高二数学人教A版选修4-5教案：2.3反证法与放缩法

2.3反证法与放缩法
一、教学目标
1．掌握用反证法证明不等式的方法．
2．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．
二、课时安排
1课时
三、教学重点
掌握用反证法证明不等式的方法．
四、教学难点
了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．
五、教学过程
（一）导入新课
若x，y都是正实数，且x＋y>2.求证：<2和<2中至少有一个成立．
【证明】　假设<2和<2都不成立，
则有≥2和≥2同时成立，因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，
两式相加，
得2＋x＋y≥2x＋2y，
所以x＋y≤2，
这与已知条件x＋y>2矛盾，因此<2和<2中至少有一个成立．
（二）讲授新课
教材整理1　反证法
先假设 ，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和 (或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 的结论，以说明 不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．
教材整理2　放缩法
证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值 或 ，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．
（三）重难点精讲
题型一、利用反证法证“至多”“至少”型命题
例1已知f(x)＝x2＋px＋q，求证：
(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；
(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
【精彩点拨】　(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论．
(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．
【自主解答】　(1)由于f(x)＝x2＋px＋q，
∴f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.
(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2.(*)
又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|
≥f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，
∴|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥2与(*)矛盾，∴假设不成立．
故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
规律总结：
1．在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明．在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立．
2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．
[再练一题]
1．已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：a，b，c，d中至多有三个是非负数．
【证明】　a，b，c，d中至多有三个是非负数，即至少有一个是负数，故有假设a，b，c，d都是非负数．
即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，
则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd.
这与已知中ac＋bd＞1矛盾，
∴原假设错误，
故a，b，c，d中至少有一个是负数．
即a，b，c，d中至多有三个是非负数.
题型二、利用放缩法证明不等式
例2已知an＝2n2，n∈N*，求证：对一切正整数n，有＋＋…＋＜.
【精彩点拨】　针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项．
【自主解答】　∵当n≥2时，an＝2n2＞2n(n－1)，
∴＝＜＝·
＝，
∴＋＋…＋＜1＋＋＋…＋
＝1＋
＝1＋＝－＜，
即＋＋…＋＜.
规律总结：
1．放缩法在不等式的证明中无处不在，主要是根据不等式的传递性进行变换．
2．放缩法技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地添或减是放缩法的基本策略．
[再练一题]
2．求证：1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)．
【证明】　∵k2＞k(k－1)，
∴＜＝－(k∈N＋，且k≥2)．
分别令k＝2,3，…，n得
＜＝1－，＜＝－，…，
＜＝－.
因此1＋＋＋…＋
＜1＋＋＋…＋
＝1＋1－＝2－.
故不等式1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)．
题型三、利用反证法证明不等式
例3已知△ABC的三边长a，b，c的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°.
【精彩点拨】　本题中的条件是三边间的关系＝＋，而要证明的是∠B与90°的大小关系．结论与条件之间的关系不明显，考虑用反证法证明．[来源:学科网ZXXK]
【自主解答】　∵a，b，c的倒数成等差数列，∴＝＋.假设∠B＜90°不成立，即∠B≥90°，则∠B是三角形的最大内角，在三角形中，有大角对大边，
∴b＞a＞0，b＞c＞0，
∴＜，＜，∴＜＋，
这与＝＋相矛盾．
∴假设不成立，故∠B＜90°成立．
规律总结：
1．本题中从否定结论进行推理，即把结论的反面“∠B≥90°”作为条件进行推证是关键．要注意否定方法，“＞”否定为“≤”，“＜”否定为“≥”等．
2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论．[来源:学科网]
[再练一题]
3．若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.
【证明】　法一　假设a＋b>2，
a2－ab＋b2＝＋b2≥0，
故取等号的条件为a＝b＝0，显然不成立，
∴a2－ab＋b2>0.
则a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>2(a2－ab＋b2)，
而a3＋b3＝2，故a2－ab＋b2<1，
∴1＋ab>a2＋b2≥2ab，从而ab<1，
∴a2＋b2<1＋ab<2，
∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<2＋2ab<4，
∴a＋b<2.
这与假设矛盾，故a＋b≤2.
法二　假设a＋b>2，则a>2－b，
故2＝a3＋b3>(2－b)3＋b3，
即2>8－12b＋6b2，即(b－1)2<0，
这显然不成立，从而a＋b≤2.
法三　假设a＋b>2，则(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)>8.
由a3＋b3＝2，得3ab(a＋b)>6，故ab(a＋b)>2.
又a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2，
∴ab(a＋b)>(a＋b)(a2－ab＋b2)，
∴a2－ab＋b2这显然不成立，故a＋b≤2.
（四）归纳小结
反证法与放缩法—
（五）随堂检测
1．实数a，b，c不全为0的等价条件为(　　)
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0[来源:Z|xx|k.Com]
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
【解析】　实数a，b，c不全为0的含义即a，b，c中至少有一个不为0，其否定则是a，b，c全为0，故选D.
【答案】　D
2．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反证法求证a＞0，b＞0，c＞0时的假设为(　　)[来源:Z,xx,k.Com]
A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a≤0，b＞0，c＞0
C．a，b，c不全是正数 D.abc＜0
【解析】　a＞0，b＞0，c＞0的反面是a，b，c不全是正数，故选C.
【答案】　C
3．要证明＋＜2，下列证明方法中，最为合理的是(　　)[来源:学。科。网]
A．综合法 B．放缩法 C．分析法 D.反证法
【解析】　由分析法的证明过程可知选C.
【答案】　C
六、板书设计
2.3反证法与放缩法
教材整理1　反证法
教材整理2　放缩法
例1：
例2：
例3：
学生板演练习
七、作业布置
同步练习：2.3反证法与放缩法
八、教学反思