第3章提优测试卷
考试时间：90分钟 满分：100分
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，P是边BC上的动点，过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE⊥AC，垂足为E，则PD+PE的长是 （ ）
A．4,8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．5
2．已知直角三角形的一条直角边长是7cm，若另一条直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长是（ ）
A．18 cm B．20 cm C．24 cm D．25 cm
3．若一个三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
4．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为 （ ）
A．42 B．32 C．42或32 D．37或33
5．如图，已知长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，
则△ABE的面积为 （ ）
A．3 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．12 cm2
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q两点分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 （ ）
A． B．4 C． D．5
7．如图，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，AD＝AF，点D，E为边BC上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF，BF，下列结论不正确的是 （ ）
A．△AED≌△AEF B．BE+DC＝DE C． BE+DC>DE D．BE2+DC2=DE2
8．如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌成正方形图案．已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4．若分别用表示直角三角形的两条直角边（），给出下列四个结论：①；
②；③；④．其中正确的结论是 （ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
9．在△ABC中，AB＝AC＝15，BC＝24．若P是△ABC所在的平面内的一点，且PB＝PC＝20，则AP的
长为 （ ）
A．7 B．5 C．7或25 D．5或14
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，D是边AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接AE，BE，则线段BE的长等于 （ ）
A．
B．
C．
D．2
二、填空题(每3分，共24分)
11．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥BC，垂足为D．如果AB＝25cm，BC＝20cm，AC＝15cm，那么OD＝_____________cm．
12．如图是一形状为等腰三角形的铁皮三角形ABC，BC为底边，尺寸如图（单位：cm），根据所给的条件，则该铁皮的面积为_____________cm2．
13．如图，在正方形ABCD中，边AB上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上存在一点P，使EP+BP最短，
则EP+BP的最短距离为___________________．
14．如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2(AD2+AB2).其中结论正确的有___________________．（填序号）
15．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，则小巷的宽度为_______________________．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，P是边AB上的动点（不与点B重合），点B关于直线CP的对称点是B’，连接B’A，则B’A长度的最小值是_________________．
17．如图，一个圆柱形容器的高为1.2m，底面周长为1m．在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一只蚊
子，此时一只壁虎正好在容器外壁离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则这只壁虎捕捉数子的最短距离为_____________________m．（容器厚度忽略不计）
18．如图，∠MON＝90°，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，△ABC的顶点A，B分别在边OM，ON上，当点B在边ON上运动时，点A也随之在边OM上运动．若△ABC的形状保持不变，则在运动过程中，点C到点O的最大距离为______________．
三、解答题(共46分)
19．(5分)计算图中四边形ABCD的面积．
20．(6分)把一张长方形纸片（长方形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm．
（1）求证：DE＝DF；
（2）求重叠部分△DEF的面积．
21．(6分)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在线段AC上找一点P（不能借助圆规），使得PC2—PA2＝AB2，画出点P的位置，并说明理由；
（2）求出（1）中线段PA的长度．
22．(6分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D．小莉说，当AB+BD＝AC+CD时，△ABC是等腰三角形．她的说法正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请举反例说明．
23．(6分)如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA：PB：PC＝3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
24．(8分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，P是边AB上一动点，当△PCB是等腰三角形时，求AP的长度．
25．(9分)我们经常遇到需要分类讨论的问题，画”树形图“可以帮我们不重复、不遗福地分类．
【例题】在等腰三角形ABC中，若∠A＝80°，求∠B的度数．
分析：∠A，∠B都可能是顶角或底角，因此需要分成如图①所示的3类，这样的图就是树形图，据此可求
出∠B＝50°或80°或20°．
【应用】
（1）已知等腰三角形ABC的周长为19，AB＝7，仿照例题画出树形图，并直接写出BC的长度；
（2）将一个长为5，12，13的直角三角形拼上一个合适的三角形后可以组成一个等腰三角形，图②就是其
中的一种拼法，请你画出其他所有可能的情形，并在图上标出所拼成等腰三角形的腰的长度（选用图③中的备用图画图，每种情形用一个图形单独表示，并用①②③…编号，若备用图不够，请自己画图补充）
第3章提优测试卷
1.A解析:连接AP,过点A作AH⊥BC,垂足为H.因
为AB=AC=5,BC=8,所以BH=4.由勾股定理,得
AH=3.又S△ABC=S△ABP十S△ACP,所以一。×8×3=
5×DP+×5XPE=2×5×(DP十PE),所以
DP+ 24
2.D解析:设直角三角形的斜边长为xcm,则另一条直
角边长为(49-x)cm由勾股定理,得72+(49-x)2=
x2,解得x=25.
3.B解析:因为(a十b)2-c2=2ab,所以a2+2ab+b2一
c2=2ab.所以a2+b2=c2.所以∠C=90°所以这个三角
形是直角三角形
4.C解析:分两种情况,如图:
13
12
B
C
D
由勾股定理,得BD=9,CD=5所以BC=9+5=14或
BC=9-5=4.所以C△ABC=15+13+14=42或
C△ABC=15+13+4=32
5.c解析:设AE=xcm,所以ED=(9-x)cm由折叠
的性质,得BE=DE=(9-x)cm,在Rt△ABE中,因为
5
由翻折可知DE=AD=DB,所以∠AEB=90°在
AB2+AE=BE2所以32+x2=(9-x)2,解得x=4
Rt△AEB中,BE2=AB2-AE2=52
所以S△Amx=AB·AE=x3x4=6(cm3)
所以BF7
6C解析:如图,因为AD平分∠CAB,所以点C类于直
线AD的对称点C'一定在边AB上,作CQ⊥AC变AD1.5解析;迹换OA.因为∠ABC,∠ACB的平分线相交
于点P,此时PC+PQ的值最小,且最小值为C'Q,作
于点O,所以点O到△ABC各边的距高相等设OD为
CH⊥AB因为AC=AC所以CQ=CH=10=5
xcm,所以S△A=S△Am+S△相+S△如0=2X
25×x+×15×x+×20×x=30x.因为BC2+
AC2=202+152=625,AB2=252=625,所以
AC2=AB2,所以△ABC为直角三角形.又S△ABC=
7.B解析:由∠BAC=∠DAF,得∠FAB=∠DAC.又
2AC·BC=2×20×15=150,所以150=30x,
AB=AC,AD=AF,所以△AFB≌△ADC.所以BF=
解得x=5则OD=5cm
DC,∠FBA=∠C.又∠DAE=45°,∠DAF=90,12.60解析过点A作AD⊥BC,垂足为D.因为AB=
所以∠FAE=∠EAD.再由FA=DA,AE=AE,可证
△AED≌△AEF,故A正确;所以DE=EF,在△BEF
AC,所以CD=2BC=5cm由勾股定理,得AD2=
中,BE+BF>EF,所以BE+DC>DE故C正确,B不正
AC2-CD2=132-52=122,所以AD=12cm.所以
确;由∠FBE=∠FBA+∠ABC=∠C+∠ABC=90°,
所以BE2十BF2=EF2所以BE2+DC2=DE2故D正确
s△A=2BC·AD=2×10×12=60(cm2)
8.B解析:由勾股定理得大正方形的边长a2=x2+y2
13.5解析:因为四边形ABCD为正方形,所以点B关于
所以x2+y2=Sk=49,故①正确;因为S大。=
直线AC的对称点为D连接ED交AC于点P所以此
时EP十BP最短,且最短距离为ED.又ED2=AD2+
S+十45五,所以4×方xy=49-4,所以
AE2=42+32=52,所以DE=5则EP+BP的最短距
2xy+4=49,故③正确;所以2xy=45,而(x-y)2=
离为5
x2+y2-2xy=49-45=4,所以x-y=2(x>y),故②1.①②③解析:由条件可证:△BAD≌△CAE,所以
正确;(x+y)2=x2+y2+2xy=49+45=94所以x+
BD=CE,∠ABD=∠ACE由“8”字型,可证∠BDC=
y≠9,故④不正确
∠BAC=90°,所以BD⊥CE所以∠ACE+∠DBC=
9.C解析:过点A作AD⊥BC,垂足为D.由题意,得
∠ABD+∠DBC=∠ABC=45°由勾股定理,得
△ABC是等腰三角形,则AD所在直线是BC的垂直平
AD2=AE2=2DE2所以2AD2=DE.同理,2AB2=
分线,点P在直线AD上根据勾股定理,得AD=9,
BC2又BE2=DE2+BD2≠2(AD2+AB2),故④错
PD=16.当点P,A在BC同侧时,AP=16-9=7;当点
误,①②③正确.
A,P分别在BC两侧时,AP=16+9=25.
15.22解析:设梯子的长为dm由题意,得d2=242+
0.A解析:如图,延长CD交边AE于点O,作CH⊥AB
0.72=252,所以d=25设小巷的宽度为xm,则(x-
于点H
0.7)2+22=252,解得x=22故小卷的宽度为22
6.2解析:由勾股定理,得BC2=AB2-AC2=10
82=62,所以BC=6因为点B关于直线CP的对称点
是B',所以BC=BC=6.又在△ACB'中,BA≥AC
BC,所以BA的最小值为8-6=2.
因为∠ACB=90°,BC=3,AC=4,所以AB2=AC+17.10解析:如图,把立体图形展开壁虎由
外向内爬,故要在边沿上找一点C,使
BC2=42+32=52,所以AB=5.所以。 CH XAB=
AC十BC最短,故此题转化为“将军饮马”
问题作点A关于边沿的对称点A,连接AB,此时最
AC×BC,解得CH=5因为D是边AB的中点
短距离为A'B,构造Rt△ADB所以A'B2=A'D2
13
所以CD=AD=BD=2AB=2由折的性质,得
BD2=
10),所以A'B
13
CO⊥AE,所以S△ABC=2 CD XAO=2AD×CH,中这只堂虎描捉蚊子的最短距离为
18.7解析:如图,取AB的中点D,连接CD,OD.因为
AO=×÷,解得AO=÷,所以AE=2AO
