高二数学人教A版选修4-5教案：1.2.1绝对值三角不等式

1.2.1绝对值三角不等式
一、教学目标
1．理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理．
2．会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值．
二、课时安排
1课时
三、教学重点
理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理．
四、教学难点
会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值．
五、教学过程
（一）导入新课
|x＋1|＋|2－x|的最小值是________.
【解析】　∵|x＋1|＋|2－x|≥|(x＋1)＋(2－x)|＝3，
当且仅当(x＋1)(2－x)≥0，即－1≤x≤2时，取等号．
因此|x＋1|＋|2－x|的最小值为3.
【答案】　3
（二）讲授新课
教材整理1　绝对值的几何意义
1．实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为 的点A到 的距离．
2．对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的 ，即线段AB的
教材整理2　绝对值三角不等式
1．定理1　如果a，b是实数，则|a＋b|≤ ，当且仅当 时，等号成立．
2．在定理1中，实数a，b替换为向量a，b，当向量a，b不共线时，有向量形式的不等式|a＋b|<|a|＋|b|，它的几何意义是 ．
教材整理3　三个实数的绝对值不等式
定理2　如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤ ＋|b－c|，当且仅当时，等号成立．
（三）重难点精讲
题型一、运用绝对值不等式求最值与范围
例1对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋|x＋2|≥m恒成立的m的取值范围．
【精彩点拨】　令t＝|x＋1|＋|x＋2|，只需m≤tmin.
【自主解答】　法一　对x∈R，|x＋1|＋|x＋2|
≥|(x＋1)－(x＋2)|＝1，
当且仅当(x＋1)(x＋2)≤0时，
即－2≤x≤－1时取等号．
∴t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1.
∴实数m的取值范围是(－∞，1]．
法二　t＝|x＋1|＋|x＋2|＝
∴t≥1，则t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1.
因此实数m的取值范围是(－∞，1]．
规律总结：
1．本题也可利用绝对值的几何意义求解．
2．对于含有两个绝对值及以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值．
[再练一题]
1．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
【解】　(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.
因为f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，
当x＝时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．
当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
题型二、含绝对值不等式的证明
例2　设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证：<2.
【精彩点拨】　不管|a|，|b|,1的大小，总有m≥|a|，m≥|b|，m≥1，然后利用绝对值不等式的性质证明．
【自主解答】　依题意m≥|a|，m≥|b|，m≥1.
又|x|>m，
∴|x|>|a|，|x|>|b|，|x|>1，从而|x|2>|b|.
因此≤＋
＝＋<＋＝2，即<2.
规律总结：
1．将文字语言“m等于|a|，|b|,1中最大的一个”转化为符号语言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是证明本题的关键．
2．运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度．
[再练一题]
2．若f(x)＝x2－x＋c(为常数)，且|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1).
【证明】　|f(x)－f(a)|
＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|
＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|
＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|
＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|.
又|x－a|<1，
∴|f(x)－f(a)|≤|x－a|＋|2a－1|
≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1
＝2(|a|＋1)．
题型三、绝对值不等式的理解与应用
例3已知a，b∈R，则有
(1)≤1成立的充要条件是________；
(2)≥1成立的充要条件是________．
【精彩点拨】　利用绝对值三角不等式定理分别求解．
【自主解答】　(1)因为|a|－|b|≤|a－b|恒成立，所以有|a－b|＞0?a≠b?≤1，
因此≤1成立的充要条件是a≠b.
(2)因为|a|＋|b|≥|a＋b|恒成立，
所以有|a＋b|＞0?a≠－b?≥1.
因此≥1成立的充要条件是a≠－b.[来源:学#科#网Z#X#X#K]
【答案】　(1)a≠b　(2)a≠－b
规律总结：
1．本题求解的关键在于|a|－|b|≤|a－b|与|a|＋|b|≥|a＋b|的理解和应用．
2．解决此类问题应从两个方向推出关系来进行求解．
[再练一题]
3．条件不变，试求：
(1)＜1成立的充要条件；
(2)＞1成立的充要条件．
【解】　(1)因为ab＜0?||a|－|b||＜|a－b|?＜1，
所以＜1成立的充要条件是ab＜0.
(2)因为＞1?|a|＋|b|＞|a＋b|且a＋b≠0?ab＜0且a≠－b，
所以＞1成立的充要条件是ab＜0且a≠－b.
（四）归纳小结
绝对值三角不等式—
（五）随堂检测
1．已知实数a，b满足ab＜0，则下列不等式成立的是(　　)
A．|a＋b|＞|a－b|
B．|a＋b|＜|a－b|[来源:Zxxk.Com]
C．|a－b|＜||a|－|b||[来源:Zxxk.Com]
D.|a－b|＜|a|＋|b|
【解析】　∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|＝||a|－|b||，故应选B.[来源:学§科§网]
【答案】　B
2．若a，b∈R，则使|a|＋|b|>1成立的充分不必要条件可以是(　　)
A．|a|≥且|b|≥ B．|a＋b|≥1 C．|a|≥1 D.b<－1
【解析】　当b<－1时，|b|>1，
∴|a|＋|b|>1，
但|a|＋|b|>1b<－1(如a＝2，b＝0)，
∴“b<－1”是“|a|＋|b|>1”的充分不必要条件．
【答案】　D
3．已知四个命题：①a>b?|a|>b；②a>b?a2>b2；
③|a|>b?a>b；④a>|b|?a>b.其中正确的命题是________．
【解析】　当a>b时，|a|≥a>b，①正确．显然②③不正确．
又当a>|b|时，有a>|b|≥b，④正确．
【答案】　①④
六、板书设计
1.2.1绝对值三角不等式
教材整理1　绝对值的几何意义
教材整理2　绝对值三角不等式
教材整理3　三个实数的绝对值不等式
例1：
例2：
例3：
学生板演练习
七、作业布置
同步练习：1.2.1绝对值三角不等式
八、教学反思