2019_2020学年高中数学第三章函数的应用阶段质量检测（含解析）新人教A版必修1

阶段质量检测(三)　函数的应用
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列图象表示的函数中没有零点的是(　　)

2．函数f(x)＝xln x的零点为(　　)
A．0或1 B．1
C．(1,0) D．(0,0)或(1,0)
3．方程0.9x－x＝0的实数解的个数是(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
4．若等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为(　　)
A．y＝20－2x(x≤10) B．y＝20－2x(x<10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(55．已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)
A．bC．b6．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：
x 3 4 5 6 7 8
f(x) 123.56 21.45 －7.82 －11.57 53.76 126.49
则函数f(x)在区间[3,8]内的零点至少有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
7．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　　)
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x
8．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是(　　)


9．设函数f(x)＝x与g(x)＝3－x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
10．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　)
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2
11．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋x－4的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4

12．函数f(x)＝3ax＋1－2a，在区间(－1,1)上存在一个零点，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1)∪
B.
C.
D．(－∞，－1)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________．
14．求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
15．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
16．定义区间[x1，x2](x1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)设函数f(x)＝求函数g(x)＝f(x)－的零点．
18．(12分)用二分法求方程2x＋x－8＝0在区间(2,3)内的近似解．(精确度为0.1，参考数据：22.5≈5.657，22.25≈4.757,22.375≈5.187,22.437 5≈5.417，22.75≈6.727)
19．(12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
20．(12分)若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值范围．
21．(12分)已知函数f(x)＝
(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．
22．(12分)某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四月的污染度如下表：
月数 1 2 3 4 …
污染度 60 31 13 0 …
污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：
f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝(x－4)2(x≥1)，h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度．
(1)选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；
(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60?


阶段质量检测(三)　函数的应用（解析版）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列图象表示的函数中没有零点的是(　　)

解析：函数没有零点即相应的函数图象与x轴没有交点，观察图象可知选项A中图象表示的函数没有零点．
答案：A
2．函数f(x)＝xln x的零点为(　　)
A．0或1 B．1
C．(1,0) D．(0,0)或(1,0)
解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由f(x)＝0得x＝0或ln x＝0，
即x＝0或x＝1.
又因为x∈(0，＋∞)，所以x＝1.故选B.
答案：B
3．方程0.9x－x＝0的实数解的个数是(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：设f(x)＝0.9x－x，则f(x)为减函数，值域为R，故f(x)有1个零点，∴方程0.9x－x＝0有一个实数解．
答案：B
4．若等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为(　　)
A．y＝20－2x(x≤10) B．y＝20－2x(x<10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5解析：由题意，得2x＋y＝20，∴y＝20－2x.
∵y>0，∴20－2x>0，∴x<10.
又∵三角形两边之和大于第三边，
∴，解得x>5，
∴5答案：D
5．已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)
A．bC．b解析：因为a＝2＝16，b＝4＝16，c＝25，且幂函数y＝x在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b答案：A
6．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：
x 3 4 5 6 7 8
f(x) 123.56 21.45 －7.82 －11.57 53.76 126.49
则函数f(x)在区间[3,8]内的零点至少有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：根据零点的存在性定理可知，函数f(x)在区间(4,5)，(6,7)内至少各存在一个零点，故函数f(x)在区间[3,8]内至少有2个零点．
答案：A
7．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　　)
A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x
解析：经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.
答案：D
8．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是(　　)


解析：兔子在中间一段时间内路程是不变的，且当乌龟到达终点时兔子还差一点，选B.
答案：B
9．设函数f(x)＝x与g(x)＝3－x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：令h(x)＝x－(3－x)，则f(0)＝－2，f(1)＝－，f(2)＝－，f(3)＝.故h(x)的零点在(2,3)内，因此两函数图象交点在(2,3)内．选C.
答案：C
10．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　)
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2
解析：三种常见增长型函数中，指数型函数呈爆炸式增长，而对数型函数增长越来越慢，幂函数型函数介于两者之间，结合题表，只有C符合上述规律，故选C.
答案：C
11．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋x－4的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：函数y＝f(x)＋x－4的零点，即函数y＝－x＋4与y＝f(x)的交点的横坐标，如图所示，函数y＝－x＋4与y＝f(x)的图象有两个交点，故函数y＝f(x)＋x－4的零点有2个．故选B.

答案：B
12．函数f(x)＝3ax＋1－2a，在区间(－1,1)上存在一个零点，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1)∪
B.
C.
D．(－∞，－1)
解析：由题意或
即或
整理得或
解得a>或a<－1，故选A.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________．
解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.
答案：－
14．求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
解析：f(x)＝x3－2x－5，f(2)<0，f(3)>0，f(2.5)>0，
则f(2)·f(2.5)<0，即下一个有根区间是(2，2.5)．
答案：(2,2.5)
15．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
解析：由题意知，当t＝时，y＝2，即2＝e，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.
当t＝5时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.
即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.
答案：2ln 2　1 024
16．定义区间[x1，x2](x1解析：作出函数y＝2|x|的图象(如图所示)

当x＝0时，y＝20＝1，
当x＝－1时，y＝2|－1|＝2，
当x＝1时，y＝21＝2，
所以当值域为[1,2]时，区间[a，b]的长度的最大值为2，最小值为1，它们的差为1.
答案：1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)设函数f(x)＝求函数g(x)＝f(x)－的零点．
解析：求函数g(x)＝f(x)－的零点，
即求方程f(x)－＝0的根．
当x≥1时，由2x－2－＝0得x＝；
当x<1时，由x2－2x－＝0得x＝(舍去)或x＝.
所以函数g(x)＝f(x)－的零点是或.
18．(12分)用二分法求方程2x＋x－8＝0在区间(2,3)内的近似解．(精确度为0.1，参考数据：22.5≈5.657，22.25≈4.757,22.375≈5.187,22.437 5≈5.417，22.75≈6.727)
解析：设函数f(x)＝2x＋x－8，
则f(2)＝22＋2－8＝－2<0，
f(3)＝23＋3－8＝3>0，
所以f(2)·f(3)<0，
说明这个函数在区间(2,3)内有零点x0，即原方程的解．
用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点的值 中点函数近似值
(2,3) 2.5 0.157
(2,2.5) 2.25 －0.993
(2.25,2.5) 2.375 －0.438
(2.375,2.5) 2.437 5 －0.145 5
由表中数据可得x0∈(2,2.5)，x0∈(2.25,2.5)，x0∈(2.375，2.5)，x0∈(2.437 5,2.5)．
因为|2.437 5－2.5|＝0.062 5<0.1，
所以方程2x＋x－8＝0在区间(2,3)内的近似解可取为2.437 5.
19．(12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解析：(1)由题意知
y＝
(2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，
2log5(x－9)＝4，log5(x－9)＝2，
所以x－9＝52，解得x＝34.
答：老江的销售利润是34万元．
20．(12分)若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值范围．
解析：(1)若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，函数必有一个零点－1.
(2)若a≠0，函数是二次函数，因为二次方程ax2－x－1＝0只有一个实数根，所以Δ＝1＋4a＝0，得a＝－.
综上，当a＝0或－时，函数只有一个零点．
21．(12分)已知函数f(x)＝
(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝1时，由x－＝0?x＝，x2＋2x＝0?x1＝0，x2＝－2，
所以f(x)的零点为，0，－2.
(2)显然，函数g(x)＝x－在上递增，
且g＝－；
函数h(x)＝x2＋2x＋a－1在上也递增，且h＝a＋，
故若函数f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，则a＋≤－，所以a≤－，
故a的取值范围为.
22．(12分)某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四月的污染度如下表：
月数 1 2 3 4 …
污染度 60 31 13 0 …
污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：
f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝(x－4)2(x≥1)，h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度．
(1)选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；
(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60?
解析：(1)用h(x)模拟比较合理，理由如下：
因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，
h(2)＝30，f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5，
由此可得h(x)更接近实际值，
所以用h(x)模拟比较合理．
(2)因为h(x)＝30|log2x－2|在x≥4时是增函数，
又因为h(16)＝60，故整治后有16个月的污染度不超过60.





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