1.1 任意角和弧度制（弧度制）学案

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学案 弧度制
【学习目标】
1.理解弧度制的意义；
2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；
3.记住公式（为以.作为圆心角时所对圆弧的长，为圆半径）；
4.熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
角度与弧度的换算
rad 1=
一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：

角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
弧度


类型一 弧度制及弧度角度换算
例1 .圆的半径为，圆弧长为、、的弧所对的圆心角分别为多少？

变式1.下列命题中，正确的是( )
A． 1弧度是1度的圆心角所对的弧 B． 1弧度是长度为半径长的弧
C． 1弧度是1度的弧与1度的角之和 D． 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角



例2.把下列各角从度化为弧度：
(1) （2）—150? (3)



例3.把下列各角从弧度化为度：
（1） （2）— （3）


变式3. 把下列各角用另一种度量制表示出来：；；；.



类型二 弧度公式

例4. 若扇形的周长为8，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（　　）
变式4. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（　　）



变式5.一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？



变式6.已知扇形AOB的周长为8．
（1）若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB．




答案
变式1. D
例2. （1） （2） （3）
例3.
变式3.【答案】；；；
例4.【详解】设扇形的半径为，弧长为，则且，解得，所以该扇形的面积为．
变式4.【详解】解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1，故半径为，这个圆心角所对的弧长为，故选：C．
变式5. 设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝20，即l＝20－2r(0＜r＜10)①扇形的面积S＝lr，将①代入，得S＝(20－2r)r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25，所以当且仅当r＝5时，S有最大值25.此时
l＝20－2×5＝10，α＝＝2所以当α＝2 rad时，扇形的面积取最大值
变式6.解：设扇形的半径为r，中心角为θ，则2r+θr＝8．θ∈[0，2π]．
（1）由题意可得：S＝＝3，又2r+θr＝8．联立解得θ＝6或．
（2）S＝＝＝（4﹣r）r≤＝4，
当且仅当r＝2．θ＝2．∴AB＝2×2sin1＝4sin1．





























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