课件19张PPT。2.1《椭圆》 教学目标 1.知识目标
①建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程，
②能根据已知条件求椭圆的标准方程，
③进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法，体会数形结合的数学思想。
2.能力目标
①让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培养解决实际问题的能力，
②培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力，
③提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。3.情感目标
①亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶，
②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，
③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。
4、重点难点
基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为：
①重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法，
②难点：椭圆的标准方程的推导。
§2.1 椭圆及其标准方程
２００３年10月15日9时我国首位航天员杨利伟乘坐的“神舟”五号载人飞船，在酒泉卫星发射中心成功升空。随着那一声冲天而起的火光和共鸣，它顺利地进入了预定轨道。它升起的不仅是载人飞船，还有中国人的骄傲与自信！ 设置情境 问题诱导 2005年10月12日上午9时，“神舟六号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问： “神舟六号”载人飞船的运行轨道是什么？ 神舟六号在进入太空后，先以远地点347公里、近地点200公里的椭圆轨道运行，后经过变轨调整为距地343公里的圆形轨道.复习提问：
1．圆的定义是什么？
2．圆的标准方程是什么？绘图纸上的三个问题1．视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？
2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
3．绳长能小于两图钉之间的距离吗？ 导入新课： 探究：|MF1|+ |MF2|＞|F1F2| 椭圆|MF1|+ |MF2|=|F1F2| 线段|MF1|+ |MF2|＜|F1F2| 不存在xy 以F1、F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2
的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系．P( x , y )设 P( x，y )是椭圆上任意一点设F1F=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0) 椭圆上的点满足PF1+PF2
为定值，设为2a，则2a>2cOb2x2+a2y2=a2b2 探究：如何建立椭圆的方程？方
程
特
点（2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0；（4）a、b、c都有特定的意义，
a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；c—半焦距.
有关系式 成立。2.椭圆的标准方程(3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上；（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；变式演练 加深理解 解：（1）所求椭圆标准方程为 （2）所求椭圆标准方程为 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1). (2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)所求椭圆的标准方程为（２）所求椭圆的标准方程是.求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；（3）用待定系数法确定a、b的值，
写出椭圆的标准方程.例3 已知椭圆经过两点 ,求椭圆的标准方程 解：设椭圆的标准方程则有 ，解得 所以，所求椭圆的标准方程为变式题组一变式题组二反思总结 提高素质 椭圆标准方程的求法：一定焦点位置；
二设椭圆方程；
三求a、b的值.F1(-c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0,c) 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.b2 = a2 –c2 椭圆的两种标准方程中，总是 a＞b＞0. 所以哪个项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就越大.作业：
一. 人教版选修P42 1,22. 1.1椭圆的标准方程
一 预习目标
理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．
二 预习内容
1.什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？
．
2.圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？
3．椭圆的定义：----------------------------------------------------------------?轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的-------------，两焦点的距离叫做?----------------。
4. 椭圆标准方程的推导：
①建系；以-----------为 轴，-----------??为 轴，建立直角坐标系，则 的坐标分别为：--------------------
②写出点集；设P（ ）为椭圆上任意一点，根据椭圆定义知：?------------------------------
③坐标化；
④化简（注意根式的处理和令a2-c2=b2）???
类似的，焦点在----- 轴上的椭圆方程为?：--------------------------??其中焦点坐标为：--------------------------
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1..通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力。
2通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．
重点：椭圆的定义的理解及其标准方程记忆
难点：椭圆标准方程的推导
二、学习过程
1.思考：
(1)动点是在怎样的条件下运动的？
(2)动点运动出的轨迹是什么？
得出结论：
在平面上到两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹为
2．推导椭圆的标准方程．
1)建系：以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任意一点的坐标为M(x，y)，
设两定点坐标为：
F1(-c，0)，F2(c，0)，
2)则M满足：|MF1|+|MF2|=2a，
思考：我们要化简方程就是要化去方程中的根式，你学过什么办法？
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．
b2=a2-c2
得：
3.例题
例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．
设椭圆的标准方程为--------------------，因点在椭圆上，
代入化简可得标准方程。
例2 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？
分析：点在圆上运动，由点移动引起点的运动，则称点是点的伴随点，因点为线段的中点，则点的坐标可由点来表示，从而能求点的轨迹方程
例3如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程．
分析：若设点，则直线，的斜率就可以用含的式子表示，由于直线，的斜率之积是，因此，可以求出之间的关系式，即得到点的轨迹方程．
三、反思总结
1.椭圆方程得标准形式为：
2.求动点轨迹方程的步骤是什么？
四、当堂检测
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
? （1）两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
? （2）两个焦点的坐标分别是（0，-2），（0，2），并且椭圆经过点
2. 平面内两个定点的距离为8，动点M到两个定点的距离的和为10，求动点M的轨迹方程。
课后练习与提高
??
?? A、5???? B、5或8?? C、3或5??? D、20
2、如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）
A、(0,+∞)??? B、(0,2)??? C、(1,+∞)????? D、(0,1) ???????
? ??? A、2??? B、3??? C、5??? D、7
???
?? A、2a???? B、4a???? C、8a????? D、2a+2b
?5、若关于x、y的方程x2sinα-y2cosα=1所表示的曲线是椭圆，则方程(x+cosα)2+(y+sinα)2=1所表
? ? 示的圆的圆心在（ ）
?? A、第一象限? B、第二象限? C、第三象限? D、第四象限
?6、已知椭圆的焦点是F1（-1，0），F2（1，0），点P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等
? ? 差中项，则椭圆的方程是（? ）
???????
?7、已知椭圆 上一点P到其一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（ ）
?? A、2?? B、3???? C、5???? D、7
?8、如果椭圆E：4x2+y2=k上两点间的距离最大是8，则k值为（ ）
?? A、32??? B、16?? C、8?? D、4
?9、已知F1、F2是椭圆 的两焦点，过点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|的值为（ ）
?? A、11??? B、10???? C、9???? D、16
?10、已知椭圆的标准方程是 ，M1、M2为椭圆上的点。
?? （1）点M1（4，2.4）与焦点的距离分别是________,______;
?? （2）点M2到一个焦点的距离等于3，则它到另一焦点的距离等于_________.
2.1.1椭圆及其标准方程
教学目标：
1．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；
2．能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；
3．通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；
4．通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力；
5．通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识．
重点：椭圆的定义的理解及其标准方程记忆
难点：椭圆标准方程的推导
教学过程
一、复习并引入新课
思考问题：
1.在解析几何中，我们通常把动点按照某种规律运动形成的轨迹叫做曲线．曲线和方程的关系是什么？
（如果曲线上任意一点的坐标都是方程f(x，y)=0的解，同时以方程f(x，y)=0的解为坐标的点又都在曲线上，那么方程就是曲线的方程，曲线就是方程的曲线．）
2.圆的定义是：在平面上，到定点的距离等于定长的点的轨迹；那么当动点满足哪些条件时轨迹仍然是圆？
（①平面上到两个定点(距离为2d)距离的平方和等于定值a(a＞2d2)的点的轨迹是圆；
②平面上，与两个定点连线的斜率乘积为-1的点的轨迹是圆．）
由此可见，平面上到两个定点距离或与两个定点连线满足某种条件的点的轨迹比较特殊，下面就从这点出发研究．
二、讲授新课
1．请学生观察计算机演示如图2-23，并思考两个问题．
(1)动点是在怎样的条件下运动的？
(2)动点运动出的轨迹是什么？
（3）是否到两个定点距离之和等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢？
观察后请学生回答．
(学生可能一时答不出，教师可请学生观察计算机演示如图2-24并思考．)
（4）当两个定点位置变化时，轨迹发生了怎样的变化？
从而得出结论：
在平面上到两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹为
最后由学生口述教师板书：把平面内与两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹叫做椭圆，其中2a＞|F1F2|．顺便可以指出两个定点叫做焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距，用2c(c＞0)表示．
2．推导椭圆的标准方程．
思考问题：
（1）求曲线方程的步骤是什么？
（2）求到两个定点F1，F2距离之和等于定值2a(2a＞|F1F2|)的点的轨迹．
（求曲线方程的步骤是：①建立坐标系设动点坐标：②寻找动点满足的几何条件；③把几何条件坐标化；④化简得方程；⑤检验其完备性．）
注：建立直角坐标系一般应符合简单和谐化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线的斜率等)的表达式简单化，注意要充分利用图形的特殊性．
(让学生思考后回答)
教师归纳大体上有如下三个方案：
①取一个定点为原点，以F1，F2所在直线为x轴建立直角坐标系，如图2-25；
②以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，如图2-26；
③以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，最后选定方案②，如图2-27，推导出方程．
解? 1)建系：以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任意一点的坐标为M(x，y)，
设两定点坐标为：
F1(-c，0)，F2(c，0)，
2)则M满足：|MF1|+|MF2|=2a，
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．
启发学生观察图形如图2-28，看看a与c的关系如何？
(根据椭圆定义知道a2＞c2，且如图所示，a与c可以看成Rt△MOF2的斜边和直角边．)
不妨令b2=a2-c2，则方程就变形为b2x2+a2y2=a2b2，再化简，
(*)
(*)式就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，最后说明：
1)方程中条件a＞b＞0不可缺少(结合图形)，当a=b＞0时，就化成圆心在原点的圆的方程，从而进一步说明圆是椭圆的特例；(这实际上是一种极限情况．)
2)b的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即：b2=a2-c2；
3)请学生猜想：若用方案③(即焦点在y轴上)，得到的方程形式又如何呢？
(启发学生根据对称性进行猜想)
三、例题
例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．
分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出．引导学生用其他方法来解．
另解：设椭圆的标准方程为，因点在椭圆上，
则．
例2 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？
分析：点在圆上运动，由点移动引起点的运动，则称点是点的伴随点，因点为线段的中点，则点的坐标可由点来表示，从而能求点的轨迹方程．
引申：设定点，是椭圆上动点，求线段中点的轨迹方程．
解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设，；②（点与伴随点的关系）∵为线段的中点，∴；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵，∴点的轨迹方程为；④伴随轨迹表示的范围．
例3如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程．
分析：若设点，则直线，的斜率就可以用含的式子表示，由于直线，的斜率之积是，因此，可以求出之间的关系式，即得到点的轨迹方程．
解法剖析：设点，则，；
代入点的集合有，化简即可得点的轨迹方程．
引申：如图，设△的两个顶点，，顶点在移动，且，且，试求动点的轨迹方程．
引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当值在变化时，线段的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．
作业：P40练习
课件65张PPT。2.1.1 椭圆及其标准方程 数学：2.1《椭圆及其标准方程》教案（新人教A选修2-1）（原创）
一、教学目标：
知识与技能：
理解椭圆标准方程的推导；掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标.
过程与方法：
让学生经历椭圆标准方程的推导过程，进一步掌握求曲线方程的一般方法，体会数形结合等数学思想；培养学生运用类比、联想等方法提出问题.
情感态度与价值观：
通过具体的情境感知研究椭圆标准方程的必要性和实际意义；体会数学的对称美、简洁美，培养学生的审美情趣，形成学习数学知识的积极态度.
二、教学重点与难点
重点：椭圆的标准方程
难点：椭圆标准方程的推导
三、教学过程：
（一）讲授新课
1．演示定义：
我们把 叫做椭圆，这两个定点F1、F2叫做椭圆的 ,两个焦点之间的距离叫做椭圆的 ，通常用2c（c>0）表示，而这个常数通常用2a表示,椭圆用集合表示为 。
问题（1）定义应注意哪几点？
（2）定长和两个定点之间的距离大小还有哪些情况?.[来源:Z*xx*k.Com]
2．椭圆的标准方程
（1）回顾求圆的标准方程的的基本步骤： y[来源:Zxxk.Com]
M
0 x
（2）椭圆标准方程的推导
观察：你能从中找出a,c,表示的线段吗？
我们推导出焦点在X轴的椭圆的标准方程为:
思考：焦点在Y轴上椭圆的标准方程？ .
小结：同学们完成下表
椭圆的定义
图形
标准方程
焦点坐标
[
a,b,c的关系
焦点位置的判断
（二）题组训练:
题组一：
1.在椭圆中,a= ,b= ,焦距是 焦点坐标是 ,______.焦点位于________轴上
2.如果方程表示焦点在X轴的椭圆,则实数m的取值范围是 ．
题组二：
求适合下列条件的椭圆的标准方程
1.a=4,b=1,焦点在x轴上.
2.a=4,c=,焦点在坐标轴上
题组三：
1.已知两定点（-3，0），（3，0），若点P满足，则点P的轨迹是 ，若点P满足，则点P的轨迹是 .
2.P为椭圆上一点,P到一个焦点的距离为4,则P到另一个焦点的距离为
3.椭圆,过焦点F1的直线交椭圆于A,B两点,则的周长为
题组四：
1.如果点M(x,y)在运动过程,总满足关系式:,点M的轨迹是什么曲线?写出它的方程.
2.已知△ABC的一边长，周长为16，求顶点A的轨迹方程.
[来源:Z§xx§k.Com]
（三）课堂小结：[来源:Zxxk.Com]
1．椭圆的定义，应注意什么问题？
2．求椭圆的标准方程，应注意什么问题？
（四）布置作业：
1．已知椭圆两个焦点（-2，0），F2（2，0），并且经过点P，求它的标准方程.
2．椭圆的两个焦点F1（-8，0），F2（8，0），且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，求此椭圆的标准方程.[来
3．若B（-8，0），C（8，0）为的两个顶点，AC和AB两边上的中线和是30，求的重心G的轨迹方程.
椭圆 同步测试
选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的.）
1．椭圆的焦距是 （ ）
A．2 B． C． D．
2．F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是 （ ）[来源:学科网ZXXK][来源:学科网]
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆
3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是 （ ）
A． B． C． D．
4．方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是 （ ）
A． B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）
5. 过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是（ ）
A. B. 2 C. D. 1
6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
7. 已知＜4，则曲线和有（ ）
A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴
8．已知是椭圆上的一点，若到椭圆右准线的距离是，则点到左焦点的距离是 （ ）
A． B． C． D．
9．若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
10．椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为 （ ）
A． B．
C． D．
11．椭圆上的点到直线的最大距离是 （ ）[来源:Z&xx&k.Com]
A．3 B． C． D．
12．在椭圆内有一点P（1，－1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是 （ ）[来源:学科网]
A． B． C．3 D．4
填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.）
13．椭圆的离心率为，则 。
14．设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为 ；最小值为 。
15．直线y=x－被椭圆x2+4y2=4截得的弦长为 。
16．已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为 。
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知三角形的两顶点为，它的周长为,求顶点轨迹方程．
18、椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
19、中心在原点，一焦点为F1（0，5）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是，求此椭圆的方程。
20、设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，）到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程。
21、椭圆 上不同三点 与焦点
F（4，0）的距离成等差数列．
（1）求证 ；
（2）若线段 的垂直平分线与 轴的交点为 ，求直线 的斜率 ．
22、椭圆＞＞与直线交于、两点，且，其中为坐标原点.
（1）求的值；
（2）若椭圆的离心率满足≤≤，求椭圆长轴的取值范围.
参考答案
选择题：
ACDD ADBD BBDC[来源:Zxxk.Com]
填空题
13、3或 14、 4 ， 1 15、 16、
解答题
17、
18、解：（1）当 为长轴端点时， ， ，
椭圆的标准方程为： ；
（2）当 为短轴端点时， ， ，
椭圆的标准方程为： ；
19、设椭圆：（a＞b＞0），则a2＋b2=50…①
又设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0）
∵x0=，∴y0=－2=－
由…②
解①，②得：a2=75，b2=25，椭圆为：=1
20、 ∵e2==
∴椭圆方程可设为：
设A（x，y）是椭圆上任一点，则：│PA│2=x2+（y－）2=－3y2－3y+4b2+
f（y）（－b≤y≤b）
讨论：1°、－b＞－0＜b＜时，│PA│= f（－b）=（b＋）2
=
但b＞，矛盾。不合条件。
2°、－b≤－ b≥时，│PA│= f（－）=4b2+3=7 b2=1
∴所求椭圆为：[来源:学科网ZXXK]
21、证明：（1）由椭圆方程知 ， ， ．
由圆锥曲线的统一定义知： ，
∴?? ．
同理?? ．
∵?? ，且 ，
?? ∴? ，
即?? ．[来源:学科网ZXXK][来源:学+科+网]
（2）因为线段 的中点为 ，所以它的垂直平分线方程为
又∵点 在 轴上，设其坐标为 ，代入上式，得
又∵点 ， 都在椭圆上，
∴? [来源:Zxxk.Com]
∴? ．
将此式代入①，并利用 的结论得
22、[解析]：设，由OP ⊥ OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0
又将
，
代入①化简得 .
(2) 又由（1）知
，∴长轴 2a ∈ [].
直线与椭圆位置关系学案
巩义二中高二数学（文科）备课组
一、学习目标：在掌握椭圆的方程、性质的基础上，类比直线与圆的位置关系，尝试用代数法解决直线和椭圆的位置关系，体会坐标法和数形结合思想
二、学习重点：直线与椭圆的位置关系的判断、求弦长
三、知识链接：
在必修2中我们如何研究直线和圆的位置关系？（代数法、几何法）
[来源:Z§xx§k.Com]
四、课前准备：
1、直线l经过椭圆的右焦点且倾斜角为，则直线l的方程是
2、求下列直线和椭圆的交点坐标：[来源:Zxxk.Com][来源:学_科_网Z_X_X_K]
（1）3x+10y-25=0，
(2)3x-y+2=0， [来源:Zxxk.Com]
3、过椭圆C：的焦点引垂直于轴的弦，则弦长为
五、问题探究
1、经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于A、B两点，求AB的长。
探究：你如何用代数法研究直线和椭圆的位置关系？
2、已知椭圆及直线。
（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。
3、已知椭圆，直线l：。椭圆上是否存在一点，它到直线距离最小？最小距离是多少？
六、巩固练习
1、如果直线与椭圆恒有公共点，则b的取值范围是（ ）
A． B.
C. D.
2、直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B. C. D.
3、已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于A、B两点，|AB|=
4、椭圆的弦被点P（2，1）所平分，求此弦所在的直线方程。
5、已知椭圆，一组平行直线的斜率是。
这组直线何时与椭圆相交？
当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上。
七、小结与反思
1、本学案你做得好吗？（ ）
A 很好 B一般 C很差
2、本节课你的收获是什么？
椭圆习题课学案（3）
高二数学（文科）备课组
一、学习目标：在掌握椭圆的方程、性质的基础上，了解椭圆的焦半径公式以及焦点三角形的性质
二、学习重点：焦半径公式、焦点三角形
三、知识链接：
椭圆的第一定义
椭圆的第二定义
四、问题探究
1、已知椭圆的焦点坐标是和，直线是椭圆的一条准线。
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在这个椭圆上，且，求。
2、已知椭圆的焦点坐标是和，是椭圆上的任一点，求证：，
3.已知椭圆的焦点坐标是和，是椭圆上的任一点，
（1）求的最大值及最大时点的坐标。
（2）的最大值。
（3）设，求证：
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五、巩固练习
1、点是椭圆上一点，和是椭圆的两个焦点，若，则的面积为 。
2、椭圆的焦点是和，是椭圆上的动点，当为钝角时，求点的横坐标的取值范围。
3、和是椭圆的两个焦点，在椭圆上，，求椭圆离心率的取值范围。
4、已知椭圆的焦点坐标是和，若在椭圆上存在一点P，使.=0，求椭圆的离心率的取值范围。
5、设和是椭圆的左、右焦点。若P是该椭圆上的一个动点，求.的最大值和最小值。
椭圆同步测试
选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的.）
1．椭圆的焦距是 （ ）
A．2 B． C． D．
2．F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是 （ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆
3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是 （ ）
A． B． C． D．
4．方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是 （ ）
A． B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）
5. 过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是（ ）
A. B. 2 C. D. 1
6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
7. 已知＜4，则曲线和有（ ）
A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴
8．已知是椭圆上的一点，若到椭圆右准线的距离是，则点到左焦点的距离是 （ ）
A． B． C． D．
9．若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
10．椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为 （ ）
A． B．
C． D．
11．椭圆上的点到直线的最大距离是 （ ）
A．3 B． C． D．
12．在椭圆内有一点P（1，－1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是 （ ）
A． B． C．3 D．4
填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.）
13．椭圆的离心率为，则 。
14．设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为 ；最小值为 。
15．直线y=x－被椭圆x2+4y2=4截得的弦长为 。
16．已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为 。
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知三角形的两顶点为，它的周长为,求顶点轨迹方程．
18、椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
19、中心在原点，一焦点为F1（0，5）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是，求此椭圆的方程。
20、设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，）到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程。
21、椭圆 上不同三点 与焦点
F（4，0）的距离成等差数列．
（1）求证 ；
（2）若线段 的垂直平分线与 轴的交点为 ，求直线 的斜率 ．
22、椭圆＞＞与直线交于、两点，且，其中为坐标原点.
（1）求的值；
（2）若椭圆的离心率满足≤≤，求椭圆长轴的取值范围.
椭圆 参考答案
选择题：
ACDD ADBD BBDC
填空题
13、3或 14、 4 ， 1 15、 16、
解答题
17、
18、解：（1）当 为长轴端点时， ， ，
椭圆的标准方程为： ；
（2）当 为短轴端点时， ， ，
椭圆的标准方程为： ；
19、设椭圆：（a＞b＞0），则a2＋b2=50…①
又设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0）
∵x0=，∴y0=－2=－
由…②
解①，②得：a2=75，b2=25，椭圆为：=1
20、 ∵e2==
∴椭圆方程可设为：
设A（x，y）是椭圆上任一点，则：│PA│2=x2+（y－）2=－3y2－3y+4b2+
f（y）（－b≤y≤b）
讨论：1°、－b＞－0＜b＜时，│PA│= f（－b）=（b＋）2
=
但b＞，矛盾。不合条件。
2°、－b≤－ b≥时，│PA│= f（－）=4b2+3=7 b2=1
∴所求椭圆为：
21、证明：（1）由椭圆方程知 ， ， ．
由圆锥曲线的统一定义知： ，
∴?? ．
同理?? ．
∵?? ，且 ，
?? ∴? ，
即?? ．
（2）因为线段 的中点为 ，所以它的垂直平分线方程为
又∵点 在 轴上，设其坐标为 ，代入上式，得
又∵点 ， 都在椭圆上，
∴?
∴? ．
将此式代入①，并利用 的结论得
22、[解析]：设，由OP ⊥ OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0
又将
，
代入①化简得 .
(2) 又由（1）知
，∴长轴 2a ∈ [].
