高一数学教学设计：必修2 2.3 空间中的垂直关系习题课

空间中的垂直关系
一、课前导入（创境）
师：课前我们先做一个小实验，我已经经过准确的测量下面这个镜片所在的平面与水平面成
角45度，一束光平行射到下面镜面上，经过反射到上面平面，那么大家观察，结合你
所学的知识，如何调整上面的镜面，使得光线能够水平射出？
（教师演示实验，移动上方平面镜，学生观察反射光线特点）
生：两个镜面应保持垂直关系。
师：那么如何让面面垂直，转化成数学问题，观察镜面，
只需要线线垂直，今天我们来研究
空间中的垂直关系。
（师生共同说出，教师板书课题）
师：我们知道的证明垂直关系有几种方法呢？
生：两种。
师：有哪两种呢?
生：垂直关系可以利用定理和性质或用向量方法证明。
师：本节课从利用定理和性质的证明进行讲解。 首先我们思考（教师提出思考题）
1.证明线线垂直、线面垂直、 面面垂直的基本方法有哪些?
2.证明垂直关系的基本思想是转化，三者之间如何转化?
（电子白板演示课件）
二、知识梳理（准备）
师：课前已经给大家发导学案，同学们课前已将垂直有关知识提前整理，哪位同学回答一下
学案中预习部分的第一部分内容。
生：证明线线垂直我们可以用几何方法，如勾股定理、几何体性质、射影定理等。
师：对于共面直线可以用这些方法，如果你观察这对直线是异面直线如何证明线线垂直呢？
生：可以通过一条直线垂直另一条直线所在的平面，即线面垂直。
师：利用线面垂直来证线线垂直即为？
生：线面垂直的性质。
师：结合导学案继续回答。
生：可以通过线线垂直来证线面垂直，即为线面垂直的判定。还可以通过线面垂直证明面面
垂直，即为面面垂直的判定。还可以通过面面垂直证明线面垂直，即为面面垂直的判定。
横向来看，利用线面垂直可以证明面面平行，反过来也可以。同理，可以利用线面垂直
证明线线平行，反之也对。
（回答完毕，学生鼓掌。教师板书本节课的知识框架）
师：回答的非常好也很全面。通过复习三种垂直关系，
我们观察这个结构框图可以看出线面垂直的性质
可以证明线线垂直，也可实现面面垂直的证明，
因此线面垂直是线线垂直，面面垂直关系中的枢
纽。如果要证明面面垂直，就可以通过线面垂直，
进而利用线线垂直来证明，实现了三者之间的转
化。本节课结合结构图中的相关知识来解决本节
课的垂直关系。
三、问题探究（发散）
师：我们先来看一道必修2中的教材例题，请将证明过程写在导学案上。
（电子白板演示课件，学生在导学案上书写证明过程）
例题：AB是圆O直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆
周上不同于A、B的任意一点，
求证：面PAC⊥面PBC
师：请一位同学来回答一下，并说明如何证明面面垂直，即证明面面垂直的模式。
生：先通过一条直线垂直于一个平面内两条相交的直线，即要想证明面面垂直需要通过线面
垂直来证明。
师：要证明线面垂直呢？
生：通过线线垂直证明。
师：本题中直接给了线线垂直的条件么？
生：没有。
师：既然没有我们通过什么来证明线线垂直的呢？
生：通过线面垂直来证明。
（课件显示：面面垂直 线面垂直 线线垂直 线面垂直）
师：回答的非常正确，下面我们来写一下证明过程。
生：,可以推出
,又因为.

（同学们鼓掌）
师：请坐，回答的非常完整，线线相交，以及线在面内都说的很清楚。我们一起看下板书，
如果要是落到卷面上，要写清楚过程。首先，利用线面垂直得到线线垂直，再结合线线
垂直得到线面垂直，进而面面垂直。
（教师板书，在证明过程中用彩色粉笔将重点地方特殊标注）
师：接下来我们看这个几何图形，若在例题中添加条
件：E、F分别为点A在PC、PB上正投影，写出
所有满足线面垂直的关系？同时带着这个问题：
你找到这些垂直关系的依据是什么？大家可以互
相讨论一下。
（课件展示几何图形及问题，全班讨论，教师巡视）
四、知识提升（收敛）
师：请一位同学回答一下一共找到了几组。
生：找到了四组。
师：请分别说一下是哪四组。
生：，,,
师：那么请简单的阐述一下证明过程
生：可以通过面面垂直，线面垂直证明；可以用线线垂直证明；
是已知条件，可以由线线垂直证明。
师：其他同学有疑问么？
（部分同学会对第四个提出疑问）
好，那请你证明一下
生：,
(大部分同学马上说出AF不垂直于BC）
哦，这个地方不对，所以不成立。
师：请坐，通过自己回答过程发现自己的结论有错误的地方，非常好。错了不要紧，数学就
是这样，错了再试的过程。这位同学已经找到了三组，看看其他同学有没有补充呢？
生：
师：能说一下证明过程么？
生：,,

(部分同学发出“啊”的声音，同时鼓掌）
师：回答的非常正确，证明过程很全面。那么我们回去看一下刚才我们已经证明出
，那么与面垂直显然就不对了吧？
生：恩。
（学生齐答）
师：什么原因呢？
生：没有线面垂直的条件；两条相交的直线不可能垂直同一个平面。
师：大家回答的非常好，从反面两种情况否定了。那在我们共同努力之下，
一共找到了四组线面垂直的关系，那么接着这道题接下来让你找面面垂直会找了么？
生：会！
师：根据是什么呢？
生：线面垂直。
（学生齐答）
五、例题剖析（综合）
师：接下来我们看这道例题，
将这两问写在导学案上。
（学生在导学案上书写
证明过程，教师巡视）
师：时间差不多了，我看大多数同学都做完了，我们找个同学来回答一下，只需要说明要证
什么，以及通过什么来证明的就可以。
生：本题的第一题，要证面面垂直，只需要证明线面垂直
，进而只需要线线垂直。
（学生一边说，教师课件随着演示）
师：请坐，回答得思路很清晰，而且说明了只需要在每个过程的证明。那么第二问呢？
生：正好是第一问的逆思路。已知面面垂直，利用线面垂直
，证明线线垂直。
师：大体的过程说的不错，但是有一个关键的地方没有说出来。为什么?
生：因为面面垂直，
师：恩，这回说全面了。在我们书写的时候也更要求规范，在有面面垂直的前提下，一定要
写出垂直用交线的线才会垂直于平面。
（课件演示推导过程）
师：那我们结合这两道题，上面写着定点问题，也就是E、F点是固定的，根据这两个问，
第一个是由线线垂直证明面面垂直，而下一个是由面面垂直证明线线垂直。那么两道题
充分体现了线线与面面之间的转换，中间有个桥梁就是？
生：线面垂直。
（学生齐答）
师：那我们来总结一下方法，由已知的线线与面面，我们会想线线垂直会有什么样的性质，
面面垂直会有什么样的性质，进而会想到它们的性质。再看求证，面面垂直与线线垂直
是通过什么来判定的，因此会想到它们的判定。所以对于这类几何题我们会有这样的方
法：由已知想性质，由求证想判定。
（教师课件演示证明方法）
师：那么接下来在导学案上第3页是动点问题，那么动点问题又分为两点运动以及一点运动，
那我们分四个小组，按我们平时分组的情况进行讨论，如何求证点的以及如何判定面的。
（学生分四个小组讨论，教师进行巡视，对小组进行必要的指导）
师：我看讨论的差不多了，接下来我们开始小组展示了，那我们哪组先来呢？
生：第一组，按顺序来。
师：好，那我们有请第一小组代表来给我们讲解一下。
生：这道题要证明面面垂直，我们就可以利用
黑板上写得线面垂直和线线垂直来推导。
(学生一边演示证明，课件一边显示过程。学生代表说完之后全班响起了掌声）
师：思路非常清晰，语言简练，满分！
我们在回过来看一下，我们知道E、F为动点，无论怎样动，都有EF//BC.
(教师一边说课件一边演示EF运动过程）
所以我们通过线线平行、线面垂直来证明线面垂直，进而又面面垂直。大家都清楚了吧？
生：清楚了。
师：好。我们有请第二小组的代表上台来讲解下一道题。
生：要证明面面垂直，只需要证明线面垂直，由上一问
已知,只需要AE与
面PBC内一条直线垂直即可，即AE与PC垂直，
所以点E为PC的中点。
（学生一边讲解，教师演示平面AEF运动学生
讲解完，全班鼓掌）
师：这位同学今天表现的非常不错，结合几何图形将垂直问题讲得非常透彻。我们看一下证
明过程。当两点动没有规律，我们只需要通过一个点找到线面垂直就可以了。
（教师一边讲解，一边课件演示分析过程及转化思路）
接下来我们有请第三小组的代表。
生：这道题要我们证明面面垂直，我们就证明
线面垂直，因为F为动点，我们只需要找
一个平面内的一条直线垂直于另外一个平
面内两条相交的直线即可。我们已经知道
,所以,我们只需要
找面AEF内另一条直线垂直于PB即可。
我们可以分为两种情况：一种是，另一种是。我们先来讨论一下
,可以结合平面几何图形来解决。
（学生一边讲解，一边在黑板上画出平面几何图形）
通过设边的关系，我们可以利用相似三角形或等面积法或射影定理来解决。可以求得F
为PB的三等分点。同理，若可以用相似三角形来解，对吧？
生：对。
（全班回应并鼓掌）
师：这个解决的方法非常好。当我们发现例题几何中的动点问题时，我们不妨将其转换成平
面几何问题，这样难点就得到了突破，就形如我们第三组代表同学在黑板上画的几何图
形。（教师一边总结，一边演示课件，并利用黑板平面几何图形进行总结）
好，我们最后一组。
生：我们可以根据第三小组的平面几何图形来
推导，其实就是已知,来推另外
一组线线垂直。同上面的方法，我们可以
得到E为PC的中点。
（学生一边讲解，一边根据平面几何图形
进行演示）
师：回答的完全正确。我们可以总体看一下这几道题，
在证明过程中，再一次运用了基本方法：由已知想性质，由求证想判定。将动点问题，
转化成固定点来考虑。最终将立体几何问题转换成平面几何问题，体现了降维的思想。
师：接下来我们接着思考：若将底面
改成正方形或直角梯形且AC⊥AD，
你能发现改变之后四棱锥是怎样
由三棱锥变成的？
（教师一边演示几何图形的变化
过程，一边提问）
大家观察，四棱锥底边是？
生：正方形。
师：三棱锥的底边是？
生：三角形。
师：那么这个四棱锥的底边由两个三角形拼在了一起，是由什么样的边拼的呢？
生：是由斜边与斜边。
师：那我们看一下这个四棱锥的底边呢：
生：是由两个直角三角形的斜边与直角边拼接的。
师：那我是不是可以这样说，四棱锥是由两个三棱锥拼成的。
生：对。
师：因此，我们回到这节课的重点，只要把三棱锥的垂直关系弄明白了，四棱锥的垂直关系
也是同样的方法。
六、高考链接（升华）
师：接下来，我们把导学案中的
一道高考题做一下解答，同
时注意书写的规范性。
（教师课件演示，学生导学
案中解答，教师巡视）
师：找一位同学简单说一下证明的思路。
生：第一问找线线垂直得面面垂直；第二问通过D为中点，同课上练习题，即为垂直关系；
第三问是动点问题，可由平面几何图形来解。
（全班鼓掌）
师：说得比较简练，那么具体过程落到卷面上，下课交上来老师进行检查，对有问题的证明
过程进行及时的纠正。
课堂小结（反思）
师：我们回顾一下这节课学习了什么？从以下两个方面进行总结：数学知识及数学思想方法。
生：三种垂直关系的转化以及证明方法：由已知想性质，由条件想判定。数学思想是
转化与化归思想。
师：总结的很全面。那么这些就是本节课的重点内容，大家说有了这些方法例题几何题还会
难么？
生：不会了！
（学生齐答）
课后作业（深化）
师：今天的作业是导学案中课后复习部分的1、2题，希望大家课下将你收获的
知识好好巩固，加深记忆。