12.3 角的平分线的性质 同步练习（解析版）

初中数学人教版八年级上学期 第十二章 12.3 角的平分线的性质
一、基础巩固
1.过线段AB外一点C，用直尺和圆规作AB的垂线段CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ??）
A.?B.?C.?D.?
2.如图，已知AB∥CD，EF平分∠CEG，∠1=80°，则∠2的度数为 (??? )
A.?20°???????????????????????????????????????B.?40°???????????????????????????????????????C.?50°???????????????????????????????????????D.?60°
3.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且CD：BD=3：4.若BC=21，则点D到AB边的距离为(??? ) 21世纪教育网版权所有
A.?7??????????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????????C.?11??????????????????????????????????????????D.?14
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝________． 21cnjy.com
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ， AB于点M ， N；再分别以M ， N为圆心，以大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交BC于点D ， 若CD＝2，BD＝2.5，P为AB上一动点，则PD的最小值为________． 2·1·c·n·j·y
6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，则点D到AB的距离为________． 【版权所有：21教育】

7.尺规作图：作点A关于直线l的对称点A'.
已知：直线l和l外一点A.
求作：点A关于l的对称点A'.
作法：①在l上任取一点P，以点P为圆心，PA长为半径作孤，交l于点B；②以点B为圆心，AB长为半径作弧，交弧AB于点A'. 点A'就是所求作的对称点.2-1-c-n-j-y
由步骤①，得____________________
由步骤②，得____________________
将横线上的内容填写完整，并说明点A与A'关于直线l对称的理由____________________.
??????????
8.如图.在△ABC中，AD是角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.
求证：EB=FC.
9.如图AB=AC，BD=CD，DE⊥BA，点E为垂足，DF⊥AC，点F为垂足，求证：DE=DF．
二、强化提升
10.如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6cm，则ΔDBE的周长是（ ） 21*cnjy*com
A.?6cm????????????????????????????????????B.?7cm????????????????????????????????????C.?8cm????????????????????????????????????D.?9 cm
11.如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，∠ABD=52°，∠ABC=116°，∠ACB=α°，则∠BDC的度数为（?? ）

A.?α??????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.?90﹣α??????????????????????????????????D.?90﹣ α
12.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC=4BE，则S△ABC=8S△BDE其中正确的有（ ??）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
13.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；⑤S△ABD：S△ACD=AB：AC，其中正确的有（?? ）

A.?5个???????????????????????????????????????B.?4个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?2个
14.如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8.若S△ABC=28，则DE=________
15.如图，在∠AOB 的边 OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点， 若 MN=2，S△PMN=2，S△OMN=7．则△MON 的周长是________； 【来源：21cnj*y.co*m】

16.如图，DE∥BC，DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，求证：∠FDE=∠DEB。
17.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G，
求证：
（1）DF∥BC；
（2）FG＝FE．
三、真题演练
18.如图.在△ABC中，AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（??? ）
A.?40°???????????????????????????????????????B.?45°???????????????????????????????????????C.?50°???????????????????????????????????????D.?60°
19.如图，在 和 中， ，连接 交于点 ，连接 ．下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ 平分 ．其中符合题意的个数为（??? ）． 21教育网
A.?4???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?1
20.己知：∠AOB.

? 求作：∠A'O'B'，使得A'O'B'=∠AOB.
? 作法：
? ①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
? ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
? ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D'；
? ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB.
? 根据上面的作法，完成以下问题：
（1）使用直尺和圆规，作出∠A'O'B'? (请保留作图痕迹).
（2）完成下面证明∠A'O'B'=∠AOB的过程(注：括号里填写推理的依据).
? 证明：由作法可知O'C'=OC，O'D'=OD，D'C'=________?，
? ∴△C'O'D'≌△COD________
? ∴∠A'O'B'= ∠AOB.________
答案解析部分
一、基础巩固
1. B
解析：A、根据过直线外一点作已知直线的尺规作图可知此选项不符合题意；
B、无法证明CD是AB上的垂线，符合题意.
C、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是AB上的垂线段，不符合题意；
D、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是AB上的垂线段，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据过直线外一点作已知直线垂线的方法直接判断A；根据直径所对的圆周角是直角，据此判断C；根据相交两圆的公共弦的性质，可得CD⊥AB，据此判断D，从而求出答案.
2. C
解析：∵∠1=80°，∴∠CEG=100°，又∵ EF平分∠CEG， ∴∠CEF=50°，∵AB∥CD，故∠2=∠CEF=50°.故答案为：C【分析】先根据平角的定义和角平分线的定义求得∠CEF的大小，再由平行线的性质即可求出∠2的大小。
3. B
解析：∵CD：BD=3：4.
设CD=3x，则BD=4x，
∴BC=CD+BD=7x，
∵BC=21，
∴7x=21，
∴x=3，
∴CD=9，
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，
∴DE=CD=9，
∴点D到AB边的距离是9，
故答案为：B. 【分析】由题意易求得CD的长，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求得点D到AB边的距离=CD的长。21·cn·jy·com
4. 3
解析：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE＝1，
又∵直角△BDE中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
∴BC＝CD+BD＝1+2＝3．
故答案为：3．
【分析】由角平分线的性质可知CD=DE=1；∠B=30°，DE⊥AB，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，即DB=2DE=2，即可求得BC的长。【来源：21·世纪·教育·网】
5. 2
解析：由作法得AD平分∠BAC ，
∴点D到AB的距离等于DC＝2，
∴PD的最小值为2．
故答案为：2． 【分析】根据题目可知该作法是∠BAC的角平分线的作法，所以AD平分∠BAC。P是AB上的动点，只有当PD⊥AB时，PD的值最短，则题目转化为求D到AB的距离。根据角平分线的点到角两边距离相等这一性质可推出PD最小值就是CD的值。21*cnjy*com
6. 4
解析：∵BC=10cm，BD：DC=3:2，
∴BD=6cm，CD=4cm，
∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，
∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．
【分析】因为点D到AB的距离是点D到AB的垂线段的长度，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知CD与点D到AB的距离相等，结合已知可求得CD的长。【出处：21教育名师】
7. PA=PB ；AB=BA' ；根据线段相等，即可证明三角形全等，证明对称 21教育名师原创作品
【分析】根据尺规作图的步骤，写出内容即可，根据线段相等求得点的对称点。
8. 证明：∵AD平分角BAC? DE⊥AB,DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
?
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF.
【分析】根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等可得DE=DF， 利用HL判Rt△BDE≌Rt△CDF， 由全等三角形的对应边相等即可证明EB=FC.
9. 证明：在△ABD和△ACD中， ，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥BA，DF⊥AC，
∴DE=DF．
【分析】利用SSS证明△ABD≌△ACD，再根据全等三角形的性质，可证得∠BAD=∠CAD，然后根据角平分线的性质，可证得结论。
二、强化提升
10. A
解析：∵AD平分∠CAB，AC⊥BC于点C，DE⊥AB于E，∴CD=DE.
又∵AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE.
又∵AC=BC，
∴△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=6
故答案为：A 【分析】 由角平分线上的点到角两边的距离相等可得CD=DE，然后用HL定理可证
Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的对应边相等可得AC=AE，结合题意可得△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB可求解。
11. C
解析：如图，过C作CE⊥AB于E，CF⊥BD于F，CG⊥AD于G，
∵∠ABD=52°，∠ABC=116°，
∴∠DBC=∠CBE=64°，
∴BC平分∠DBE，
∴CE=CF，
又∵AC平分∠BAD，
∴CE=CG，
∴CF=CG，
又∵CG⊥AD，CF⊥DB，
∴CD平分∠BDG，
∵∠CBE是△ABC的外角，∠DBE是△ABD的外角，
∴∠ACB=∠CBE﹣∠CAB= （∠DBE﹣∠DAB）= ∠ADB，
∴∠ADB=2∠ACB=2α°，
∴∠BDG=180°﹣2α°，
∴∠BDC= ∠BDG=90°﹣α°，
故答案为：C．
【分析】过C作CE⊥AB于E，CF⊥BD于F，CG⊥AD于G，根据角平分线的判定可得到CD平分∠BDG，再根据三角形外角性质，即可得出∠BDC的度数.
12. B
解析：①∵ AD平分∠BAC ，DE⊥AB ， ∠C=90°， ∴DC=DE，∠DAE=∠DAC，∠C=∠DEA=90°， 在Rt△ADE和Rt△ADC中， ∵， ∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL）， ∴∠ADE=∠ADC，AE=AC， ∴ AD平分∠CDE ， 故①正确； ② ∵∠C=90°， ∴∠B+∠BAC=90°， ∵ DE⊥AB ， ∴∠DEB=90°， ∴∠B+∠BDE=90°， ∴∠BAC=∠BDE， 故②正确； ③无法证明DE平分∠ADB， 故③错误； ④由①知AE=AC， ∵AB=AE+BE=AC+BE，AC=4BE， ∴AB=5BE， ∴S△ADB=·AB·DE=·5BE·DE=5S△BDE ， S△ADC=·AC·DC=·4BE·DE=4S△BDE ， ∴S△ABC=S△ADB+S△ADC ， =5S△BDE+4S△BDE ， =9S△BDE.故④错误； 综上所述：正确的有①②. 故答案为：B. 【分析】①根据角平分线的性质定理可知 DC=DE，由全等三角形的判定HL得Rt△ADE≌Rt△ADC，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠ADC，即AD平分 ∠CDE ，从而可得①正确； ② 根据同角的余角相等即可得②正确； ③无法证明DE平分∠ADB， 故③错误； ④由①知AE=AC，结合题意可得AB=5BE，根据线段之间的关系以及三角形的面积公式即可得S△ABC=9S△BDE ， 故④错误；
13. A
解析：①正确，因为角平分线上的点到两边的距离相等知；
②正确，因为由HL可知△ADC≌△ADE，所以AC=AE，即AC+BE=AB；
③正确，因为∠BDE和∠BAC都与∠B互余，根据同角的补角相等，所以∠BDE=∠BAC；
④正确，因为由△ADC≌△ADE可知，∠ADC=∠ADE，所以AD平分∠CDE；
⑤正确，因为CD=ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△ABD：S△ACD=AB：AC．
所以正确的有五个，故答案为：A．
【分析】根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等可知①正确；根据HL可判定△ADC≌△ADE，由全等三角形的对应边相等可得AC=AE，进而可得AC+BE=AB； 故②正确；根据同角的余角相等可知③正确；由△ADC≌△ADE的对应角相等可得∠BDE=∠BAC； 故④正确；根据 S△ABD与S△ACD的边AB、AC 上的高相等可得S△ABD：S△ACD=AB：AC ；故⑤正确；由此作出判断即可.
14. 4
解析：∵ BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F ∴DE=DF ∵ S△ABC=S△ABD+S△ADC=28 ∴， 即 解之：DE=4 故答案为：4
【分析】利用角平分线的性质，易证DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ADC=28 ，建立关于DE的方程，解方程求出DE的长。
15. 11
解析：如图：作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP， ∵PM、PN分别平分∠AMN，∠BNM， ∴PF=PG=PE， ∵S△PMN=·MN·PF=2，MN=2， ∴PF=PG=PE=2， 由题易得： △GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP， ∴GM=GF，FN=NE，OG=OE， ∴S△OPG=S△OPE=×（2+2+7）=， 即S△OPG=·OG·PG=， ∴OG=， ∴C△MON=OM+ON+MN， =OM+ON+MF+FN， =OM+ON+MG+NE， =OG+OE， =2OG， =2×， =11. 故答案为：11.
【分析】作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，根据角平分线的性质定理得PF=PG=PE，再由三角形面积公式得PF=PG=PE=2，据条件易得：△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，由全等三角形性质得GM=GF，FN=NE，OG=OE，S△OPG=·OG·PG=得OG=， 由三角形周长和等量代换可得答案.
16. 证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC．
∵DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，
∴∠ADF= ∠ADE，∠ABE= ∠ABC，
∴∠ADF=∠ABE
∴DF∥BE，
∴∠FDE=∠DEB
【分析】根据直线平行的性质，得到∠ADE=∠ABC，由角的平分线定理，即可证明∠ADF=∠ABE，根据直线平行的判定定理得到DF∥BE，根据直线平行的性质作答即可。www.21-cn-jy.com
17. （1）证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAF．
在△ACF和△ADF中，
∵ ，
∴△ACF≌△ADF（SAS）．
∴∠ACF＝∠ADF．
∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，∠CAE+∠B＝90°，
∴∠ACF＝∠B，
∴∠ADF＝∠B．
∴DF∥BC．（2）证明：∵DF∥BC，BC⊥AC，
∴FG⊥AC．
∵FE⊥AB，
又AF平分∠CAB，
∴FG＝FE．
【分析】（1）根据题中条件利用“SAS”判定 △ACF≌△ADF ，由全等三角形对应角相等可得 ∠ACF＝∠ADF ，由同角的余角相等得 ∠ACF＝∠B ，从而可证 ∠ADF＝∠B ，最后根据同位角相等，两直线平行可证 DF∥BC . （2）结合（1）中结论，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证 FG＝FE .
三、真题演练
18. C
解析：由作法可知： CG⊥AB ∵AC=BC， ∴CG平分∠ACB，∠A=∠B=40° ∴∠ACB=180°-40°-40°=100° ∴∠BCG=∠ACB=×100°=50° 故答案为：C 【分析】利用等腰三角形的性质和作图可知CG⊥AB，CG平分∠ACB，∠A=∠B，再利用三角形内角和定理求出∠ACB，然后求出∠BCG的度数。21·世纪*教育网
19. B
解析：
解：∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，①符合题意；
∴ ，
由三角形的外角性质得：
∴ °，②符合题意；
作 于 ， 于 ，如图所示：
则 °，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，④符合题意；
正确的个数有3个；故答案为：B． 【分析】根据“SAS”可证△AOC≌△BOD，利用全等三角形的性质，可得∠OCA=∠ODB，AC=BD，据此判断①；根据三角形内角和定理，可得∠OAC=∠OBD，根据三角形的外角性质，可得∠AMB=∠AOB=40°，据此判断②；作 于 ， 于 ，根据“AAS”可证△OCG≌△ODH，即可OG=OH，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得MO平分∠BMC，据此判断③④；
20. （1）解：解：如图所示，∠A'O'B'即为所求；
（2）DC；SSS；全等三角形的对应角相等
解析：证明：由作法可知O'C'=OC，O'D'=OD，D'C'=DC，
? ∴△C'O'D' ≌△COD(SSS)
? ∴∠A'O'B'=∠AOB.(全等三角形的对应角相等)
? 故答案为：DC，SSS，伞等三角形的对应角相等。 【分析】（1）根据题干提供的方法用尺规作出∠ A'O'B'? 即可； （2）根据作图过程可知： O'C'=OC，O'D'=OD，D'C'= DC，然后根据SSS判断出 △C'O'D'≌△COD ，根据全等三角形对应角相等即可得出 ∠A'O'B'= ∠AOB 。www-2-1-cnjy-com