课件17张PPT。2.2.2《双曲线的简单几何性质》教学目标 知识与技能目标
了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义．过程与方法目标
（1）复习与引入过程
引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养．①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率 一.复习引入 1.双曲线的定义是怎样的？
2.双曲线的标准方程是怎样的？ 双曲线的简单几何性质思考回顾
椭圆的简单几何性质 ？
①范围; ②对称性; ③顶点;
④离心率等 双曲线是否具有类似的性质呢?
回想：我们是怎样研究上述性质的？一、双曲线的简单几何性质 1.范围:两直线x=±a的外侧2.对称性: 关于x轴, y轴,原点对称 原点是双曲线的对称中心
对称中心叫双曲线的中心一.双曲线的简单几何性质
3.顶点::(1)双曲线与x轴的两个交A (-a,0), A (a,0)叫双曲线的顶点12(2)实轴:线段A A 实轴长:2a
虚轴:线段B B 虚轴长:2b 1 2 1 2
4.渐进线: (1)渐进线的确定:矩形的对角线 (2)直线的方程: y=±－xb
a渐渐接近但永不相交(1)概念:焦距与实轴长之比5.离心率(2)定义式: e=－ c a(3)范围: e>1 (c>a)(4)双曲线的形状与e的关系即:e越大,渐进线斜率越大,其开口越阔.
关于X轴、Y轴、原点都对称。
图形方程范围对称性顶点离心率准线一.双曲线的简单几何性质
1.范围: 2.对称性:3.顶点: 实轴,虚轴4.渐进线: (1)渐进线的确定:对角线 (2)直线的方程: y=±－xb
a(1)概念:5.离心率:(2)定义式: e=－ c a(3)范围: e>1 (4)双曲线的形状与e的关系即:e越大,渐进线斜率越大,其开口越阔.
二. 应 用 举 例: 例1.求双曲线9y – 16x =144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐进线方程.22
例2.求一渐进线为3x+4y=0,一个焦点为(5,0)的双曲线的标准方程. 例3：点M（x,y)到定点F（5，0）的距离和它到定直线l:x=16/5的距离的比是常数5/4，求点M的轨迹。例4：双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径m，高为55m，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程。四.小结:
1.双曲线的几何性质: ①范围; ②对称性; ③顶点; ④渐进线; ⑤离心率2.几何性质的应用1. 1.2双曲线的几何性质
课前预习学案
一、预习目标
理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征．
二、预习内容
1、双曲线的几何性质及初步运用．
类比椭圆的几何性质．
2．双曲线的渐近线方程的导出和论证．
观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、教学过程
(一)复习提问引入新课
1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？
请一同学回答．应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的．
2．双曲线的两种标准方程是什么？
再请一同学回答．应为：中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标
下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．
(二)类比联想得出性质(性质1～3)
引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启发）
(三)问题之中导出渐近线(性质4)
在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计
仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想．
接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？
下面，我们来证明它：
双曲线在第一象限的部分可写成：
当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．
在其他象限内也可以证明类似的情况．
现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字
这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精
再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．
(四)离心率(性质5)
由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：
变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．
这时，教师指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．
(五)练习与例题
1．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正．
由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3．
焦点坐标是(0，-5)，(0，5)．
本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结．
解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合：
化简得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．
这就是双曲线的标准方程．
由此例不难归纳出双曲线的第二定义．
(六)双曲线的第二定义
1．定义(由学生归纳给出)
平面内点M与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数e=
叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．
2．说明
(七)小结(由学生课后完成)
将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结．
五、布置作业
1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程．
(1)16x2-9y2=144；
(2)16x2-9y2=-144．
2．求双曲线的标准方程：
(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；
(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；
曲线的方程．
点到两准线及右焦点的距离．
六、板书设计
1.1.2双曲线的几何性质学案
一、课前预习目标
理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征．
二、预习内容
1、双曲线的几何性质及初步运用．
类比椭圆的几何性质．
2．双曲线的渐近线方程的导出和论证．
观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究
1、椭圆与双曲线的几何性质异同点分析
2、描述双曲线的渐进线的作用及特征
3、描述双曲线的离心率的作用及特征
4、例、练习尝试训练：
例1．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
解：
解：
5、双曲线的第二定义
1）．定义(由学生归纳给出)
2）．说明
(七)小结(由学生课后完成)
将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结．
作业：
1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程．
(1)16x2-9y2=144；
(2)16x2-9y2=-144．
2．求双曲线的标准方程：
(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；
(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；
曲线的方程．
点到两准线及右焦点的距离．
课件10张PPT。双曲线的几何性质11. 椭圆的定义2. 引入问题：① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;② |F1F2|=2c ——焦距. 平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于常数 的点的轨迹叫做双曲线.动画的绝对值（小于︱F1F2︱）注意定义:
| |MF1| - |MF2| | = 2a关于x轴，y轴，原点
对称。关于x轴，y轴，原点对称。YXF1F2A1A2B1B2焦点在x轴上的双曲线图像焦点在x轴上的双曲线的几何性质 双曲线标准方程：YX双曲线性质：1、范围：x≥a或x≤-a2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点A1（-a，0），A2（a，0）4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2A1A2B1B25、渐近线方程：6、离心率：e=XYF1F2OB1B2A2A1焦点在y轴上的双曲线图像焦点在y轴上的双曲线的几何性质 双曲线标准方程：YX双曲线性质：1、范围：y≥a或y≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点B1（0，-a），B2（0，a）4、轴：实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2A1A2B1B25、渐近线方程：6、离心率：e=c/aF2F2o例题1:求双曲线的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程。解：把方程化为标准方程：可得:实半轴长a=4虚半轴长b=3半焦距c=
焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率:渐近线方程:即练习题:填表|x|≥618|x|≥3(±3,0)y=±3x44|y|≥2(0,±2)1014|y|≥5(0,±5)课件21张PPT。双曲线的
简单几何性质(2)焦点在x轴上的双曲线的几何性质 双曲线标准方程：YX1、范围：x≥a或x≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点:A1（-a，0），A2（a，0）4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2A1A2B1B25、渐近线方程：6、离心率：e=复习回顾：（1）等轴双曲线的离心率e= ?( 2 )知二求二.思考：焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答 双曲线标准方程：YX1、范围：y≥a或y≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点：B1（0，-a），B2（0，a）4、轴： A1A2B1B25、渐近线方程：6、离心率：e=c/aF2F2o实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2小 结关于坐标
轴和
原点
都对
称椭圆与双曲线的性质比较小 结渐近线离心率顶点对称性范围|x|?a,|y|≤b|x| ≥ a，y?R对称轴：x轴，y轴
对称中心：原点对称轴：x轴，y轴
对称中心：原点（-a,0) (a,0)
(0,b) (0,-b)
长轴：2a 短轴：2b(-a,0) (a,0)
实轴：2a
虚轴：2b无图象例1.求下列双曲线的渐近线方程，并画出图像： 解：1) 2)把方程化为标准方程 如何记忆双曲线的渐进线方程？双曲线方程与其渐近线方程之间有什么规律?能不能直接由双曲线方程得出它的渐近线方程？结论：例2:求双曲线的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程。解：把方程化为标准方程可得:实半轴长a=4虚半轴长b=3半焦距c=
焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率:渐近线方程:例题讲解 1、填表|x|≥618|x|≥3(±3,0)y=±3x44|y|≥2(0,±2)1014|y|≥5(0,±5)例3．已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为16，离心率是4/3，求双曲线的标准方程。练习：P38 1、2解：解：例4．已知双曲线的渐近线是 ，并且双曲线过点求双曲线方程。练习题：1.求下列双曲线的渐近线方程： 小结：知识要点：技法要点：3、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的
最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径
为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此
双曲线的方程(精确到1m). A′A0xC′CB′By例题讲解 双曲线几何性质测试
班级____________姓名______________
1．动点与点与点满足，则点的轨迹方程为______________
2．如果双曲线的渐近线方程为，则离心率为____________
3．过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为_____________
4．已知双曲线的离心率为，则的范围为____________________
5．已知椭圆和双曲线有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为_____
6．已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上且，且的面积为1，则双曲线的方程为__________________
7．若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其离心率为 ．
8．双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ．
9．设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为 ．
10．若双曲线的两个焦点分别为，且经过点，则双曲线的标准方程为 ．
11．若椭圆和双曲线有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，则的值为 ．
12．是双曲线左支上的一点，为其左、右焦点，且焦距为，则的内切圆圆心的横坐标为 ．
13.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线-=1的通径的长是_______________
14.双曲线16x2-9y2=144上一点P(x0,y0)(x0＜0)到左焦点距离为4，则x0= .
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，若且，求双曲线的方程．
16．如图，某农场在处有一堆肥料沿道路或送到大田中去，已知，，且，，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧沿送肥料较近？若能，请建立适当坐标系求出这条界线方程．
17.试求以椭圆+=1的右焦点为圆心，且与双曲线-=1的渐近线相切的圆方程.
1. 2. 或 3. 4.
5. 6. 7. 8. 9. 7 10.
11. 12. 13. 14.
15。解? 设|PF1|=r1，|PF2|=r2，半焦距为c．由题设知，双曲线实半轴长a=2，且c2=4+b2，于是|r1-r2|=4，但r2＜4，故r1＞r2．所以
因为|PF1|·|PF2|=|F1F2|2，故
因为0＜r2＜4，则0＜(4+r2)r2＜32，所以
又b∈N，所以b=1．
16．解题思路：大田ABCD中的点分成三类：第一类沿MA送肥较近，第二类沿PB送肥较近，第三类沿PA和PB送肥一 样远近，第三类构成第一类、第二类点的界线，即我们所要求的轨迹，设以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，设P为界线所在曲线上的 一点，则满足｜PA｜+｜AM｜=｜PB｜+｜BM｜,于是｜PA｜-｜PB｜=｜MB｜-｜MA｜=2.可知M点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线一支 其方程可求得为在矩形中的一段.
17. 解：由椭圆+=1的右焦点为(5，0)，∴圆心为(5，0)，又圆与双曲线-=1的渐近线相切，即圆心到直线y=±x的距离为圆的半径.∴r==4 于是圆的方程为(x-5)2+y2=16.
双曲线几何性质测试
班级____________姓名______________
1．动点与点与点满足，则点的轨迹方程为______________
2．如果双曲线的渐近线方程为，则离心率为____________
3．过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为_____________
4．已知双曲线的离心率为，则的范围为____________________
5．已知椭圆和双曲线有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为_____
6．已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上且，且的面积为1，则双曲线的方程为__________________
7．若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其离心率为 ．[来源:学科网]
8．双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ．[来源:Zxxk.Com]
9．设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为 ．
10．若双曲线的两个焦点分别为，且经过点，则双曲线的标准方程为 ．
11．若椭圆和双曲线有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，则的值为 ．
12．是双曲线左支上的一点，为其左、右焦点，且焦距为，则的内切圆圆心的横坐标为 ．
13.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线-=1的通径的长是_______________
14.双曲线16x2-9y2=144上一点P(x0,y0)(x0＜0)到左焦点距离为4，则x0= .
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，若且，求双曲线的方程．
16．如图，某农场在处有一堆肥料沿道路或送到大田中去，已知，，且，，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧沿送肥料较近？若能，请建立适当坐标系求出这条界线方程．
[来源:学科网ZXXK]
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17.试求以椭圆+=1的右焦点为圆心，且与双曲线-=1的渐近线相切的圆方程.
1. 2. 或 3. 4.
5. 6. 7. 8. 9. 7 10.
11. 12. 13. 14.
15。解? 设|PF1|=r1，|PF2|=r2，半焦距为c．由题设知，双曲线实半轴长a=2，且c2=4+b2，于是|r1-r2|=4，但r2＜4，故r1＞r2．所以[来源:Z#xx#k.Com]
因为|PF1|·|PF2|=|F1F2|2，故
因为0＜r2＜4，则0＜(4+r2)r2＜32，所以
又b∈N，所以b=1．
16．解题思路：大田ABCD中的点分成三类：第一类沿MA送肥较近，第二类沿PB送肥较近，第三类沿PA和PB送肥一 样远近，第三类构成第一类、第二类点的界线，即我们所要求的轨迹，设以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，设P为界线所在曲线上的 一点，则满足｜PA｜+｜AM｜=｜PB｜+｜BM｜,于是｜PA｜-｜PB｜=｜MB｜-｜MA｜=2.可知M点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线一支 其方程可求得为在矩形中的一段.[来源:学科网][来源:学科网][来源:学科网]
17. 解：由椭圆+=1的右焦点为(5，0)，∴圆心为(5，0)，又圆与双曲线-=1的渐近线相切，即圆心到直线y=±x的距离为圆的半径.∴r==4 于是圆的方程为(x-5)2+y2=16.
课题： 2.2.2双曲线的几何性质（一）
课型：新授课 时间： 月 日
学习札记
◇预习目标◇
1、掌握双曲线标准方程中a、b、c、e之间的关系；
2、了解双曲线的渐近线的概念和证明；
3、尝试用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质。
◇问题引导，自我探究◇
以双曲线标准方程为例进行说明。
1．范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线 的外侧。
注意：从双曲线的方程如何验证？
2．对称性： 是双曲线的对称轴， 是双曲线 的对称中心，双曲线的对称中心叫做 。
3．顶点：双曲线和轴有两个交点是 ，他们是双曲线的顶点。
4．渐近线：他们是如何确立的？
◇自学测试◇
1、 叫做等轴双曲线；等轴双曲线的渐近线是 。
2、双曲线的离心率是
3、求双曲线的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程。
◇自学感悟◇
课题： 2.2.2双曲线的几何性质（一）
课型：新授课 时间： 月 日
学习札记
〖学习目标及要求〗：
1、学习目标：（1）能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；；
（2）掌握双曲线的渐近线的概念和证明；
（3）能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题。
2、重点难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线。
3、高考要求：双曲线的几何性质在解题中的灵活运用。
4、体现的思想方法：类比、设想。
5、知识体系的建构：圆锥曲线体系的建构。
〖讲学过程〗：
一、预习反馈:
二、探究精讲:
以双曲线标准方程为例进行说明双曲线的顶点、渐近线和离心率。
1、顶点：在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。
令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），
双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。
虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。
在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点。
2、渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
在初中学习反比例函数时提到x轴y轴都是它的渐近线。高中三角函数，渐近线是。
所谓渐近，既是无限接近但永不相交。
3、离心率：
双曲线的焦距与实轴长的比e=，叫双曲线的离心率.
说明：①由c>a>0可得e>1；
②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.
探究二：
课本51页例3
双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（见课本），它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高，选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到）。
探究三：
例3．求与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线的方程。
三、感悟方法练习：
1、双曲线的性质：
椭 圆
双 曲 线
不 同 点
标准方程
图 象
范 围
对 称 性
顶 点
渐 近 线
课本练习第1，2题
〖备选习题〗：
A 组
1、求与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线的方程。
B组
1. 双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．4
2. 求证：双曲线（）与双曲线有共同的渐近线。
[来源:学,科,网Z,X,X,K]
〖归纳小结〗：
[来源:学|科|网Z|X|X|K]
感悟一：
[来源:Z。xx。k.Com]
[来源:Z。xx。k.Com]
[来源:学科网ZXXK]
[来源:学*科*网]
感悟二：
感悟三：
[来源:学*科*网]
[来源:学科网ZXXK]
课题： 2.2.2双曲线的几何性质（一）
☆要点强化☆ 班级 姓名
1.双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线；
2.双曲线的渐近线的概念。
☆当堂检测☆
1. 07宁夏理
已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．
2. 求双曲线的标准方程：
⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；
⑵焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；
⑶离心率，经过点；
⑷两条渐近线的方程是，经过点。
(选作题)
已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点，
（1）求双曲线方程；
（2）若点在双曲线上，求证：；
（3）求的面积。
☆学习心得☆
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
●教学目标
1.掌握双曲线的几何性质
2.能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程.
●教学重点
双曲线的几何性质
●教学难点
双曲线的渐近线
●教学方法
学导式
●教具准备
幻灯片、三角板
●教学过程
I.复习回顾：
师：上一节，我们学习了双曲线的标准方程，这一节，我们要根据它来研究双曲线的几何性质.同学们可以按照研究椭圆几何性质的方法和步骤，自己推出双曲线的几何性质，然后与课文对照，所以，我们来回顾一下研究椭圆的几何性质的方法与步骤.（略）
II.讲授新课：
1.范围：
双曲线在不等式x≥a与x≤－a所表示的区域内.
2.对称性：
双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线中心.
3.顶点：
双曲线和它的对称轴有两个交点A1(－a,0)、A2(a,0)，它们叫做双曲线的顶点.
线段A1A2叫双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长.
4.渐近线[来源:Z。xx。k.Com]
①我们把两条直线y=±叫做双曲线的渐近线；
②从图8—16可以看出，双曲线的各支向外延伸时，与直线y=±逐渐接近.
③“渐近”的证明：
先取双曲线在第一象限内的部分进行证明.这一部分的方程可写为y=>a).
设M(x,y)是它上面的点，N(x,y)是直线y=上与M有相同横坐标的点，则Y=.
∵y=
∴
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
设是点M到直线y=的距离，则<，当x逐渐增大时，逐渐减小，x无限增大，接近于O，也接近于O.就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON.
在其他象限内，也可证明类似的情况.[来源:学&科&网]
（上述内容用幻灯片给出）.
④等轴双曲线：
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
⑤?利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.
5.离心率：
双曲线的焦距与实轴长的比e=，叫双曲线的离心率.
说明：①由c>a>0可得e>1；
②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.
师：为使大家进一步熟悉双曲线的几何性质，我们来看下面的例题.
例1 求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解：把方程化为标准方程.
.
由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3.
.
焦点的坐标是（0，－5），（0，5）.
离心率.[来源:Z#xx#k.Com]
渐近线方程为[来源:学&科&网]
，即.[来源:学科网]
说明：此题要求学生认识到第二种形式的标准方程所对应的双曲线性质与课本性质的相同点与不同点.可让学生比较得出（作为练习）.[来源:学+科+网Z+X+X+K]
III.课堂练习：
（1）写出第二种形式的标准方程所对应的双曲线性质.
（2）课本P113练习1.
●课堂小结
师：通过本节学习，要求大家熟悉并掌握双曲线的几何性质，尤其是双曲线的渐近线方程及其“渐近”性质的证明，并能简单应用双曲线的几何性质.
?●课后作业
习题8.4 1、5、6.
●板书设计
§8.4.1 ……
1.范围 4.渐近线 5.离心率 练习1
①… … （1）…[来源:Z,xx,k.Com]
2.对称性 ②…
③… 例1… （2）…
④
3.顶点 ⑤ (3)…[来源:Z#xx#k.Com]
●教学后记
[来源:Zxxk.Com]
