高二数学人教A版选修4-5教案：1.1.3三个正数的算术几何平均数

1.1.3 三个正数的算术几何平均数
一、教学目标
1．探索并了解三个正数的算术-几何平均不等式的证明过程．
2．会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．
3．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．
二、课时安排
1课时
三、教学重点
会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．
四、教学难点
会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．
五、教学过程
（一）导入新课
已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
【证明】　因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥
3>0,1＋x2＋y≥3>0，
故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.
（二）讲授新课
教材整理1　三个正数的算术-几何平均不等式
1．如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c3 3abc，当且仅当 时，等号成立．
2．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么 ，当且仅当 时，等号成立．
即三个正数的算术平均 它们的几何平均．
教材整理2　基本不等式的推广
对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均 它们的几何平均，即 ，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
教材整理3　利用基本不等式求最值
若a，b，c均为正数，①如果a＋b＋c是定值S，那么 时，积abc有 值；②如果积abc是定值P，那么当a＝b＝c时，和 有最小值．
（三）重难点精讲
题型一、证明简单的不等式
例1 设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)2≥27.
【精彩点拨】　根据不等式的结构特点，运用a＋b＋c≥3，结合不等式的性质证明．
【自主解答】　∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋b＋c≥3>0，
从而(a＋b＋c)2≥9>0.
又＋＋≥3>0，
∴(a＋b＋c)2
≥3·9＝27，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
规律总结：
1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a>0，b>0.
(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看．
2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．
[再练一题]1．设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)3≥81.
【证明】　因为a，b，c为正数，
所以有＋＋≥3＝＞0.
又(a＋b＋c)3≥(3)3＝27abc＞0，
∴(a＋b＋c)3≥81，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
题型二、用平均不等式求解实际问题
例2如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝k.这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？
【精彩点拨】　根据题设条件建立r与θ的关系式，将它代入E＝k，得到以θ为自变量，E为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的最值．
【自主解答】　∵r＝，
∴E＝k·.
∴E2＝·sin2θ·cos4θ
＝(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ
≤3＝，
当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，
即tan2θ＝，tan θ＝时，等号成立．
∴h＝2tan θ＝，即h＝时，E最大．[来源:学+科+网]
因此选择灯的高度为米时，才能使桌子边缘处最亮．
规律总结：
1．本题的关键是在获得了E＝k·后，对E的函数关系式进行变形求得E的最大值．
2．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．
[再练一题]
2．制造容积为立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面的金属板的价格为每平方米30元，用来制作侧面的金属板的价格为每平方米20元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米？
【解】　设圆柱形桶的底面半径为r米，高为h米，则底面积为πr2平方米，侧面积为2πrh平方米．
设用料成本为y元，则y＝30πr2＋40πrh.
∵桶的容积为，∴πr2h＝，∴rh＝.
∴y＝30πr2＋π＝10π≥10π×3，
当且仅当3r2＝时，
即r＝时等号成立，此时h＝.
故要使用料成本最低，圆柱形桶的底面半径应为米，高为米．
当且仅当2x2＝1－x2，[来源:学.科.网]
即x＝时等号成立．
∴y≤，∴y的最大值为.
题型三、利用平均不等式求最值
例3已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值．
【精彩点拨】　为使数的“和”为定值，可以先平方，即y2＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1－x2)＝2x2(1－x2)(1－x2)×，求出最值后再开方．
【自主解答】　∵y＝x(1－x2)，
∴y2＝x2(1－x2)2
＝2x2(1－x2)(1－x2)·.
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤＝.
规律总结：
1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑：
y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝·x(2－2x)·(1＋x)≤＝.
虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号的条件，显然x＝2－2x＝1＋x无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的．
2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时也要注意算术-几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可．
[再练一题]3．若2a＞b＞0，试求a＋的最小值.
【解】　a＋＝＋
＝＋＋
≥3·＝3，
当且仅当＝＝，
即a＝b＝2时取等号．
所以当a＝b＝2时，
a＋有最小值为3.
（四）归纳小结
平均不等式—
（五）随堂检测
1．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为(　　)
A．3　　　B．2　　　C．12　　　D．12
【解析】　∵x＋2y＋3z＝6，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z
≥3＝3＝12.
当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2，y＝1，z＝时，等号成立．
【答案】　C
2．若a＞b＞0，则a＋的最小值为(　　)
A．0 B．1 C．2 D.3
【解析】　∵a＋＝(a－b)＋b＋≥3＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，∴a＋的最小值为3.故选D.
【答案】　D
3．函数y＝4sin2x·cos x的最大值为________，最小值为________．
【解析】　∵y2＝16sin2 x·sin2x·cos2x
＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)
≤83
＝8×＝，
∴y2≤，当且仅当sin2x＝2cos2x，[来源:学科网ZXXK]
即tan x＝±时取等号．[来源:Z.xx.k.Com]
∴ymax＝，ymin＝－.
【答案】　　－
六、板书设计
1.1.3 三个正数的算术几何平均数
教材整理1　三个正数的算术-几何平均不等式
教材整理2　基本不等式的推广
教材整理3　利用基本不等式求最值
例1：
例2：
例3：
学生板演练习
七、作业布置
同步练习：1.1.3 三个正数的算术几何平均数
八、教学反思