高二数学人教A版选修4-5教案：2.1比较法

2.1 比较法
一、教学目标
1．理解比较法证明不等式的依据．
2．掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．
3．通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．
二、课时安排
1课时
三、教学重点
掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．
四、教学难点
通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．
五、教学过程[来源:Zxxk.Com]
（一）导入新课
已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
【证明】　2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)
＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．
因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0,
从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，
即2a3－b3≥2ab2－a2b.
（二）讲授新课
教材整理1　作差比较法
1．理论依据：①a＞b? ；②a＝b?a－b＝0；③a＜b? .
2．定义：要证明a＞b，转化为证明 ，这种方法称为作差比较法．
3．步骤：① ；②变形；③ ；④下结论．
教材整理2　作商比较法
1．理论依据：当b＞0时，①a＞b? ；②a＜b?＜1；③a＝b?＝1.
2．定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明 ，这种方法称为作商比较法．
3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．
（三）重难点精讲
题型一、作商比较法证明不等式
例1已知a＞0，b＞0且a≠b，求证：aabb＞(ab).
【精彩点拨】
→→→
【自主解答】　∵a＞0，b＞0，∴aabb＞0，(ab)＞0，
作商＝aa·b＝.
∵a≠b，∴当a＞b＞0时，
＞1且＞0，∴＞1，
而(ab)＞0，∴aabb＞(ab).
当b＞a＞0时，0＜＜1且＜0，∴＞1，
而(ab)＞0，∴aabb＞(ab).
综上可知a＞0，b＞0且a≠b时，有aabb＞(ab).[来源:Zxxk.Com]
规律总结：
1．当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式．
2．运用a＞b?＞1证明不等式时，一定注意b＞0是前提条件．若符号不能确定，应注意分类讨论．
[再练一题]
1．已知m，n∈R＋，求证：≥.
【证明】　因为m，n∈R＋，
所以≥＝，[来源:学科网]
令ω＝＝m·n＝，
则：①当m>n>0时，>1，m－n>0，则ω>1.
②当m＝n时，ω＝1.
③当n>m>0时，0<<1，m－n<0，则ω>1.
故对任意的m，n∈R＋都有ω≥1.
即≥，
所以≥.
题型二、比较法的实际应用
例2　甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？
【精彩点拨】　设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1, t2，要回答题目中的问题，只要比较t1，t2的大小就可以了．
【自主解答】　设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1, t2，依题意有：m＋n＝s，＋＝t2.
∴t1＝，t2＝，
∴t1－t2＝－＝
＝－.
其中s，m，n都是正数，且m≠n，
∴t1－t2＜0，即t1＜t2，
从而知甲比乙先到达指定地点．
规律总结：
1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键．
2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系．若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断．
[再练一题]
2．通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？
【解】　设截面的周长为l，依题意知，截面是圆的水管的截面面积为π·2，截面是正方形的水管的截面面积为.
∵π·－＝＝.
由于l＞0,0＜π＜4，∴＞0，
∴π·＞.
因此，通过水管放水，当流速相同时，如果水管的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．
题型三、作差比较法
例3已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.
【精彩点拨】　此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号．
【自主解答】　法一　∵a2＋b2－ab－a－b＋1
＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，
∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.[来源:Zxxk.Com]
法二　a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1，
对于a的二次三项式，
Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0.
∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，
故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.
规律总结：
1．作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少．
2．因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，可利用“Δ”判定符号．
[再练一题]
3．已知a＞b＞c，证明：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2.
【证明】　∵a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2＝(a2b－bc2)＋(b2c－ab2)＋(c2a－ca2)
＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ac(c－a)
＝(a－c)(ba＋bc－b2－ac)＝(a－c)(a－b)(b－c)．
∵a＞b＞c，∴a－c＞0，a－b＞0，b－c＞0，
∴(a－c)(a－b)(b－c)＞0，
即a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2.
（四）归纳小结
比较法—
（五）随堂检测
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是(　　)
A．t＞s B．t≥s C．t＜s D.t≤s
【解析】　s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，
∴s≥t.
【答案】　D
2．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是(　　)
A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D.大小不确定
【解析】　P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga.
当0＜a＜1时，0＜a3＋1＜a2＋1，则0＜＜1，
∴loga＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.
当a＞1时，a3＋1＞a2＋1＞0，＞1，
∴loga＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.
综上总有P＞Q，故选A.
【答案】　A
3．设a，b，m均为正数，且＜，则a与b的大小关系是________．
【解析】　－＝＞0.
又a，b，m为正数，[来源:Z|xx|k.Com]
∴a(a＋m)＞0，m＞0，因此a－b＞0.
即a＞b.
【答案】　a＞b
六、板书设计
2.1 比较法
教材整理1　作差比较法
教材整理2　作商比较法
例1：
例2：
例3：
学生板演练习
七、作业布置
同步练习：2.1比较法
八、教学反思