23.1 图形的旋转 同步练习（解析版）
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文档简介
初中数学人教版九年级上学期 第二十三章 23.1 图形的旋转
一、基础巩固
1.如图，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，则旋转方式是（?? ）
A.?逆时针旋转90°???????????????
B.?顺时针旋转90°???????????????
C.?顺时针旋转45°???????????????
D.?逆吋针旋转45°
2.将下列图形绕着直线旋转一周正好得到如图所示的图形的是（ ??）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
3.如图，点 A、B、C、D 都在方格纸的格点上，若△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到△COD 的位置，则旋转角为________. 【来源：21·世纪·教育·网】
4.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，则∠A的度数是________. 【出处：21教育名师】
5.如图，把一副三角板如图甲放置，其中 ，斜边 ，把三角板 绕点 顺时针旋转 得到 （如图乙）.这时 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，则 的度数为________. 【版权所有：21教育】
??????
6.如图，在 中， ?，在同一平面内，将 绕点 旋转到 的位置，使得 ，则 ________。
A. ?????? ? B. ?????? ? C. ??????? D.
7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2 ， 并写出点A2的坐标．
二、强化提升
8.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转a，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（ ??） 【来源：21cnj*y.co*m】
A.?90°-a?????????????????????????????????????B.?a?????????????????????????????????????C.?180°-a?????????????????????????????????????D.?2a
9.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1 ， 边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是 ( ??)
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.?-1?????????????????????????????????D.?1+
10.如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝10，BD＝9，则△ADE的周长为（?? ）
A.?19?????????????????????????????????????????B.?20?????????????????????????????????????????C.?27?????????????????????????????????????????D.?30
11.等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中， ， ， ，其中 固定， 绕点A顺时针旋转一周，在 旋转过程中，若直线CE与直线BD交点为P，则 面积的最小值为（ ???）
A.????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?4.5
12.如图，一个含有 角的直角三角板 ，在水平桌面上绕点 按顺时针方向旋转到 的位置，若 的长为 ，那么 的长为（?? ）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
13.如图， 是等边三角形， 旋转后能与 重合.
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转角度是多少度？
（3）连结 后， 是什么三角形？简单说明理由.
14.如图，正方形 ，点 在 上，将 绕点 顺时针旋转 至 ，点 ， 分别为点 ， 旋转后的对应点，连接 ， ， ， 与 交于点 ， 与 交于点 .
（1）求证 ；
（2）直接写出图中已经存在的所有等腰直角三角形.
三、真题演练
15.如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称.其中所有正确结论的序号是（????? ）
A.?①④?????????????????????????????????????B.?②③?????????????????????????????????????C.?②④?????????????????????????????????????D.?③④
16.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形 的边 在 轴上， 边的中点是坐标原点 ,将正方形绕点 按逆时针方向旋转90°后，点 的对应点 的坐标是（ ??）
A.?（-1,2）?????????????????????????????B.?（1,4）?????????????????????????????C.?（3,2）?????????????????????????????D.?（-1,0）
17.下面摆放的图案,从第2个起,每一个都是前一个按顺时针方向旋转90o得到,第2019个图案与第1个至第4个中的第________个箭头方向相同(填序号). 21世纪教育网版权所有
答案解析部分
一、基础巩固
1. A
解析：根据题意可知，线段AB经过旋转到达了AD的位置，即可以绕点A逆时针（向左）旋转90°。故答案为：A。 【分析】根据旋转的性质，选择一个对应边进行观察，即可得到旋转的方式。
2. A
解析：由图可知，只有A选项中的图形绕着直线旋转一周正好得到如图所示的图形。 故答案为：A.
【分析】根据面动成体对四个选项逐一判断即可。
3. 90
解析：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，
∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角，
∴旋转的角度为90°.
故答案为：90°. 【分析】由旋转的性质可得对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角，再由图知，∠BOD=90°。
4. 70°
解析：∵△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°，OA＝OC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠A＝ （180°﹣40°）＝70°，
故答案是：70°. 【分析】由旋转的性质可得∠AOC＝∠BOD，OA＝OC，由等边对等角可得∠A＝∠OCA，用三角形内角和定理即可求解。21教育网
5.
解析：如图,
由题意可知∠3=15°,∠E′=90°，
因为∠1=∠2，
所以∠1=75°
又因为∠B=45°，
所以∠OFE′=∠B+∠1=45°+75°=120°. 【分析】由旋转的性质可得∠D′CE′=60°，∠E′=∠DEC=90°，∠BCE′=15°，再根据四边形的内角和等于360可求解。21教育名师原创作品
6. 30°
解析：由题意得：
AC=AC′，
∴∠ACC′=∠AC′C；
∵CC′∥AB，且∠BAC=75°，
∴∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=75°，
∴∠CAC′=180°﹣2×75°=30°；
由题意知：∠BAB′=∠CAC′=30°，
故答案为30°. 【分析】根据旋转的性质得出AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，根据等边对等角得出∠ACC′=∠AC′C；根据二直线平行，内错角相等得出∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=75°，根据三角形的内角和得出∠CAC′的度数，从而得出答案。
7. （1）解：如图所示：点A1的坐标（2，﹣4）；
（2）解：如图所示，点A2的坐标（﹣2，4）．
【分析】（1）以x轴为对称轴，作三角形三个顶点的对应点即可，连线得到轴对称图形。 （2）根据旋转后的图形，利用原点为旋转中心计算对称点，描点画图即可。
二、强化提升
8. C
解析：∵将△ABC绕点B逆时针旋转a，得到△EBD， ∴∠DBC=a，∠ACB=∠EDB ∵∠EDB+∠ADB=180° ∴∠ADB+∠ACB=180°， ∵∠ADB+∠ACB+∠CAD+∠DBC=360°， ∴∠CAD+∠DBC=180° ∴∠CAD=180°-a 故答案为：C 【分析】利用旋转的性质，易证∠DBC=a，∠ACB=∠EDB，再证明∠ADB+∠ACB=180°，利用四边形的内角和等于360°，可证得∠CAD+∠DBC=180°，从而可求出∠CAD的度数。
9. C
解析：∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1 ， ∴∠DAC=45°，∠D=∠AB1C1=∠OB1C=90°，AD=DC=AB1=AD=1 ∴△ADC和△OB1C是等腰直角三角形， ∴OB1=B1C， 在Rt△ADC中，AC=， ∴B1C=AC-AB1=， ∵ 四边形AB1OD的面积=S△ADC-S△OB1C ∴ 四边形AB1OD的面积= 故答案为：C 【分析】利用旋转的性质及正方形的性质，可知∠DAC=45°，∠D=∠AB1C1=∠OB1C=90°，AD=DC=AB1=AD=1，即可证得△ADC和△OB1C是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AC的长，就可表示出B1C的长，然后根据四边形AB1OD的面积=S△ADC-S△OB1C，利用三角形的面积公式，代入计算可求解。www.21-cn-jy.com
10. A
解析：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=10，
∵△BAE是△BCD逆时针旋转60°得出，
∴AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°，
∴AE+AD=AD+CD=AC=10，
∵∠EBD=60°，BE=BD，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=9，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=19.
故答案为：19 【分析】由等边三角形的性质和旋转的性质得AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°，AE+AD=AD+CD=AC；根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得△BDE是等边三角形，由等边三角形的性质可得DE=BD，则△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD可求解。21·cn·jy·com
11. B
解析：当直线PB与⊙O相切时∠CBP的值最小，点P到BC的距离最小，即△BCP面积的最小，
由题意可知△BAD≌△CAE（SAS），由此可得∠ADP=90°，
由此可得∠CPB=90°，PB是⊙O的切线，∴∠ADP=90°，由此可得四边形ADPE为矩形，
∵AE=AD，∴矩形ADPE为正方形，AD=AE=PD=PE=2?， BD=EC=?，∴PC=2-2 ，PB=2+2， ∴S△BCP最小值=PC×PB=(2-2)(2+2)=4 故答案为：4www-2-1-cnjy-com
【分析】 △ABC和△ADE都是等腰直角三角形，可证△BAD和△CAE全等，由全等三角形对应角相等得∠BPC=90°，BC为底边，则高最小时，三角形面积最小，则PB是⊙O的切线，P到AB的距离最短。求得这个最小点，得矩形ADPE为正方形，由勾股定理和正方形的边长相等可求得PC、PB的长，则△BCP的面积可确定。21*cnjy*com
12. C
解析：连接AA′，如图所示：
∵△A′B′C是由△ABC按顺时针方向旋转得到的，
∴BC=B′C，AC=A′C；
又∵△ABC是含有一个30°角的直角三角形，
∴从图中知，∠BAC=30°，
∴AC=2BC，AB= BC；
而BC=15cm；
∴在Rt△ABA′中，
AB=15 cm，A′B=BC+CA′=BC+AC=45cm，
∴AA′= .
故答案为：C.
【分析】连接AA′，如图所示：根据旋转的性质得出BC=B′C，AC=A′C，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出AC=2BC，AB= BC，在Rt△ABA′中，利用勾股定理即可算出答案。
13. （1）解：∵△ABP旋转后能与△P′BC重合，点B是对应点，没有改变，
∴点B是旋转中心； （2）解：AB与BC是旋转前后对应边，
旋转角=∠ABC,
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴旋转角是60°； （3）解： 是等边三角形
由旋转的性质可得：
∵
∴ 为等边三角形
【分析】（1）根据图形旋转后点B的位置没有改变可知点B是旋转中心； （2）由题意可知旋转前后AB与BC是对应边，所以AB与BC的夹角等于旋转角度的度数，再根据等边三角形的性质即可求解； （3）根据旋转的性质结合等边三角形的判定方法即可求解．21cnjy.com
14. （1）证明：∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵ 绕点 顺时针旋转 至 ，
∴ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ （2）解：∵四边形 为正方形，
∴ 和 为等腰直角三角形；
由（1）得 为等腰直角三角形；
∵ 绕点 顺时针旋转 至 ，
∴ ， ，
∴ 为等腰直角三角形；
∵ 和 为等腰直角三角形，
∴ 为等腰直角三角形.
【分析】（1）根据正方形的性质得∠DCB=90°，CD=CB，再根据旋转的性质得CF=CD，∠ECG=∠DCF=90°，则可判断△CDF为等腰直角三角形，所以∠CDF=∠CFD=45°，然后证明△BCM≌△DCN，利用全等三角形的性质，可证得结论。 （2）根据正方形的性质可判断△ABD和△BCD为等腰直角三角形，根据旋转的性质可判断△CDF和△ECG为等腰直角三角形，然后判断△BDF为腰直角三角形，就可得到所有的等腰直角三角形。
三、真题演练
15. D
解析：先将△ABC绕着B'C的中点旋转180°，再将所得的三角形绕着B'C'的中点旋转180°，即可得到△A'B'C'；
先将△ABC沿着C'C的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着C''C'的垂直平分线翻折，即可得到△A'B'C'；
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质找出旋转中心的位置记旋转角度、轴对称的性质找出对称轴的位置即可一一判断得出答案。21·世纪*教育网
16. C
解析：如图所示， ∵ 将正方形绕点C按逆时针方向旋转90° ∴CB'＝CB＝2，∠BCB'＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，且O是AB的中点， ∴OB＝1， ∴B'（2+1，2），即B'（3，2）， 故答案为：C． 【分析】利用旋转的性质，可知CB'＝CB＝2，∠BCB'＝90°，再利用正方形的性质及线段中点的定义，可求出OB的长，然后就求出点B'的坐标。2-1-c-n-j-y
17. 3
解析：每转四次循环一次，故2019÷4=504……3，与第三个箭头相似。 【分析】分析如图所示的转动特点，得出规律，即旋转的周期为4，用2019除以最小周期，看余数即可。
一、基础巩固
1.如图，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，则旋转方式是（?? ）
A.?逆时针旋转90°???????????????
B.?顺时针旋转90°???????????????
C.?顺时针旋转45°???????????????
D.?逆吋针旋转45°
2.将下列图形绕着直线旋转一周正好得到如图所示的图形的是（ ??）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
3.如图，点 A、B、C、D 都在方格纸的格点上，若△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到△COD 的位置，则旋转角为________. 【来源：21·世纪·教育·网】
4.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，则∠A的度数是________. 【出处：21教育名师】
5.如图，把一副三角板如图甲放置，其中 ，斜边 ，把三角板 绕点 顺时针旋转 得到 （如图乙）.这时 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，则 的度数为________. 【版权所有：21教育】
??????
6.如图，在 中， ?，在同一平面内，将 绕点 旋转到 的位置，使得 ，则 ________。
A. ?????? ? B. ?????? ? C. ??????? D.
7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2 ， 并写出点A2的坐标．
二、强化提升
8.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转a，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（ ??） 【来源：21cnj*y.co*m】
A.?90°-a?????????????????????????????????????B.?a?????????????????????????????????????C.?180°-a?????????????????????????????????????D.?2a
9.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1 ， 边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是 ( ??)
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.?-1?????????????????????????????????D.?1+
10.如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝10，BD＝9，则△ADE的周长为（?? ）
A.?19?????????????????????????????????????????B.?20?????????????????????????????????????????C.?27?????????????????????????????????????????D.?30
11.等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中， ， ， ，其中 固定， 绕点A顺时针旋转一周，在 旋转过程中，若直线CE与直线BD交点为P，则 面积的最小值为（ ???）
A.????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?4.5
12.如图，一个含有 角的直角三角板 ，在水平桌面上绕点 按顺时针方向旋转到 的位置，若 的长为 ，那么 的长为（?? ）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
13.如图， 是等边三角形， 旋转后能与 重合.
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转角度是多少度？
（3）连结 后， 是什么三角形？简单说明理由.
14.如图，正方形 ，点 在 上，将 绕点 顺时针旋转 至 ，点 ， 分别为点 ， 旋转后的对应点，连接 ， ， ， 与 交于点 ， 与 交于点 .
（1）求证 ；
（2）直接写出图中已经存在的所有等腰直角三角形.
三、真题演练
15.如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称.其中所有正确结论的序号是（????? ）
A.?①④?????????????????????????????????????B.?②③?????????????????????????????????????C.?②④?????????????????????????????????????D.?③④
16.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形 的边 在 轴上， 边的中点是坐标原点 ,将正方形绕点 按逆时针方向旋转90°后，点 的对应点 的坐标是（ ??）
A.?（-1,2）?????????????????????????????B.?（1,4）?????????????????????????????C.?（3,2）?????????????????????????????D.?（-1,0）
17.下面摆放的图案,从第2个起,每一个都是前一个按顺时针方向旋转90o得到,第2019个图案与第1个至第4个中的第________个箭头方向相同(填序号). 21世纪教育网版权所有
答案解析部分
一、基础巩固
1. A
解析：根据题意可知，线段AB经过旋转到达了AD的位置，即可以绕点A逆时针（向左）旋转90°。故答案为：A。 【分析】根据旋转的性质，选择一个对应边进行观察，即可得到旋转的方式。
2. A
解析：由图可知，只有A选项中的图形绕着直线旋转一周正好得到如图所示的图形。 故答案为：A.
【分析】根据面动成体对四个选项逐一判断即可。
3. 90
解析：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，
∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角，
∴旋转的角度为90°.
故答案为：90°. 【分析】由旋转的性质可得对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角，再由图知，∠BOD=90°。
4. 70°
解析：∵△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°，OA＝OC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠A＝ （180°﹣40°）＝70°，
故答案是：70°. 【分析】由旋转的性质可得∠AOC＝∠BOD，OA＝OC，由等边对等角可得∠A＝∠OCA，用三角形内角和定理即可求解。21教育网
5.
解析：如图,
由题意可知∠3=15°,∠E′=90°，
因为∠1=∠2，
所以∠1=75°
又因为∠B=45°，
所以∠OFE′=∠B+∠1=45°+75°=120°. 【分析】由旋转的性质可得∠D′CE′=60°，∠E′=∠DEC=90°，∠BCE′=15°，再根据四边形的内角和等于360可求解。21教育名师原创作品
6. 30°
解析：由题意得：
AC=AC′，
∴∠ACC′=∠AC′C；
∵CC′∥AB，且∠BAC=75°，
∴∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=75°，
∴∠CAC′=180°﹣2×75°=30°；
由题意知：∠BAB′=∠CAC′=30°，
故答案为30°. 【分析】根据旋转的性质得出AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，根据等边对等角得出∠ACC′=∠AC′C；根据二直线平行，内错角相等得出∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=75°，根据三角形的内角和得出∠CAC′的度数，从而得出答案。
7. （1）解：如图所示：点A1的坐标（2，﹣4）；
（2）解：如图所示，点A2的坐标（﹣2，4）．
【分析】（1）以x轴为对称轴，作三角形三个顶点的对应点即可，连线得到轴对称图形。 （2）根据旋转后的图形，利用原点为旋转中心计算对称点，描点画图即可。
二、强化提升
8. C
解析：∵将△ABC绕点B逆时针旋转a，得到△EBD， ∴∠DBC=a，∠ACB=∠EDB ∵∠EDB+∠ADB=180° ∴∠ADB+∠ACB=180°， ∵∠ADB+∠ACB+∠CAD+∠DBC=360°， ∴∠CAD+∠DBC=180° ∴∠CAD=180°-a 故答案为：C 【分析】利用旋转的性质，易证∠DBC=a，∠ACB=∠EDB，再证明∠ADB+∠ACB=180°，利用四边形的内角和等于360°，可证得∠CAD+∠DBC=180°，从而可求出∠CAD的度数。
9. C
解析：∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1 ， ∴∠DAC=45°，∠D=∠AB1C1=∠OB1C=90°，AD=DC=AB1=AD=1 ∴△ADC和△OB1C是等腰直角三角形， ∴OB1=B1C， 在Rt△ADC中，AC=， ∴B1C=AC-AB1=， ∵ 四边形AB1OD的面积=S△ADC-S△OB1C ∴ 四边形AB1OD的面积= 故答案为：C 【分析】利用旋转的性质及正方形的性质，可知∠DAC=45°，∠D=∠AB1C1=∠OB1C=90°，AD=DC=AB1=AD=1，即可证得△ADC和△OB1C是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AC的长，就可表示出B1C的长，然后根据四边形AB1OD的面积=S△ADC-S△OB1C，利用三角形的面积公式，代入计算可求解。www.21-cn-jy.com
10. A
解析：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=10，
∵△BAE是△BCD逆时针旋转60°得出，
∴AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°，
∴AE+AD=AD+CD=AC=10，
∵∠EBD=60°，BE=BD，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=9，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=19.
故答案为：19 【分析】由等边三角形的性质和旋转的性质得AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°，AE+AD=AD+CD=AC；根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得△BDE是等边三角形，由等边三角形的性质可得DE=BD，则△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD可求解。21·cn·jy·com
11. B
解析：当直线PB与⊙O相切时∠CBP的值最小，点P到BC的距离最小，即△BCP面积的最小，
由题意可知△BAD≌△CAE（SAS），由此可得∠ADP=90°，
由此可得∠CPB=90°，PB是⊙O的切线，∴∠ADP=90°，由此可得四边形ADPE为矩形，
∵AE=AD，∴矩形ADPE为正方形，AD=AE=PD=PE=2?， BD=EC=?，∴PC=2-2 ，PB=2+2， ∴S△BCP最小值=PC×PB=(2-2)(2+2)=4 故答案为：4www-2-1-cnjy-com
【分析】 △ABC和△ADE都是等腰直角三角形，可证△BAD和△CAE全等，由全等三角形对应角相等得∠BPC=90°，BC为底边，则高最小时，三角形面积最小，则PB是⊙O的切线，P到AB的距离最短。求得这个最小点，得矩形ADPE为正方形，由勾股定理和正方形的边长相等可求得PC、PB的长，则△BCP的面积可确定。21*cnjy*com
12. C
解析：连接AA′，如图所示：
∵△A′B′C是由△ABC按顺时针方向旋转得到的，
∴BC=B′C，AC=A′C；
又∵△ABC是含有一个30°角的直角三角形，
∴从图中知，∠BAC=30°，
∴AC=2BC，AB= BC；
而BC=15cm；
∴在Rt△ABA′中，
AB=15 cm，A′B=BC+CA′=BC+AC=45cm，
∴AA′= .
故答案为：C.
【分析】连接AA′，如图所示：根据旋转的性质得出BC=B′C，AC=A′C，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出AC=2BC，AB= BC，在Rt△ABA′中，利用勾股定理即可算出答案。
13. （1）解：∵△ABP旋转后能与△P′BC重合，点B是对应点，没有改变，
∴点B是旋转中心； （2）解：AB与BC是旋转前后对应边，
旋转角=∠ABC,
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴旋转角是60°； （3）解： 是等边三角形
由旋转的性质可得：
∵
∴ 为等边三角形
【分析】（1）根据图形旋转后点B的位置没有改变可知点B是旋转中心； （2）由题意可知旋转前后AB与BC是对应边，所以AB与BC的夹角等于旋转角度的度数，再根据等边三角形的性质即可求解； （3）根据旋转的性质结合等边三角形的判定方法即可求解．21cnjy.com
14. （1）证明：∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵ 绕点 顺时针旋转 至 ，
∴ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ （2）解：∵四边形 为正方形，
∴ 和 为等腰直角三角形；
由（1）得 为等腰直角三角形；
∵ 绕点 顺时针旋转 至 ，
∴ ， ，
∴ 为等腰直角三角形；
∵ 和 为等腰直角三角形，
∴ 为等腰直角三角形.
【分析】（1）根据正方形的性质得∠DCB=90°，CD=CB，再根据旋转的性质得CF=CD，∠ECG=∠DCF=90°，则可判断△CDF为等腰直角三角形，所以∠CDF=∠CFD=45°，然后证明△BCM≌△DCN，利用全等三角形的性质，可证得结论。 （2）根据正方形的性质可判断△ABD和△BCD为等腰直角三角形，根据旋转的性质可判断△CDF和△ECG为等腰直角三角形，然后判断△BDF为腰直角三角形，就可得到所有的等腰直角三角形。
三、真题演练
15. D
解析：先将△ABC绕着B'C的中点旋转180°，再将所得的三角形绕着B'C'的中点旋转180°，即可得到△A'B'C'；
先将△ABC沿着C'C的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着C''C'的垂直平分线翻折，即可得到△A'B'C'；
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质找出旋转中心的位置记旋转角度、轴对称的性质找出对称轴的位置即可一一判断得出答案。21·世纪*教育网
16. C
解析：如图所示， ∵ 将正方形绕点C按逆时针方向旋转90° ∴CB'＝CB＝2，∠BCB'＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，且O是AB的中点， ∴OB＝1， ∴B'（2+1，2），即B'（3，2）， 故答案为：C． 【分析】利用旋转的性质，可知CB'＝CB＝2，∠BCB'＝90°，再利用正方形的性质及线段中点的定义，可求出OB的长，然后就求出点B'的坐标。2-1-c-n-j-y
17. 3
解析：每转四次循环一次，故2019÷4=504……3，与第三个箭头相似。 【分析】分析如图所示的转动特点，得出规律，即旋转的周期为4，用2019除以最小周期，看余数即可。
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