高中物理教科版必修二 检测： 第三章万有引力定律检测（B） Word版含解析

第三章检测(B)
(时间:60分钟　满分:100分)
一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分.其中第1~6题只有一个选项是正确的,第7~10题有多个选项是正确的,全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.若已知月球绕地球运动可近似看做匀速圆周运动,并且已知月球绕地球运动的轨道半径r,它绕地球运动的周期T,引力常量是G,由此可以知道(　　)
A.月球的质量m=π2r3GT2
B.地球的质量M=4πr3GT2
C.月球的平均密度ρ=3πGT2
D.地球的平均密度ρ'=3πGT2
解析:月球绕地球做圆周运动,万有引力提供向心力,有GMmr2=mr4π2T2,月球的质量无法求出,选项A错误;地球的质量M=4πr3GT2,选项B正确;月球的质量求不出,半径也不知,不能求月球密度,选项C错误;由于不知道地球半径,故算不出地球的平均密度,选项D错误.
答案:B
2.若有一颗“宜居”行星,其质量为地球的p倍,半径为地球的q倍,则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的(　　)
A.pq倍 B.qp倍
C.pq倍 D.pq3倍
解析:由万有引力提供向心力有GMmR2=mv2R,解得v=GMR∝MR,所以该行星卫星的环绕速度是地球卫星的环绕速度的pq倍,本题只有选项C正确.
答案:C
3.双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互引力的作用下,分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现,双星系统演化过程中,两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T,经过一段时间演化后,两星总质量变为原来的k倍,两星之间的距离变为原来的n倍,则此时圆周运动的周期为(　　)
A.n3k2T B.n3kT C.n2kT D.nkT
解析:设双星的质量分别为m1、m2,两星做圆周运动的半径分别为r1、r2,则总质量M=m1+m2,两者之间的距离L=r1+r2.根据万有引力定律及牛顿第二定律得Gm1m2L2=m14π2T2r1、Gm1m2L2=m24π2T2r2,将两式相加整理可得T=4π2L2(r1+r2)G(m1+m2)=4π2L3GM.当总质量变为原来的k倍,距离变为原来的n倍时,周期将变为原来的n3k倍,故选项B正确.
答案:B
4.假设地球可视为质量均匀分布的球体,已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G.地球的密度为(　　)
A.3πGT2·g0-gg0 B.3πGT2·g0g0-g
C.3πGT2 D.3πGT2·g0g
解析:在两极时有GMmR2=mg0,得地球质量M=g0R2G;在赤道时有mg0-mg=m4π2T2R,得地球半径R=(g0-g)T24π2,所以地球密度ρ=M43πR3=3πGT2·g0g0-g,选项B正确.
答案:B
5.如图所示,拉格朗日点L1位于地球和月球连线上,处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下,可与月球一起以相同的周期绕地球运动.据此,科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站,使其与月球同周期绕地球运动.以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小,a3表示地球同步卫星向心加速度的大小.以下判断正确的是(　　)
A.a2>a3>a1 B.a2>a1>a3
C.a3>a1>a2 D.a3>a2>a1
解析:空间站与月球以相同的周期绕地球运动,由 a=r2πT2知a1a2,故D项正确.
答案:D
6.为了实现人类登陆火星的梦想,我国宇航员王跃与俄罗斯宇航员一起进行了“模拟登火星”的实验活动.假设火星半径与地球半径之比为1∶2,火星质量与地球质量之比为1∶9,已知地球表面的重力加速度为g,地球半径为R,引力常量为G,忽略自转的影响,则(　　)
A.火星表面与地球表面的重力加速度之比为2∶9
B.火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为2∶3
C.火星的密度为 g3πGR
D.王跃以相同初速度在火星表面与地球表面能竖直跳起的最大高度之比为9∶2
解析:由GMmR2=mg,得g=GMR2,已知火星半径是地球半径的12,质量是地球质量的19,则火星表面的重
力加速度是地球表面重力加速度的49,即为49g,选项A错误;设火星质量为M',由万有引力定律可得GM’mR’2=mg',解得M'=gR29G,密度为ρ=M’V=2g3πGR,选项C错误;由GMmR2=mv2R,得到v=GMR,火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的23,故选项B正确;王跃以v0在地球起跳时,根据竖直上抛的运动规律得出可跳的最大高度为h=v22g,由于火星表面的重力加速度是49g,王跃以相同的初
速度在火星上起跳时,可跳的最大高度h'=94h,故选项D错误.
答案:B
7.有一宇宙飞船以速度v接近行星表面匀速飞行,测出运动的周期为T,已知引力常量为G,则可得(　　)
A.该行星的半径为vT2π
B.该行星的平均密度为3πGT2
C.无法求出该行星的质量
D.该行星表面的重力加速度为4π2v2T2
解析:由T=2πRv可得R=vT2π,选项A正确;由GMmR2=mv2R可得M=v3T2πG,选项C错误;由M=43πR3·ρ得ρ=3πGT2,选项B正确;由GMmR2=mg得g=2πvT,选项D错误.
答案:AB
8.两颗靠得很近而与其他天体相距很远的天体称为双星,它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动,如果二者质量不相等,则下列说法正确的是(　　)
A.它们做匀速圆周运动的周期相等
B.它们做匀速圆周运动的向心加速度大小相等
C.它们做匀速圆周运动的向心力大小相等
D.它们做匀速圆周运动的半径与其质量成正比
解析:双星系统中两个天体绕着其连线上某一点做匀速圆周运动,它们之间的万有引力是各自做圆周运动的向心力,两天体具有相同的角速度,周期相等,故选项A、C正确;根据F=Gm1m2r2=m1ω2r1=m2ω2r2,两者质量不等,故两天体的轨道半径不等,且m1r1=m2r2,故选项B、D错误.
答案:AC
9.如图所示,有A、B两个行星绕同一恒星O做圆周运动,运转方向相同,A行星的周期为T1,B行星的周期为T2,在某一时刻两行星第一次相遇(即两行星相距最近),则(　　)
A.经过时间t=T1+T2两行星将第二次相遇
B.经过时间t=T1T2T2-T1两行星将第二次相遇
C.经过时间t=T1+T22两行星第一次相距最远
D.经过时间t=T1T22(T2-T1)两行星第一次相距最远
解析:根据开普勒第三定律R3T2=k可知T2>T1,以B和行星中心连线为参照物,则A相对此参照物以ω1-ω2为相对角速度做匀速圆周运动,到第二次相遇即A相对参照物转过2π角度,这中间经历的时间t=2πω1-ω2=2π2πT1-2πT2=T1T2T2-T1;而从第一次相遇到第一次相距最远需相对参照物转过π角度,所以经过时间t'=πω1-ω2=π2πT1-2πT2=T1T22(T2-T1),故选项B、D正确.
答案:BD
10.如图所示,飞行器P绕某星球做匀速圆周运动.星球相对飞行器的张角为θ.下列说法正确的是(　　)
A.轨道半径越大,周期越长
B.轨道半径越大,速度越大
C.若测得周期和张角,可得到星球的平均密度
D.若测得周期和轨道半径,可得到星球的平均密度
解析:根据星球对飞行器的万有引力提供向心力,有GMmr2=m4π2T2r=mv2r,解得T=2πr3GM,v=GMr,半径越大,周期越长,速度越小,选项A正确,选项B错误;设星球的半径为R,由几何关系得Rr=sin θ2,若测得周期和张角,则星球的平均密度ρ=M43πR3=3πGT2sin3θ2,选项C正确;若测得周期和轨道半径,则星球质量M=4π2r3GT2,但由于星球的半径未知,因此不能求出星球的平均密度,选项D错误.
答案:AC
二、填空题(本题共2小题,每小题10分,共20分)
11.地球的两颗人造卫星质量之比m1∶m2=1∶2,轨道半径之比r1∶r2=1∶2.则线速度大小之比为　　　　,角速度大小之比为　　　　,运行周期之比为　　　　,向心力大小之比为　　　　.?
解析:由 Gm'mr2=mv2r,得v= Gm'r,
所以 v1v2=r2r1=21.
由 Gm'mr2=mω2r,得ω= Gm'r3
所以 ω1ω2=r23r13=221.
T1T2=2πω1·ω22π=ω2ω1=122.
同理 F1F2=m1r22m2r12=12·2212=21.
答案:2∶1　22∶1　1∶22　2∶1
12.此前,我国曾发射“神舟”系列载人航天器进行试验飞行,飞船顺利升空,在绕地球轨道飞行数圈后成功回收.航天工程是个庞大的综合工程,理科知识在航天工程中有许多重要的应用.
(1)地球半径为6 400 km,地球表面重力加速度g取9.8 m/s2,若使载人航天器在离地面高640 km的圆轨道上绕地球飞行,则在轨道上的飞行速度为　　　　m/s.(保留两位有效数字)?
(2)载人航天器在加速上升的过程中,宇航员处于超重状态,若在离地面不太远的地点,宇航员对支持物的压力是他在地面静止时重力的4倍,则此时航天器的加速度为　　　　.?
解析:(1)航天器在轨道上运行时,地球对航天器的引力提供航天器所需的向心力,GMm(R+h)2=mv2R+h.
在地面上GMmR2=mg,解得v=7.6×103 m/s.
(2)加速上升时宇航员处于超重状态,根据牛顿第二定律得N-mg=ma,
由牛顿第三定律可知N=4mg,
解得a=3g.
答案:(1)7.6×103　(2)3g
三、计算题(本题共4小题,共40分)
13.(8分)我国“神舟”系列飞船成功地将宇航员送入太空并安全返回.如果把“神舟”载人飞船绕地球运行看成匀速圆周运动,宇航员测得自己绕地心做匀速圆周运动的周期为T、距地面的高度为H,且已知地球半径为R、地球表面重力加速度为g,引力常量为G.你能计算出下面哪些物理量?能计算的量写出计算过程和结果,不能计算的量说明理由.
(1)地球的质量.
(2)飞船线速度的大小.
(3)飞船所需的向心力.
解析:(1)能求出地球的质量M.
方法一　由GMmR2=mg得M=gR2G;
方法二　由GMm(R+H)2=m4π2T2(R+H)得
M=4π2(R+H)3GT2.
(2)能求出飞船线速度的大小v.
方法一　v=2π(R+H)T;
方法二　GMm(R+H)2=mv2R+H,又GM=gR2,
故v=RgR+H.
(3)不能算出飞船所需的向心力,因为飞船的质量未知.
答案:见解析
14.(10分)发射地球同步卫星时,先将卫星发射到距地面高度为h1的近地圆轨道上,在卫星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道,最后在椭圆轨道的远地点B点再次点火将卫星送入同步轨道,如图所示.已知同步卫星的运动周期为T,地球的半径为R,地球表面重力加速度为g,忽略地球自转的影响,求:
(1)卫星在近地点A的加速度大小.
(2)远地点B距地面的高度.
解析:(1)设地球质量为M,卫星质量为m,引力常量为G,卫星在A点的加速度大小为a,由牛顿第二定律得GMm(R+h1)2=ma
物体在地球赤道表面上受到的万有引力等于重力,则GMmR2=mg
解以上两式得a=R2g(R+h1)2.
(2)设远地点B距地面高度为h2,卫星受到的万有引力提供向心力,由牛顿第二定律得
GMm(R+h2)2=m4π2T2(R+h2)
解得h2=3gR2T24π2?R.
答案:(1)R2g(R+h1)2　(2)3gR2T24π2?R
15.(10分)人们认为某些白矮星(密度较大的恒星)每秒大约自转一周(引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,地球半径R约为6.4×103 km).
(1)为使其表面上的物体能够被吸引住而不致由于快速转动而被“甩”掉,它的密度至少为多少?
(2)假设某白矮星的密度约为(1)计算所得的值,且其半径等于地球半径,则它的第一宇宙速度约为多少?
解析:(1)设白矮星赤道上的物体m恰好不被甩出去,万有引力刚好提供其转动所需向心力,有
GMmr2=m2πT2r
则M=4π2r3GT2
又由于白矮星的体积V=43πr3
则ρ=MV=4π2r3GT243πr3=3πGT2=3×3.146.67×10-11×12 kg/m3=1.41×1011 kg/m3.
(2)白矮星的第一宇宙速度就是物体在万有引力作用下沿白矮星表面绕它做匀速圆周运动时的速度,即GMmR2=mv2R.白矮星的第一宇宙速度为
v=GMR=Gρ·43πR3R=43πGρR2=43×3.14×6.67×10-11×1.41×1011×(6.4×106)2 m/s
=4.02×107 m/s.
答案:(1)1.41×1011 kg/m3　(2)4.02×107 m/s
16.(12分)由三颗星体构成的系统,忽略其他星体对它们的作用,存在着一种运动形式,三颗星体在相互之间的万有引力作用下,分别位于等边三角形的三个顶点上,绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况).若A星体质量为2m,B、C两星体的质量均为m,三角形的边长为a,求:
(1)A星体所受合力大小FA.
(2)B星体所受合力大小FB.
(3)C星体的轨道半径RC.
(4)三星体做圆周运动的周期T.
解析:(1)由万有引力定律,A星体所受B、C星体引力大小为
FBA=GmAmBr2=G2m2a2=FCA　方向如图
则合力大小FA=23Gm2a2.
(2)同上,B星体所受A、C星体引力大小分别为
FAB=GmAmBr2=G2m2a2
FCB=GmCmBa2=Gm2a2　方向如图
由FBx=FABcos 60°+FCB=2Gm2a2
FBy=FABsin 60°=3Gm2a2
可得FB=FBx2+FBy2=7Gm2a2.
(3)通过分析可知,圆心O在中垂线AD的中点,RC=34a2+12a2
??或:由对称性可知OB=OC=RC　cos∠OBD=??FBxFB=DBOB=12aRC
可得RC=74a.
(4)三星体运动周期相同,对C星体,由FC=FB=7Gm2a2=m2πT2RC
可得T=πa3Gm.
答案:(1)23Gm2a2
(2)7Gm2a2
(3)74a
(4)πa3Gm