高二数学人教A版选修4-5教案：1.1.1不等式的性质
文档属性
| 名称 | 高二数学人教A版选修4-5教案：1.1.1不等式的性质 |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 48.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-04 10:37:25 | ||
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文档简介
1.1.1不等式的性质
一、教学目标
1.理解实数大小与实数运算性质间的关系．
2.理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．
二、课时安排
1课时
三、教学重点
理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．
四、教学难点
理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．
五、教学过/程
/（一）导入新课
若1【解析】 ∵－4∴0≤|b|<4，
∴－4<－|b|≤0.
又1∴－3【答案】 (－3,3)
（二）讲授新/课
教材整理1 两实数的大小比较
a/>b?a－b 0；a＝b?a－b＝0；a教材整理2 不等式的基本性质
性质1
对称性
a>b?b性质2
传递性
如果a>b，b>c，那么
性质3
可加性[来源:学§科§网Z§X§X§K]
如果a>b，那么a＋c>b＋c[来源:学_科_网][来源:学科网]
推论
如果a>b，c>d，那么 >b＋d
性质4
可乘性
如/果a>b，c>0，那么 ；
如果a>b，c<0，那么
推论
如果a>b>0，c>d>0，那么
性质5
乘方性质
如果a>b>0，那么an bn(n∈N，n≥2)
性质6
开方性质
如果a>b>0，那么 (n∈N，n≥2)
（三）重难点精讲
题型一、比较大小
例1设A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且x>3，试比较A与B的大小．
【精彩点拨】 转化为考察“两者之差与0”的大小关系．
【自主解答】 A－B＝x3＋3－3x2－x
＝x2(x－3)－(x－3)＝(x－3)/(x＋1)(x－1)．
∵x>3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)>0，
∴x3＋3>3x2＋x.
故A>B.
规律总结：
1．本题的思维过程：直接判断(无法做到)考查差的符号(难以确定)考查积的符号考查积中各因式的符号．其中变形是关键，定号是目的．
2．在变形中，一般是变形变得越彻底越有利于下一步的判断．变形/的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．
[再练一题]
1．若例1中改为“A＝，B＝，其中x＞y＞0”，试比较A与B的大小．
【解】 因为A2－B2＝－＝＝＝，
且x＞y＞0，所以x－y＞0/，x＋y＞0，x2＞0，x2＋1＞1，
所以＞0.所以A2＞B2，又A＞0，B＞0，故有A＞B.
题型二、利用不等式的性质求范围
例2已知－≤α＜β≤，求，的范围/．
【精彩点拨】 由－≤α＜β≤可确定，的范围，进而确定，的范围．
【自主解答】 ∵－≤α＜β≤，
∴－≤＜，－＜≤，
∴－＜＜.
又－＜≤，∴－≤－＜，
∴－≤＜.
又∵α＜β，∴＜0，
∴－≤＜0，
即∈，∈.
规律总结：
1．本例中由，的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而应转化为同向不等式后作和求解．
2．求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要/方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础．
[再练一题]
2．已知－6【解】 ∵－6∴－3<－b<－2，∴－9则a－b的取值范围是(－9,6)．
又<<，
(1)当0≤a<8时，0≤<4；
(2)当－6由(1)(2)得－3<<4.
因此的取值范围是(－3,4)．
题型三、利用性质证明简单不等式
例3已知c>a>b>0，求证：>.
【精彩点拨】 →→
【自主解答】 ∵a>b，∴－a<－b.
又c>a>b>0，
∴0>0.
又∵a>b>0，∴>.
规律总结：
1．在证明本例时，连续用到不等式的三个性质，一是不等式的乘法性质：a>b，则－a<－b；二是不等式的加法性质：c>a>b>0，又－a<－b，则02．进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，并仔细分析要证明不等式的结构，灵活运用性质，对不等式进行变换．
[再练一题]
3．已知a＞b＞0，c＞d＞0，求证：＞.
【证明】 ∵a＞b＞0，c＞d＞0，
∴＞＞0， ①
＞＞0， ②
①＋②得＋＞＋＞0，
即＞＞0，∴＞.
题型四、不等式的基本性质
例4判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若a>b，则ac2>bc2；
(2)若>，则a>b；
(3)/若a>b，ab≠0，则<；
(4)若a>b，c>d，则ac>bd.
【精彩点拨】 主要是根据不等式的性质判定，其实质就是看是否满足性质所需要的条件．
【自主解答】 (1)错误．当c＝0时不成立．
(2)正确．∵c2≠0且c2>0，在>两边同乘以c2，
∴a>b.
(3)错误．a>b?<成立的条件是ab>0.
(4)错误．a>b，c>d?ac>bd，当a，b，c，d为正数时成立．
规律总结：
1．在利用不等式的性质判断命题真假时，关键是依据题设条件，正确恰当地选取使用不等式的性质．有时往往举反例，否定命题的结论．但要注意取值一定要遵循两个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
2．运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭空想象随意捏造性质．
[再练一题]
4．判断下列命题的真假．
(1)若a；
(2)若|a|>b，则a2>b2；
(3)若a>b>c，则a|c|>b|c|.
【解】 (1)∵a0，∴>0，
∴a·(2)∵|a|>b，取a＝1，b＝－3，但a2(3)/取a>b，c＝0，有a|c|＝b|c|＝0，∴(3)是假命题．
（四）归纳小结
/
（五）随堂检测
1．设a∈R，则下面式子正确的是( )
A．3a>2a
B．a2<2a
C.D.3－2a>1－2a
【答案】 D
2．已知m，n∈R，则＞成立的一个充要条件是( )
A．m＞0＞n
B．n＞m＞0
C．m＜n＜0
D.mn(m－n)＜0
【解析】 ∵＞?－＞0?＞0?mn(n－m)＞0?mn(m－n)＜0.
【答案】 D
3．已知a，b，c均为实数，下面四个命题中正确命题的个数是( )
①a＜b＜0?/a2＜b2；②＜c?a＜bc；
③ac2＞bc2?a＞b；④a＜b＜0?＜1.
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 ①不正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，
∴(－a)2＞(－b)2，即a2＞b2.
②不正确．∵＜c，若b＜0，则a＞bc.
③正确．∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴a＞b.
④正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，∴1＞＞0.
【答案】 C
六、板书设计
1.1.1不等式的性质
教材整理1 两实数的大小比较
教材整理2 不等式的基本性质
例1：
例2：
例3：
例4：
学生板演练习/
七、作业布置
同步练习：1.1.1不等式的性质
八、教学反思
一、教学目标
1.理解实数大小与实数运算性质间的关系．
2.理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．
二、课时安排
1课时
三、教学重点
理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．
四、教学难点
理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．
五、教学过/程
/（一）导入新课
若1
∴－4<－|b|≤0.
又1
（二）讲授新/课
教材整理1 两实数的大小比较
a/>b?a－b 0；a＝b?a－b＝0；a
性质1
对称性
a>b?b
传递性
如果a>b，b>c，那么
性质3
可加性[来源:学§科§网Z§X§X§K]
如果a>b，那么a＋c>b＋c[来源:学_科_网][来源:学科网]
推论
如果a>b，c>d，那么 >b＋d
性质4
可乘性
如/果a>b，c>0，那么 ；
如果a>b，c<0，那么
推论
如果a>b>0，c>d>0，那么
性质5
乘方性质
如果a>b>0，那么an bn(n∈N，n≥2)
性质6
开方性质
如果a>b>0，那么 (n∈N，n≥2)
（三）重难点精讲
题型一、比较大小
例1设A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且x>3，试比较A与B的大小．
【精彩点拨】 转化为考察“两者之差与0”的大小关系．
【自主解答】 A－B＝x3＋3－3x2－x
＝x2(x－3)－(x－3)＝(x－3)/(x＋1)(x－1)．
∵x>3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)>0，
∴x3＋3>3x2＋x.
故A>B.
规律总结：
1．本题的思维过程：直接判断(无法做到)考查差的符号(难以确定)考查积的符号考查积中各因式的符号．其中变形是关键，定号是目的．
2．在变形中，一般是变形变得越彻底越有利于下一步的判断．变形/的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．
[再练一题]
1．若例1中改为“A＝，B＝，其中x＞y＞0”，试比较A与B的大小．
【解】 因为A2－B2＝－＝＝＝，
且x＞y＞0，所以x－y＞0/，x＋y＞0，x2＞0，x2＋1＞1，
所以＞0.所以A2＞B2，又A＞0，B＞0，故有A＞B.
题型二、利用不等式的性质求范围
例2已知－≤α＜β≤，求，的范围/．
【精彩点拨】 由－≤α＜β≤可确定，的范围，进而确定，的范围．
【自主解答】 ∵－≤α＜β≤，
∴－≤＜，－＜≤，
∴－＜＜.
又－＜≤，∴－≤－＜，
∴－≤＜.
又∵α＜β，∴＜0，
∴－≤＜0，
即∈，∈.
规律总结：
1．本例中由，的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而应转化为同向不等式后作和求解．
2．求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要/方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础．
[再练一题]
2．已知－6
又<<，
(1)当0≤a<8时，0≤<4；
(2)当－6
因此的取值范围是(－3,4)．
题型三、利用性质证明简单不等式
例3已知c>a>b>0，求证：>.
【精彩点拨】 →→
【自主解答】 ∵a>b，∴－a<－b.
又c>a>b>0，
∴0
又∵a>b>0，∴>.
规律总结：
1．在证明本例时，连续用到不等式的三个性质，一是不等式的乘法性质：a>b，则－a<－b；二是不等式的加法性质：c>a>b>0，又－a<－b，则0
[再练一题]
3．已知a＞b＞0，c＞d＞0，求证：＞.
【证明】 ∵a＞b＞0，c＞d＞0，
∴＞＞0， ①
＞＞0， ②
①＋②得＋＞＋＞0，
即＞＞0，∴＞.
题型四、不等式的基本性质
例4判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若a>b，则ac2>bc2；
(2)若>，则a>b；
(3)/若a>b，ab≠0，则<；
(4)若a>b，c>d，则ac>bd.
【精彩点拨】 主要是根据不等式的性质判定，其实质就是看是否满足性质所需要的条件．
【自主解答】 (1)错误．当c＝0时不成立．
(2)正确．∵c2≠0且c2>0，在>两边同乘以c2，
∴a>b.
(3)错误．a>b?<成立的条件是ab>0.
(4)错误．a>b，c>d?ac>bd，当a，b，c，d为正数时成立．
规律总结：
1．在利用不等式的性质判断命题真假时，关键是依据题设条件，正确恰当地选取使用不等式的性质．有时往往举反例，否定命题的结论．但要注意取值一定要遵循两个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
2．运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭空想象随意捏造性质．
[再练一题]
4．判断下列命题的真假．
(1)若a
(2)若|a|>b，则a2>b2；
(3)若a>b>c，则a|c|>b|c|.
【解】 (1)∵a
∴a·
（四）归纳小结
/
（五）随堂检测
1．设a∈R，则下面式子正确的是( )
A．3a>2a
B．a2<2a
C.
【答案】 D
2．已知m，n∈R，则＞成立的一个充要条件是( )
A．m＞0＞n
B．n＞m＞0
C．m＜n＜0
D.mn(m－n)＜0
【解析】 ∵＞?－＞0?＞0?mn(n－m)＞0?mn(m－n)＜0.
【答案】 D
3．已知a，b，c均为实数，下面四个命题中正确命题的个数是( )
①a＜b＜0?/a2＜b2；②＜c?a＜bc；
③ac2＞bc2?a＞b；④a＜b＜0?＜1.
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 ①不正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，
∴(－a)2＞(－b)2，即a2＞b2.
②不正确．∵＜c，若b＜0，则a＞bc.
③正确．∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴a＞b.
④正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，∴1＞＞0.
【答案】 C
六、板书设计
1.1.1不等式的性质
教材整理1 两实数的大小比较
教材整理2 不等式的基本性质
例1：
例2：
例3：
例4：
学生板演练习/
七、作业布置
同步练习：1.1.1不等式的性质
八、教学反思