1.2 任意的三角函数 学案

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学案 任意角三角函数

【学习目标】
1、理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.?
2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.?
3.单位圆的概念. ?
4.有向线段的概念.?
5.用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值.?


【知识要点】
1、任意角三角函数定义
2、三角函数值在各象限的符号
3、终边相同的角的三角函数值(诱导公式一)
sin(α＋k·2π)＝____ (k∈Z) cos(α＋k·2π)＝____(k∈Z) tan(α＋k·2π)＝___(k∈Z)
对与角α终边相同的角的一般形式α＋k·360°的理解．
(1)k∈Z；(2)α是任意角；(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无穷多个，它们相差360°的整数倍．
误区：“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°＜α＜90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}．
4、三角函数线
三角函数 正弦 余弦 正切
三角函 数线 有向线段MP叫做角α的正弦线 有向线段OM叫做角α的余弦线 有向线段AT叫做角α的正切线


类型一、任意角三角函数的定义
已知角的终边上一点，且，则实数m的值为（　　）
变式1.已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈，求α的三角函数值．


变式2.已知角α的终边上一点P的坐标为（sin，cos），若则α的值为（　　）


类型二、三角函数值在各象限的符号
判断下列各式的符号：
(1)sin 340°cos 265°； (2)； （3）tan5+sin5



(4)设sinθ<0且tanθ>0,确定θ是第几象限的角。



（5）已知是第三象限的角，则的符号是____________号（填正或负）


例3.已知角α是第二象限角，确定2α，，的终边所在的位置．


变式3.已知角是第三象限角，且，则角的终边在 （ ）



类型三、画图
例4.作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线：
（1） （2） （3）



例5、比较大小








变式4.设＜α，比较a，b，c的大小；如果＜α＜，则a，b，c的大小关系又如何？（作图并有比较的过程）



类型四、求角的范围
例6 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sinα≥； (2)cosα≤－. （3）



变式5.求函数y=+lg（2cosx－1）的定义域．


当堂练习
1. 若三角形的两内角，满足sincos0，则此三角形必为……（ ）
A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上三种情况都可能
2．已知且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C． D．
3．若点P在角π的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标为__________
4．设角 终边上一点，则的值为(　　)

5.已知θ是第二象限角，P（x，2）为其终边上一点且cosθ＝x，则的值（　　）
A．5 B． C． D．
6在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧(如图)，点在其中一段上，角以为始边，为终边．若，则所在的圆弧是( )

B． C． D．
7 点所在的象限为( )
8（比较大小）设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则(　 　)





答案
例1.【详解】由已知得，，，且，
，两边同时平方得解得（舍去）或所以
变式1
变式2 由题意可得，因此在第四象限，所以α的值为
例2.（1）正 （2）负 （3）负 （4）sinθ<0且tanθ>0,确定θ是第三象限的角。
（5）【答案】负 为第三象限角 ，
；
例3.解析：（1）2是第三或四象限的角
(2)∵k·180°＋45°＜＜k·180°＋90°(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋45°＜＜n·360°＋90°；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋225°＜＜n·360°＋270°.∴是第一或第三象限的角．
(3)∵k·120°＋30°＜＜k·120°＋60°(k∈Z)，当k＝3n(n∈Z)时，n·360°＋30°＜＜n·360°＋60°；
当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋150°＜＜n·360°＋180°；当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋270°＜＜n·360°＋300°.∴是第一或第二或第四象限的角．
变式3【详解】由题意，角是第三象限角，所以，
则，当为偶数时，是第四象限角，当为奇数时，是第二象限角，
又由，即，所以是第四象限角
例4（1）：角的终边（如图）与单位圆的交点为P．作PM垂直于x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线AT，与的终边的反向延长线交于点T，则的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT．
（2）∵∈（，π），∴作出角的终边如图所示，交单位圆于点P，作PM⊥x轴于M，则有向线段MP=sin，有向线段OM=cos，设过A（1，0）垂直于x轴的直线交OP的反向延长线于T，则有向线段AT=tan，综上所述，图（1）中的有向线段MP、OM、AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线；

（3）∵–∈（–π，–），∴在第三象限内作出–角的终边如图所示，交单位圆于点P'，用类似（1）的方法作图，可得图（2）中的有向线段M'P'、OM'、A'T'分别为–角的正弦线、余弦线、正切线．
例5 （1） （2）cos
(3) (4)
变式4.解（1）当α∈（，）时，角α的三角函数线如右图1，
正弦弦MP，a＝MP（正），余弦线OM，b＝OM（正），正切线AT，c＝AT（正），
由图可知，|AT|＞r＝1，|OM|＜|PM|＜1，
所以，AT＞MP＞OM，即b＜a＜c．
（2）当α∈（，）时，角α的三角函数线如右图2，
正弦弦MP，a＝MP（正），余弦线OM，b＝OM（负），正切线AT，c＝AT（负），
由图可知，|AT|＞r＝1，|OM|＜|PM|＜1，再根据它们的符号知，c＜b＜a．

例6解析：(1)作直线y＝交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋π，k∈Z}．
作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋π≤α≤2kπ＋π，k∈Z}．



变式5.

当堂练习
1 B
2 【答案】D由于且，故为第二象限角，故，故D选项一定成立
3、
【详解】因为角 终边上一点为，
所以，
当时，，所以；
当时，，所以.
综上
5.解：∵θ是第二象限角，P（x，2）为其终边上一点，
∴|OP|＝，
则cosθ＝＝x，即x＝﹣1．
∴tanθ＝﹣2．
则＝＝．
故选：A．
6．【答案】C【详解】设点的坐标为，利用三角函数的定义可得，所以，，所以所在的圆弧是，故选：C.
7【详解】，作出单位圆如图所示．

设分别为.，，所以.因为，即，所以.故点在第四象限．故选：D
8、选C.b＝cos 55°＝sin 35°.作sin 33°，sin 35°，tan 35°的函数线，如图a＝NQ，b＝MP，c＝AT.∴AT＞MP＞NQ，即c＞b＞a.












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