课件15张PPT。2.2.1《双曲线及其标准方程》 教学目标 知识与技能目标
理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法。
过程与方法目标
（1）预习与引入过程
预习教科书有关内容，思考当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？ 问题1：椭圆的定义是什么？问题2：椭圆的标准方程是怎样的?问题3：如果把上述定义中“距离的和”改为“距离的差”那么点 的轨迹会发生怎样的变化？复习引入？1.双曲线的定义：这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。2.标准方程的推导① 建系② 设点③ 列式④化简代入得3.两种标准方程的比较① 方程用“－”号连接。③ 。 练一练答案：题后反思（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。例题解：因为双曲线的焦点在轴 上，所以设它的标准方程为因为 ，所以 ，所以因此，双曲线的标准方程为小结：求标准方程要做到先定型，后定量。练一练求适合下列条件的双曲线的标准方程。
①焦点在在轴 上， ；
②焦点在在轴 上，经过点 .答案: ①令则解得故所求双曲线的标准方程为例题2.已知A，B 两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2秒，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。分析：假设爆炸点为P，爆炸点距A地比B地远；爆炸点P的轨迹是靠近B处
的双曲线的一支。ABP归纳小结双曲线的定义双曲线的标准方程应用布置作业60页练习1、2；
66页习题2.3 A组1、2题。1. 1.3双曲线及其标准方程
课前预习学案
一、预习目标
①双曲线及其焦点,焦距的定义。
②双曲线的标准方程及其求法。
③双曲线中a，b，c的关系。
④双曲线与椭圆定义及标准方程的异同。
二、预习内容
双曲线的定义。
利用定义推导双曲线的标准方程并与椭圆的定义、标准方程和推导过程进行李类比。
掌握a，b，c之间的关系。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、教学过程
前面我们学习过椭圆，知道“平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆”。
下面我们来考虑这样一个问题？
平面内与两定点F1，F2的距离差为常数的点的轨迹是什么？
我们在平面上固定两个点F1，F2，平面上任意一点为M，假设|F1F2|=100,|MF1|＞|MF2|且|MF1|－|MF2|=50不断变化|MF1|和|MF2|的长度，我们可以得出它的轨迹为一条曲线。
若我们交换一下长度，|MF1|＜|MF2|且|MF1|－|MF2|=－50时 ，可知它的轨迹也是一条曲线
那么由这个实验我们得出一个结论：
“平面内两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线。”
但大家思考一下这个结论对不对呢？
我们知道在椭圆定义里，到两定点的距离和为一个常数，这个常数（必须大于|F1F2|） 那么这里差的绝对值为一个常数，这个常数和|F1F2|有什么关系呢？
下面我们来看一个试验，当|MF1|－|MF2|=0时，M点的轨迹为F1，F2的中垂线；
随着|MF1|-|MF2|的不断变化 ，呈现出一系列不同形状的双曲线；
当|F1F2|即和|F1F2|长度相等时，点的轨迹为以F1，F2 为端点的两条射线；
若|MF1|-|MF2|＞100 时，就不存在点M。
那么由以上的一些试验我们可以得出双曲线的准确定义：
定义：平面内与两定点F1，F2的距离差的绝对值为非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹是双曲线。定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距。
我们知道当一个椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上时，所表示椭圆的方程为标准方程。
当焦点在x轴上时，；当焦点在y轴上时，
那么双曲线方程是否也有标准方程呢？
我们就来求一下看看：
解：建立直角坐标系xoy，使x轴经过F1，F2，并且点O与线段F1F2的中点重合。
如图所示：
设M（x，y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c＞0），那么，焦点F1，F2，
的坐标是（－c，0）（c，0）。又设点M与F1，F2，的距离的差的绝对值等于常数2a
有定义可知，双曲线就是集合
p＝{M||MF1|－|MF2|=±2a}
因为 |MF1|=
|MF2|=
所以得
－＝±2a ①
将方程①化简，得
（c2－a2）x2－ay2＝a2（c2－a2）
由双曲线的定义可知，2c＞2a，即c＞a，所以c2-a2＞0
令c2-a2=b2其中b＞0，代入上式，得
b2x2－a2y2=a2b2
两边除以a2b2，得
（a＞0,b＞0）这个方程叫做双曲线标准方程。
当焦点在y轴上时,
F1(0,－c) F2(0,c) （a＞0,b＞0）
*观察双曲线的标准方程和椭圆标准方程，思考几个问题：
1、焦点在哪个轴上如何判断？
2、方程中a,b,c 的关系怎样?
（椭圆哪个二次项的分母大，焦点就在相应的那个坐标轴上，双曲线哪项为正焦点就落在相应的坐标轴上。）
例1 求适合下列条件中的双曲线的标准方程：
a=3,b=4焦点在y轴上，
解：因为焦点在y轴上
所以所求方程为
a=5,b=7,
分析：焦点不知在哪个轴上，分情况分析
解：当焦点在x轴上时
当焦点在y轴上时
3．两焦点为F1(－5,0),F2(5,0) 双曲线上的点到它们的距离之差绝对值为8
练习1：求适合下列条件的双曲线的标准方程：
1、a=4,b=6,焦点在x轴
解：由b2=c2－a2=62－42=20
又因为焦点在x轴上所以所求方程为：
2、c=10,b=7焦点在y轴上
解：由a2=c2－b2=102－72=51
又因为焦点在y轴上，所求方程为：
例2：求下列双曲线的焦点坐标：
1、
解：a2=36,b2=64
∴c2=36+64=100,c=10
又因为焦点在x轴上，
所求焦点坐标为(10,0),(－10,0)。
2、
解：化标准方程为：
a2=1,b2=8，又因为焦点在y轴上,
所求焦点坐标为(0,3),(0,－3)。
3、9y2-4x2=36
解：化标准方程为：
所以a2＝4，b2＝9。
由从c2＝a2+b2=4+9=13。
又因为焦点在y轴上;
所求焦点坐标为（0，）和（0，－）。
例3：双曲线的焦点与椭圆的焦点有什么关系?
解：双曲线中a2=1,b2=15,由c2=a2+b2得c=4
所以 双曲线的两个焦点坐标为(4,0)和(-4,0)
椭圆中a2=25,b2=9由c2=a2+b2=25－9=16得
所以椭圆的两个焦点坐标也是(4,0)和(－4,0)。它们的焦点相同.
思考题：
1已知曲线的方程为
若c为椭圆，求m的取值范围，并求椭圆的焦点 。 (m＞4)
若c为又曲线，求m的取值范围，并求双曲线的焦点 。 (－3＜m＜4)
2已知双曲线的方程为，讨论c曲线的形状
－6＜m＜4时，为椭圆，(m>－1焦点在x轴，m＜－1焦点在y轴) m＝－1时为圆
m>4或m＜－6时，为双曲线;( m>4焦点在x轴，m＜－6焦点在y轴)
小结：
1定义：平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.
2双曲线的标准方程为：
焦点在x轴时, （a＞0,b＞0）
叫焦点坐标F1（－c，0）F2（c，0）。
焦点在y轴时, （a＞0,b＞0）
焦点坐标F1(0,-c),F2(0,c)
3注意双曲线与椭圆的区别与联系
椭圆
双曲线
|MF1|＋|MF2|=2a
|MF1|－|MF2|=±a
a2=b2+c2
c2=a2+b2
（a＞b＞0）
（a＞0,b＞0）
a比b 大
a不一定比b大
焦点位置与分母大小相对应
焦点位置与项的正负对应
二、板书设计
双曲线及其标准方程
椭圆的定义，椭的标准方程
例1，例2，思考1
小结：1、定义
2、标准方程
3、双曲线与椭圆的区别与联系
双曲线的定义，双曲线的标准方程
练1，例3，思考2
课件75张PPT。2.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程练习
一、选择题（每小题四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知点和，曲线上的动点P到、的距离之差为6，则曲线方程为（ ）
A．
B．
C．或
D．
2．“ab<0”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．动圆与两圆和都相切，则动圆圆心的轨迹为（ ）
A．抛物线
B．圆
C．双曲线的一支
D．椭圆
4．P为双曲线上的一点，F为一个焦点，以PF为直径的圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切
B．内切或外切
C．外切
D．相离或相交
5．双曲线的左焦点为F，点P为左支的下半支上任一点（非顶点），则直线PF的斜率的范围是（ ）
A．（-∞，0]∪[1，+∞）
B．（-∞，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）∪[1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）
6．若椭圆和双曲线有相同的焦点、，P是两曲线的一个公共点，则的值是（ ）
A．m-a B．
C． D．
二、填空题
7．双曲线的一个焦点是，则m的值是_________。
8．过双曲线的焦点且垂直于x轴的弦的长度为_______。
三、解答题
9．已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹方程。
10．已知直线y=ax+1与双曲线相交于A、B两点，是否存在这样的实数a，使得A、B关于直线y=2x对称？如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由。
11．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东相距6km，C在B的北偏西30°相距4km，P为敌炮兵阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，4秒种后，B、C才同时发现这一信号，该信号的传播速度为每秒1km，A若炮击P地，求炮击的方位角。
答案与提示
一、1．D
2．A
3．C
4．B
5．B
6．A
二、7．-2
8．
三、9．提示：易知
由双曲线定义知
即
① 即
此时点的轨迹为线段AB的中垂线，其方程为x=1(y≠0)
② 即
此时点的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为 （y≠0）
10．不存在
11．提示：以AB的中点为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（3，0），B（-3，0），，依题意|PB|-|PA|=4
∴ P点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，其中c=3，2a=4，则，方程为
又|PB|=|PC| ∴P在线段BC的垂直平分线上
联立解得 ∴
又 ∴α=60°
∴P点在A点东偏北60°处，即A炮击P地时，炮击的方位角为北偏东30°
双曲线及其标准方程练习
一、选择题（每小题四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知点和，曲线上的动点P到、的距离之差为6，则曲线方程为（ ）
A．
B．
C．或
D．
2．“ab<0”是“方程表示双曲线”的（ ）[来源:Z*xx*k.Com]
A．必要不充分条件[来源:Zxxk.Com]
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．动圆与两圆和都相切，则动圆圆心的轨迹为（ ）
A．抛物线[来源:学.科.网]
B．圆[来源:学科网]
C．双曲线的一支
D．椭圆
4．P为双曲线上的一点，F为一个焦点，以PF为直径的圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切
B．内切或外切
C．外切
D．相离或相交
5．双曲线的左焦点为F，点P为左支的下半支上任一点（非顶点），则直线PF的斜率的范围是（ ）
A．（-∞，0]∪[1，+∞）
B．（-∞，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）∪[1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）
6．若椭圆和双曲线有相同的焦点、，P是两曲线的一个公共点，则的值是（ ）[来源:Z*xx*k.Com]
A．m-a B．
C． D．[来源:学&科&网Z&X&X&K]
[来源:Z,xx,k.Com]
二、填空题
7．双曲线的一个焦点是，则m的值是_________。
8．过双曲线的焦点且垂直于x轴的弦的长度为_______。
三、解答题
9．已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹方程。
10．已知直线y=ax+1与双曲线相交于A、B两点，是否存在这样的实数a，使得A、B关于直线y=2x对称？如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由。
11．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东相距6km，C在B的北偏西30°相距4km，P为敌炮兵阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，4秒种后，B、C才同时发现这一信号，该信号的传播速度为每秒1km，A若炮击P地，求炮击的方位角。
[来源:Z*xx*k.Com]
[来源:学科网]
[来源:Zxxk.Com][来源:学#科#网Z#X#X#K]
答案与提示
一、1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．A 二、7．-2[来源:学科网ZXXK] 8．
三、9．提示：易知
由双曲线定义知[来源:Zxxk.Com]
即
① 即[来源:学§科§网Z§X§X§K]
此时点的轨迹为线段AB的中垂线，其方程为x=1(y≠0)
② 即
此时点的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为 （y≠0）
10．不存在[来源:Z#xx#k.Com]
11．提示：以AB的中点为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（3，0），B（-3，0），，依题意|PB|-|PA|=4
∴ P点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，其中c=3，2a=4，则，方程为
又|PB|=|PC| ∴P在线段BC的垂直平分线上
联立解得 ∴
又 ∴α=60°
∴P点在A点东偏北60°处，即A炮击P地时，炮击的方位角为北偏东30°
2．2．1 双曲线的标准方程 学案
【学习目标】
学习要求：1、熟练掌握求曲线方程的方法；
2、掌握双曲线的标准方程及其推导方法；
3、能根据已知条件求双曲线的标准方程，根据标准方程求a、b、c焦点。
高考要求：理解掌握双曲线的定义及标准方程，熟练运用。
【学习重点】
双曲线的定义、标准方程及推导过程，熟练根据已知条件求双曲线的标准方程。
【学习难点】[来源:Zxxk.Com]
双曲线标准方程的推导及结合实际条件求双曲线的标准方程。
【学习过程】[来源:学科网ZXXK]
(一)问题情境
我们前面一起研究学习了圆锥曲线中的椭圆的定义、标准方程及其几何性质。今天我们继续研究学习。
我们来看一个拉链实验，它体现了我们学习过的圆锥曲线____________的特征？它的定义是什么？用数学式子表达________________________________________,当2a=|F1F2|时它的轨迹是____________________________当2a>|F1F2|时它的轨迹是____________________________.
(二)学生活动
如何推导推导双曲线的标准方程呢？可否类比求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程呢？请同学们自己尝试推导双曲线的标准方程
[来源:Zxxk.Com]
类比：写出焦点在轴上，中心在原点的双曲线的标准方程_____________________．
阅读课本第34页完善自己的推导过程
我们来观察一下双曲线的标准方程与椭圆的方程比较，有什么区别？
椭圆
双曲线
定义
方程
焦点
a、b、c的关系
在双曲线的标准方程中，根据__________________________________________确定其焦点在哪个坐标轴上。
（三）数学应用
例1：请判断下列方程哪些表示双曲线？若是，请求出 a、b、c和它的焦点坐标。
（1） （2）
（3） （4）
（5）
[来源:学科网]
变式运用：已知表示双曲线，求k的取值范围。
创新运用：方程表示（ ）
A．椭圆 B．圆 C．双曲线 B．椭圆或圆或双曲线
[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]
知识归纳：形如的方程所表示的曲线形状由m、n确定。
若____________________，方程表示圆；[来源:Z,xx,k.Com]
若____________________，方程表示椭圆；
若____________________，方程表示双曲线。
例2： 已知双曲线两个焦点分别为，，双曲线上一点到，距离的差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程．
变式思考一：已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，动点到和P到的距离的差等于8，求动点P的轨迹．
变式思考二：已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，动点P到，距离的差的绝对值等于10，求动点P的轨迹．如果动点P到，距离的差的绝对值等于12，点P会出现什么情形？[来源:学。科。网Z。X。X。K]
巩固练习：求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）a=3,b=4，焦点在坐标轴上；
（2），经过点A（2，－5），焦点在y轴上；
(3)过点。
（四）回顾反思
思想方法：_____________________________________________________________
知识体会：_____________________________________________________________
（五）课后作业
双曲线及其标准方程
一、教学目标
(一)知识教学点[来源:Z,xx,k.Com]
1.掌握双曲线定义、标准方程；
2.掌握焦点、焦距、焦点位置与方程关系；
3.认识双曲线的变化规律.
(二)能力训练点
在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．[来源:Zxxk.Com]
(三)学科渗透点
本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识．
二、教材分析
1．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．
(解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．)
2．难点：双曲线的标准方程的推导．
(解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．)
3．疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？
(解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式．)
三、活动设计
教学方法 启发引导式
教具准备 三角板、双曲线演示模板、幻灯片
提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结．
四、教学过程
(一)复习提问
1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a＞|F1F2|．
2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)
(二)双曲线的概念
把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？
1．简单实验(边演示、边说明)
如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．[来源:学科网ZXXK]
注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．
2．设问
问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？
请学生回答，不能．强调“在平面内”．
问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？
请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，|MF1|＞|MF2|；当点M在双曲线左支上时，|MF1|＜|MF2|．
问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？
请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正确表示为||MF2|-|MF1||．
问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？
请学生回答，应小于|F1F2|且大于零．当常数=|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数＞|F1F2|时，无轨迹．
3．定义
在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：
平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．
(三)双曲线的标准方程
现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．
标准方程的推导：
(1)建系设点[来源:Z。xx。k.Com]
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)
[来源:学科网]
建立直角坐标系．
设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．[来源:Z.xx.k.Com]
(2)点的集合
由定义可知，双曲线就是集合：
P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．
(3)代数方程
(4)化简方程(由学生演板)
将这个方程移项，两边平方得：
化简两边再平方，整理得：
(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．
(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)
由双曲线定义，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0．
设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：[来源:学科网ZXXK]
b2x2-a2y2=a2b2．
这就是双曲线的标准方程．[来源:学科网ZXXK]
两种标准方程的比较(引导学生归纳)：
教师指出：
(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；
(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．
(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．
(四)练习与例题
1．求满足下列的双曲线的标准方程：
焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；
3．已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？
由教师讲解：
按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．
因为2a=12，2c=10，且2a＞2c．
所以动点无轨迹．
(五)小结[来源:学&科&网Z&X&X&K]
1．定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
3．图形(见图2-25)：
4．焦点：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)．
5．a、b、c的关系：c2=a2+b2；c=a2+b2．
五、布置作业
1．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点A(-5，2)；
3．已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦点坐标．
作业答案：
2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1
六、板书设计
[来源:Z。xx。k.Com]
