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《24.2.1点和圆的位置关系》导学案
课题 点和圆的位置关系 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定 理解不在同一直线上的三个点确定一个圆 会画三角形的外接圆，熟悉相关概念
重点难点 重点：点与圆的位置关系 难点：过三点画圆
教学过程
知识引入 观察下列图中的图片，你能猜出其中蕴含的与圆有关的数学知识吗？你玩过掷飞镖吗？下图中A、B、C、D、E分别是落点，你认为哪个成绩最好？你是怎么判断出来的？
合作探究 知识点一、自学内容：阅读课本P92-93． 要求：思考以下问题． 1、点和圆有哪几种位置关系？ 2、经过一个点、两个点、不在同一直线上的三个点分别可以作几个圆？ 3、如何作三角形的外接圆？什么是三角形的外心？外心有什么性质？ 4、锐角、直角、钝角三角形的外心的位置有何特点？知识点二、点与圆的位置关系 观察下列图形，想一想平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？观察下图，回答点和圆的位置关系有几种？你能从点与圆心的距离与半径的大小关系来判定点的位置吗？ 知识点三、过点画圆 画圆的关键是什么？_________1． 过一点可以作几个圆?试一试，过点A画圆，你能画多少个？ 2． 过两点可以作几个圆？圆心在哪里？ 过不在同一条直线上的三点可以作几个圆?具体有哪些步骤说一说。 通过你的作图，你发现圆心在哪里，它和那3个顶点有什么关系？ ●归纳：定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的_____，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的________。外心性质：到三角形三个顶点的距离________。思考：为什么要这样强调？经过同一直线的三点能作出一个圆吗？你能证明吗？ 证明： 例、用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”。证明：
自主尝试 ⊙O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在_____；点B在_____ ；点C在________ ．⊙O的半径6cm，当OP=6时，点A在____ ；当OP _____时点P在圆内；当OP _____ 时，点P不在圆外．3.判断下列说法是否正确 （1）任意的一个三角形一定有一个外接圆 （ ） （2）任意一个圆有且只有一个内接三角形 （ ） （3）经过三点一定可以确定一个圆 （ ） （4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 （ ）4.分组合作：由图可知，锐角三角形的外心在三角形内，那钝角三角形、直角三角形的外心呢？画图说明。 结论： 锐角三角形的外心在三角形______;直角三角形的外心在______；钝角三角形的外心在三角形_______。
当堂检测 1.用反证法证明命题“三角形中必须有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中( )A.有一个内角小于60° B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60° D.每一个内角都大于60°.2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2cm,BC=4cm,CM为中线,以C为圆心,cm为半径作圆,则A,B,M三点在圆外的有 ,在圆上的有 ,在圆内的有 .3.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是 块.4.如图, AB=OA=OB=OC,则∠ACB的大小是 °.5.已知:如图,菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.求证:菱形ABCD各边中点M,N,P,Q在以O为圆心的同一个圆上.6.如图所示,残缺的破圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交于点C,交弦AB于点D,已知AB=24cm,CD=8cm.(1)求作此残片所在的圆(不写作法,保留作图痕迹).(2)求(1)中所作圆的半径.
小结反思 本节课你掌握了什么？1．不在同一条直线上的三个点确定一个圆．2．三角形的外接圆，三角形的外心等概念．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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《24.2.1点和圆的位置关系》导学案
课题 点和圆的位置关系 学科 数学 年级 九年级上册
知识目标 理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定 理解不在同一直线上的三个点确定一个圆 会画三角形的外接圆，熟悉相关概念
重点难点 重点：点与圆的位置关系 难点：过三点画圆
教学过程
知识引入 观察下列图中的图片，你能猜出其中蕴含的与圆有关的数学知识吗？你玩过掷飞镖吗？下图中A、B、C、D、E分别是落点，你认为哪个成绩最好？你是怎么判断出来的？
合作探究 知识点一、自学内容：阅读课本P92-93． 要求：思考以下问题． 1、点和圆有哪几种位置关系？ 2、经过一个点、两个点、不在同一直线上的三个点分别可以作几个圆？ 3、如何作三角形的外接圆？什么是三角形的外心？外心有什么性质？ 4、锐角、直角、钝角三角形的外心的位置有何特点？知识点二、点与圆的位置关系 观察下列图形，想一想平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？答案：点在圆上、点在圆外、点在圆内观察下图，回答点和圆的位置关系有几种？你能从点与圆心的距离与半径的大小关系来判定点的位置吗？归纳： 点和圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。则点P在圆外?d>r点P在圆上?d=r点P在圆内?d自主尝试 ⊙O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在_____；点B在_____ ；点C在________ ．答案：圆内、圆上、圆外⊙O的半径6cm，当OP=6时，点A在____ ；当OP _____时点P在圆内；当OP _____ 时，点P不在圆外．答案：圆上、<6、≦6 3． 判断下列说法是否正确 （1）任意的一个三角形一定有一个外接圆 （ ） （2）任意一个圆有且只有一个内接三角形 （ ） （3）经过三点一定可以确定一个圆 （ ） （4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 （ ）答案：√、×、×、√4.分组合作：由图可知，锐角三角形的外心在三角形内，那钝角三角形、直角三角形的外心呢？画图说明。解：如下图．O为外接圆的圆心，即外心．锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．锐角三角形 直角三角形 钝角三角形结论： 锐角三角形的外心在三角形内;直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外。
当堂检测 1.用反证法证明命题“三角形中必须有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中( )A.有一个内角小于60° B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60° D.每一个内角都大于60°解:选D.必须有一个内角小于或等于60°的反面是:每一个内角都大于60°.2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2cm,BC=4cm,CM为中线,以C为圆心,cm为半径作圆,则A,B,M三点在圆外的有 ,在圆上的有 ,在圆内的有 .答案:点B 点M 点A 解:由勾股定理得,AB=2cm,CM=cm.点M在圆上,AC<,点A在圆内,BC>,点B在圆外.3.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是 块.答案:②【方法技巧】①确定一个圆需要知道圆心和半径.②由垂径定理知,作圆弧上任意不同两条弦的垂直平分线,即可确定圆心和半径.4.如图, AB=OA=OB=OC,则∠ACB的大小是 °.答案:30 解:由题意知A,B,C三点在以O为圆心的圆上, ∵AB=OA=OB=OC,∴∠AOB=60°,∴∠ACB=∠AOB=30°.5.已知:如图,菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.求证:菱形ABCD各边中点M,N,P,Q在以O为圆心的同一个圆上.【证明】∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,垂足为O,且AB=BC=CD=DA, M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA的中点, ∴OM=ON=OP=OQ=AB, ∴根据圆的定义可知:M,N,P,Q四点在以O为圆心,OM为半径的圆上.6.如图所示,残缺的破圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交于点C,交弦AB于点D,已知AB=24cm,CD=8cm.(1)求作此残片所在的圆(不写作法,保留作图痕迹).(2)求(1)中所作圆的半径.解析：①圆心O在△ABC三边的垂直平分线上.②连接OA,利用垂径定理和勾股定理可求出半径.解：(1)如图. (2)连接OA,设OA=OC=xcm. ∵CO⊥AB,AB=24 cm,CD=8 cm, ∴AD=12 cm, 在Rt△AOD中,由勾股定理得OA2=AD2+OD2, 即x2=122+(x-8)2, 解得x=13, ∴此残片所在圆的半径为13cm.
小结反思 本节课你掌握了什么？1．不在同一条直线上的三个点确定一个圆．2．三角形的外接圆，三角形的外心等概念．
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(共32张PPT)
24.2.1点和圆的位置关系
人教版 九年级上
新知导入
观察下列图中的图片，你能猜出其中蕴含的与圆有关的数学知识吗？
掷飞镖
新知导入
A
B
C
D
E
你玩过掷飞镖吗？下图中A、B、C、D、E分别是落点，你认为哪个成绩最好？你是怎么判断出来的？
①
②
③
④
⑤
新知讲解
内容：阅读课本P92-93．
要求：思考以下问题．
1、点和圆有哪几种位置关系？
3、如何作三角形的外接圆？什么是三角形的外心？外心有什么性质？
2、经过一个点、两个点、不在同一直线上的三个点分别可以作几个圆？
4、锐角、直角、钝角三角形的外心的位置有何特点？
新知讲解
圆外的点
圆内的点
平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？
新知讲解
.
.
.C
.
.
.
. B
.
.A
.
.
.
点与圆的位置关系有三种：
点在圆内，点在圆上，点在圆外
观察下图，回答点和圆的位置关系有几种？
新知讲解
点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。则
点在圆内
d＜r
点在圆上
点在圆外
d＝r
d>r
●
●
●
巩固练习
1． ⊙O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在_____；点B在_____ ；点C在________ ．
2． ⊙O的半径6cm，当OP=6时，点A在____ ；当OP _____时点P在圆内；当OP _____ 时，点P不在圆外．
圆内
圆上
圆外
圆上
＜6
≤6
新知讲解
画圆的关键是什么？
确定半径的大小
确定圆心
新知讲解
1． 过一点可以作几个圆?
●A
无数个
点A以外任意一点
这点与点A的距离
新知讲解
2． 过两点可以作几个圆？
●A
●B
无数个
这点到A或B的距离
线段AB的垂直平分线上
新知讲解
3． 过不在同一条直线上的三点可以作几个圆?
新知讲解
经过A、B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上．
步骤1
新知讲解
经过B、C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上．
步骤2
新知讲解
经过A、B、C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置．
步骤3
新知讲解
结论：
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
定义：
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
到三角形三个顶点的距离相等。
外心性质：
巩固练习
3． 判断下列说法是否正确
（1）任意的一个三角形一定有一个外接圆 （ ）
（2）任意一个圆有且只有一个内接三角形 （ ）
（3）经过三点一定可以确定一个圆 （ ）
（4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 （ ）
√
×
√
×
巩固练习
4.分组合作：由图可知，锐角三角形的外心在三角形内，那钝角三角形、直角三角形的外心呢？画图说明。
归纳：锐角三角形的外心在三角形内;直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外。
巩固练习
4.分组合作：由图可知，锐角三角形的外心在三角形内，那钝角三角形、直角三角形的外心呢？画图说明。
归纳：锐角三角形的外心在三角形内;直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外。
新知讲解
不在同一直线上的三个点确定一个圆．
为什么要这样强调？经过同一直线的三点能作出一个圆吗？
新知讲解
证明：假设经过同一直线 l 的三个点能作出
一个圆，圆心为O．
则O应在AB的垂直平分线l1上，
且O在BC的垂直平分线上l2上，
l1⊥ l
l2⊥ l
所以l1、 l2同时垂直于l，
这与“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾，
所以经过同一直线的三点不能作圆．
新知讲解
反证法
假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
假设命题的结论不成立
从这个假设出发，经过推理，得出矛盾
由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
例题讲解
例、用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”。
A
B
C
D
E
F
A’
B’
1
2
证明：如果AB∥CD，那么∠1=∠2.
假设∠1≠∠2，过点O作直线A’B’,
使∠EOB’=∠2.
根据“同位角相等，两直线平行”，
可得A’B’ ∥CD。
这样，过点O就有两条直线平行于CD，
这与平行公理“过直线有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾。
拓展提高
1.用反证法证明命题“三角形中必须有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中( )
A.有一个内角小于60° B.每一个内角都小于60°
C.有一个内角大于60° D.每一个内角都大于60°
D
点A
点B
点M
拓展提高
3.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是 块.
②
4.如图, AB=OA=OB=OC,则∠ACB的大小是 °
30
拓展提高
5.已知:如图,菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.求证:菱形ABCD各边中点M,N,P,Q在以O为圆心的同一个圆上.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,垂足为O,且AB=BC=CD=DA,
M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA的中点,
证明:
∴根据圆的定义可知:M,N,P,Q四点在以O为圆心,OM为半径的圆上.
拓展提高
6.如图所示,残缺的破圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交 于点C,交弦AB于点D,已知AB=24cm,CD=8cm.
(1)求作此残片所在的圆(不写作法,保留作图痕迹).
(2)求(1)中所作圆的半径.
拓展提高
(2)连接OA,设OA=OC=xcm.
∵CO⊥AB,AB=24 cm,CD=8 cm,
∴AD=12 cm,
在Rt△AOD中,由勾股定理得OA2=AD2+OD2,
即x2=122+(x-8)2,
解得x=13,
∴此残片所在圆的半径为13cm.
解：(1)如图.
课堂总结
1． 点和圆的位置关系
2． 三点定圆
3． 外接圆、内接三角形
4． 外心
你学会了么 ？
5． 反证法
作业布置
教材94页练习1、2题
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