，写出落在阴影部分的角的集合，然后再在端点处加上周角的整数倍表示终边落在阴影区域内的角的集合．注意结果尽量表示为一个连续区间．
例5：规律方法
求已知α是第几象限的角，如何确定所在象限的角的常用方法：
（1）分类讨论法，先根据α的范围用整数k把的范围表示出来，再对k分n种情况讨论；?
（2）几何法：把各象限均先n等分，再从x轴的正方向的上方起，依次将各区域标上①、②、③、④，则α原来是第几象限对应的标号即为的终边所在的区域。?
【具体步骤】?①画出区域：将坐标系每个象限二等分，得8个区域．
? ②标号：自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，如图所示，
????
?③确定区域：找出与角α所在象限标号一致的区域，即为所求．
?(3)由α所在象限，确定所在象限:
?①画出区域：将坐标系每个象限三等分，得到12个区域．
?②标号：自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，如图所示，
?
③确定区域：找出与角α所在象限标号一致的区域，即为所求.










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