抛物线及其标准方程同步试题
一、选择题
1．若
是定直线
外的一定点，则过
与
相切圆的圆心轨迹是（ ）
A．圆??????
B．椭圆????
C．双曲线一支??????
D．抛物线
2．抛物线
的焦点到准线的距离是（ ）
A．2.5?????
B．5???????
C．7.5?????
D．10
3．已知原点为顶点，
轴为对称轴的抛物线的焦点在直线
上，则此抛物线的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．．抛物线
的焦点坐标是（ ）．
A． B． C． D．
5．抛物线
（
）的焦点坐标为（ ）
A．
??????
B．
C．
?????
D．
时为
，
时为
6．抛物线
的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
7．若点
到点
的距离比它到直线
的距离小1，则
点的轨迹方程是（ ）
A．
??????
B．
C．
???????
D．
8．抛物线
的焦点位于（ ）
A．
轴的负半轴上??????
B．
轴的正半轴上
C．
轴的负半轴上??????
D．
轴的正半轴上
9．抛物线
的焦点坐标是（ ）
A．
??????
B．
C．
????
D．
10．与椭圆
有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（ ）
A． B． C． D．
11．过（0，1）作直线，使它与抛物线
仅有一个公共点，这样的直线有（ ）条
A．1???????
B．2???????
C．3???????
D．4
12．设抛物线
（
）与直线
（
）有两个公共点，其横坐标分别是
、
，而
是直线与
轴交点的横坐标，则
、
、
关系是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知点
，
是抛物线
的焦点，点
在抛物线上移动时，
取得最小值时
点的坐标为（ ）．
A．（0，0） B．
C． D．（2，2）
14．设
，
是抛物线
上的不同两点，则
是弦
过焦点的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分不必要条件
二、填空题
1．过点（－2，3）的抛物线的标准方程为__________．
2．点M与
的距离比它到直线
的距离小1，则点
的轨迹方程为___________．
3．已知椭圆以抛物线
的顶点为中心，以此抛物线的焦点为右焦点，又椭圆的短轴长为2，则此椭圆方程为___________．
4．在抛物线
上有一点
，它到焦点的距离是20，则
点的坐标是_________．
5．已知抛物线
（
）上一点
到焦点
的距离等于
，则
=_______，
=________．
6．抛物线
的焦点弦的端点为
，
，且
，则
=_______．
7．若正三角形的一个顶点在原点，另两个顶点在抛物线
（
）上，则这个三角形的面积为__________．
8．抛物线
上的一点
到
轴的距离为12，则
与焦点
间的距离
=______．
9．若以曲线
的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于
、
两点，若
点的纵坐标为
，则
点的纵坐标为__________．
10．过抛物线
的对称轴上一点
作一条直线与抛物线交于
、
两点，若
点的纵坐标为
，则
点的纵坐标为__________．
11．在抛物线
内，通过点（2，1）且在此点被平分的弦所在直线的方程是________．
12．已知点（－2，3）与抛物线
（
）的焦点的距离是5，则
=_________．
13．焦点在直线
的抛物线的标准方程是________________．
三、解答题
1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是
轴，抛物线上的点
到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和
的值．
2．已知点
和抛物线
上的动点
，点
分线段
为
，求点
的轨迹方程．
3．求顶点在原点，以
轴为对称轴，其上各点与直线
的最短距离为1的抛物线方程．
4．抛物线的顶点在原点
，焦点在
轴上，
、
为抛物线上两点，且
，
方程为
，
，求抛物线方程．
5．若直线
交抛物线
于
、
两点，且
中点的横坐标是2，求
．
6．过抛物线
的焦点引一直线，已知直线被抛物线截得的弦被焦点分成2：1，求这条直线的方程．
7．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱长．
8．已知抛物线
，过焦点
的直线
交抛物线交于
，
两点，直线
的倾斜角为
，求证：
．
9．是否存在同时满足下列两个条件的直线
：①与抛物线
有两个不同的交点
，
；②线段
被直线
垂直平分．若不存在，说明理由；若存在，求出
的方程．
10．如果抛物线
和圆
相交，它们在
轴上方的交点为
、
，那么当
为何值时，线段
中点
在直线
？
参考答案：
一、1．D 2．B 3．D 4．B 5．C 6．D 7．C 8．C 9．B
10．B 11．C 12．C 13．D 14．C
二、1．
或；2．；3．
4．（18，12）或（18，－12）；5．
，；6．4
7．；8．13；9．；10．
11．；12．4；13．
或
三、1．据题意可知，抛物线方程应设为
（
），则焦点是
点
在抛物线上，且
，故
，
解得
?
或
抛物线方程
，
2．设
，
，
，
即
，
，而点
在抛物线
上，
，即所求点
的轨迹方程为
3．依题设可设抛物线方程为
（
）
此抛物线上各点与直线
的最短距离为1，此抛物线在直线
下方而且距离为1的直线
相切．
由
有
?
所求抛物线方程为：
4．设方程为
（
）
，
方程为
??
方程为
由
???
，由
，又
又
???
，
所求方程为
由对称性可知开口向左的方程为
5．
6．由
得焦点
，设所求弦两端点为
，
，直线
①
②
又
过焦点
，且
，故
??
③
由②③解得
或
把
、
代入①式得
故所求的直线方程为
7．3.84米．?
8．分
、
两种情况证明．
9．若存在直线
，则
垂直平分
，所以
．设
的方程为
，代入
整理得
，则
中点为
，代入
的方程得
，故
．经检验满足
，故符合条件的直线
存在，其方程为
．
10．设
，
，
，由
及
可得
．因为
，
．
所以
，
．又
在直线
上，所以
，解得
，又由
得
或
．所以当
时，线段
的中点
在直线
上．
PAGE
6(共51张PPT)
2.3.1《抛物线及标准方程》
教学目标
知识与技能目标
使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．
要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．
过程与方法目标
情感，态度与价值观目标
（1）培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
（2）培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。
能力目标：
（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；
（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；
（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹
椭圆
是什么
？
双曲线
(0(e
>
1)
图8-19
平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线。
如图8－20，建立
直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线L，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合。
设｜KF｜＝
(
>0)，那么焦点F的坐标为
（
）,准线L的方程为x=
-
设点M（x,y）是抛物线上任意一点，点M到L的距离为d。由抛物线的定义，抛物线就是集合
P＝{M|MF|=d}。
转化出关于
x
．y的等式化简得抛物线的方程
方程①叫做抛物线的标准方程．它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是（
）,它的准线方程是x=
-
设｜KF｜＝
（
＞0），
M（x,y）是抛物线上任意
一点，点M到L的距离为d，
由抛物线的定义，抛物线
就是集合P={M|MF|=d},
②
例1（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），
求它的标准方程。
1、根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3,0）；
（2）准线方程是x=－
；
（3）焦点到准线的距离是2；
y2=12x
y2=x
y2=4x
,
y2=－4x
,
x2=4y
,
x2=－4y
已知抛物线的方程是x2
+4y=0，
求它的焦点坐标和准线方程.
解:
把
抛物线的方程x2
+4y=0化为标准方程，
x2
=-4y．
所以p=2,
焦点坐标是(0,-1),
准线方程是
y
=
1
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
F(0
,
-2)
,
y=2
;
F(5,0),x=-5
(A)
y2
=
-
4x
1
.
选择题:
(1)
准线方程为x=2的抛物线的标准方程是(
)
(B)
y2
=
-
8x
(D)
y2
=
8x
(C)
y2
=
4x
(2)
抛物线x2
+y=0
的焦点位于
(
)
(A)
x轴的负半轴上
(B)
x轴的正半轴上
(D)
y轴的正半轴上
(C)
y轴的负半轴上
B
C
2
.
填空题:
(1)
焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线
的标准方程为
经过点（－8,8）的抛物线的标准方程为
y2
=
16x
或
x2
=
-12x
y2
=
-8x
或
x2
=
8y
1
.
解：设直线与x轴，y轴交于点F1、F2 ，
将y＝0或x=0分别代入直线方程可解得
F1（4,0），F2（0,3），故所求抛物线
方程为：
y2＝16x
或
x2＝-12y
2
.
解：因为点（－8,8）在第二象限，所以
抛物线开口向上或者开口向左，设抛
物线方程为y2=-2P1x或x2=2P2y,由x=-8时，
y=8得：P1＝4，P2＝4，
所以：所求抛物线方程为：
y2=
-
8x
或
x2=
8y
1?
.
抛物线的定义
:
平面内与一个定点F和一条定直线L的
距离相等的点的轨迹叫做
抛物线
．点F叫
做抛物线的焦点,直线L叫做抛物线的准线．
2
.抛物线的图形及其标准方程
P119
习题2、4、5
求抛物线y
=4ax的焦点坐标和准线方程。
22.3.1抛物线的定义和标准方程
教学目标：
根据课程标准的要求，本节教材的特点及所教学生的认知情况，把教学目标拟定如下：
1、
知识目标：理解抛物线的定义；明确焦点、准线的概念；了解用抛物线的定义推导开口向右的抛物线的标准方程的推导过程进一步得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程，并熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系；
2、能力目标：让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系，培养学生类比、数形结合的数学思想方法，提高学生的学习能力，同时培养学生运动、变化的辨证唯物主义观点；
3情感目标：培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。
教学重点和难点：
重点：抛物线的定义；根据具体条件求出抛物线的标准方程；根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程。
难点：抛物线的标准方程的推导。
关键：创设具体的抛物线的直观情景，结合建立坐标系的一般原则，从“对称美”和“简洁美”出发作必要的点拨。
教学方法
启发、探索
教学手段
运用多媒体和实物辅助教学
教具准备
三角板
教学过程：[]
一、新课引入：
1、实例引入：观察生活中的几个实例（1）截面图；（2）卫星接收天线（观察其轴截面）；（3）太阳灶（观察其轴截面）；（4）探照灯（观察其轴截面）；（5）投球时球的运行轨迹（播放动画演示其轨迹）
2、复习引入：在平面内到一定点的距离和到一条定直线距离的比是常数e
的点的轨迹，
当0〈e
<
1时是什么图形？（椭圆）
当e
>
1时是什么图形？（双曲线）
当e
=
1时它又是什么图形呢？（让学生大胆猜想，猜想后用几何画板演示动画，让学生认真观察动点所满足的条件，让学生对抛物线由感性认识上升到理性认识）
教师指出：画出的曲线叫抛物线。
（类比：使学生看到曲线上任一点到定点和到定直线的距离之比等于常数是圆锥曲线的一个共同的本质属性，明确抛物线与椭圆、双曲线之间的联系）
二、新课讲授：
（一） 定义：（提问学生，由学生归纳出抛物线定义）
平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
概念理解：
平面内有——
(1)
一定点F——焦点
(2)
一条不过此点（给出的定点）的定直线l
——准线
探究：若定点F在定直线l
上，那么动点的轨迹是什么图形？
（是过F点与直线l
垂直的一条直线——直线MF，不是抛物线）
(3)
动点到定点的距离
|MF|
(4)
动点到定直线的距离
d
(5)
|
MF|
=
d[]
满足以上条件的动点M的轨迹——抛物线
（二）推导抛物线的标准方程（开口向右）（重点）：
１、
要把抛物线上的点Ｍ的集合P={M|
|MF|=d}表示为集合Ｑ＝{(x,y)|f(x,y)=0}。首先要建立坐标系，为了使推导出的方程尽量简化，应如何选择坐标系？
［教师引导］建立适当的直角坐标系应遵循的两点原则：
①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；
②曲线上的特殊点，可选作坐标系的原点。］
过焦点F作准线l
的垂线交l
于点K，启发学生思考回答问题：
（1）如何确定x轴（或y轴）？
（以对称轴为坐标轴）
由抛物线的几何特征知KF是抛物线的对称轴。
（2）如何确定坐标原点？
（曲线上的特殊点，可作为坐标系的原点）
因为线段KF的中点适合条件——到点F的距离等于到直线l
的距离，所以它又在抛物线上——以线段KF的中点为坐标原点。
（3）怎样建立坐标系才使方程的推导简化？
［教师引导］通过不同位置的二次函数解析式的对比，联想抛物线如何建系。
让学生大胆发言，谈谈自己的观点（教师要积极鼓励学生引导学生）
取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l
相交于点K，以线段ＫＦ的垂直平分线为y
轴，建立直角坐标系。
２、开口向右的抛物线标准方程的推导：（教师引导得出结论）
步骤:（投影展示）
过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与直线l
相交于点K，以线段ＫＦ的垂直平分线为y
轴，建立直角坐标系。
设焦点到准线的距离｜ＫＦ｜=
p（p>0）那么，焦点Ｆ的坐标为
（p
/
2,0）,准线l的方程为x
=
-
p
/
2.
设抛物线上的任一点
Ｍ（x,y），点Ｍ到直线l
的距离为d根据定义，抛物线就是点的集合
P={M|
|MF|=d}
因为，，所以
将上式两边平方并化简，得
（1）
方程（１）的推导过程表明，抛物线上的点的坐标都是这个方程式的解。还可以证明，以方程（１）的解为坐标的点都在此抛物线上。我们把方程叫做抛物线的标准方程。
３、（引导分析）标准方程y2
=
2px
(p>0)的特点：（用代数方法——几何问题）
p的几何意义：焦点到准线的距离
焦
点：（p/2
,0）在x轴的正半轴上
准
线：x
=
-
p/2
顶
点：坐标原点（０，０）
开口方向：向右
4、让同学们类比写出不同位置的抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程[]
5、让学生对这抛物线和它们的标准方程进行对比分析，辨认异同：
相同点：
１、原点在抛物线上；
２、对称轴为坐标轴；
３、p值的意义：（重点）
（１）表示焦点到准线的距离；
（２）p>0为常数;
（３）p值等于一次项系数绝对值的一半；
４、准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的１／４，即2p/4=p/2.
不同点：
方程
对称轴
开口方向
焦点位置
X2=2py
(p>0)
x轴
向右[]
X轴正半轴上
X2=
-2py
(p>0)
x轴
向左
X轴负半轴上
Y2=2px
(p>0)
y轴
向上
Y轴正半轴上
Y2=
-2px
(p>0)
y轴
向下
Y轴负半轴上
三、例题讲解：
例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2
=6x,求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点是F(0,-2),求它的标准方程
（解题过程教师要板书，注意版面条理，简洁，做好起到示范作用）
解：（1）p＝3，所以抛物线的焦点坐标是（3/2，0），准线方程是
x＝－3/2．
（2）因为抛物线的焦点在轴的负半轴上,且，
所以抛物线的标准方程是
例2．求分别满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点坐标是F（－5，0）
（2）经过点A（2，－3）
解：（1）焦点在x轴负半轴上，
＝5，所以所求抛物线
的标准议程是．
（2）经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：
点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝
点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝
∴所求抛物线的标准方程是y2＝
x或x2＝－y。
四、课堂练习：
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（投影展示）
（1）焦点是F（3，0）；
（2）准线方程
是x
=
；
（3）焦点到准线的距离是2。
2、根据下列抛物线的焦点坐标和标准方程、准线方程：（投影展示）
（1）y
2=20x
(2)x
2=1/2y
(3)
2y
2+5x=0
(4)
x
2+8y=0
向学生指出，本题是求抛物线的标准方程，所求抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴
总结：要确定抛物线的标准方程，关键在于确定p
值及抛物线开口方向；反之亦然。
五、课堂小结：（提学生归纳总结）
1．椭圆、双曲线与抛物线的定义的联系及其区别；
2．会运用抛物线的定义、标准方程求它的焦点坐标、准线方程；
3．注重类比及数形结合的思想。
六、作业布置：
●板书设计
●教学后记
抛物线及其标准方程这一节的教学设计，引导学生从感性认识进一步上升到理性认识，对比椭圆、双曲线、抛物线的区别与联系，最重要的是引导学生类比开口向右、向左、向上、向下四种抛物线的标准方程、图形焦点坐标，准线方程，引导学生运用类比和数形结合的思想解决数学问题，对学生进行辩证唯物主义教育和数学美育教育。
[]
§2.3.1……
知识讲解
例1……
例2……
……
…
……
学生练习
解法一
解法二(共28张PPT)
炮弹平抛后的轨迹是什么图形？
探照灯的纵截面是什么图形？
课
前
复
习
1、y
=
x
2
是什么函数？它的图象是什么？
2、试在同一坐标系内画出函数
y
=
±x
2的图象.
答：二次函数；抛物线
x
学
习
内
容
小
结
思
考
抛物线定义
教
学
目
标
标
准
方
程
练习与提高
学
习
目
标
1、通过现实生活中的例子的引入，让同学们体会数学概念来源于生活，又运用于生活。
2、通过抛物线概念的学习，让同学们体会抛物线与椭圆、双曲线之间的内在联系，从而进一步认识圆锥曲线的本质。
3、掌握抛物线标准方程的推导；
4、已知抛物线方程，会求其焦点坐标及准线方程；反过来知道焦点坐标或准线方程，会求抛物线方程。会灵活运用定义解题。
返回
★
已知平面内的一个定点F和一条定直线L。动点P到F的距离
为d
1，到L的距离为
d
2
。
１）若ｄ１：ｄ２
＝ｅ（０＜ｅ＜1，则Ｐ点的轨迹是
２）若ｄ１：ｄ２＝ｅ（ｅ＞１），则Ｐ点的轨迹是
椭
圆
双
曲
线
定
义
引
入
3）当d1：d2=
e（
e
=
1）时，…
定
义
引
入
★哪一位同学能用自己的语言说出抛物线的定义？
★
平面内与一个定点Ｆ和一条定直线Ｌ的距离之比等于
１
的点的轨迹叫做抛物线．点Ｆ叫做抛物线的焦点，直线Ｌ叫做抛物线的准线．
★
但是，从上图中我们却发现了课本定义的一个致命的漏洞……不知哪个聪明的同学已察觉？
L
.
F
.
点F在直线L外
点F在直线L上
.
★
记得一位名人说过：不迷信权威，才能闯出自己的新天地。
返回
标
准
方
程
的
推
导
设抛物线上任一点P为（x
，y），依题意，有
x
2
=
2
p
y
（p>0)
即:
★
平面内与一个定点Ｆ和一条定直线Ｌ的距离之比等于
１
的点的轨迹叫做抛物线．点Ｆ叫做抛物线的焦点，直线Ｌ叫做抛物线的准线．
O
K
解：取过焦点F且垂直于准线L的直线为Y轴，以线段KF的垂直平分线为X轴。
设|KF|=
p，则焦点为（0
,
p
/2
），
准线方程为：
y
=
-
p
/2。
重
要
启
示
★由刚才的推导过程,我们可以轻易地得到抛物线方程
x2
=
2py
中字母
p
的几何意义.同时,
可以得到
焦点坐标与准线方程和
p
的关系?
P的几何意义：定点F到定线L的距离
焦点坐标：F（0，P/2）,准线方程y
=
-
p/2
（焦准距）
四种抛物线的标准方程对比
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
★请同学们把四个标准方程各写二遍，并画出相应的图形。标出相应的焦点坐标和准线方程。
考
考
你
标准方程是：
y２＝２ｐｘ
焦点是：
（p
/
2，0）
准线是：
x
=
-
p
/2
.
y
x
o
x
=
-
p
/2
（p
/
2，0）
考
考
你
标准方程是：
x２＝-２ｐy
焦点是：
（-p
/
2，0）
准线是：
y
=
p
/2
.
返回
y
x
o
（0
，-p
/
2）
练
习
1.试将前面复习过的抛物线
y
=
-
x2
化为标准方程,并把焦点坐标和准线方程求出来.
2.把抛物线
y
=
4x2
和
y2
=
-
4x的焦点坐标和准线方程求出来.
答:
x
2
=
-
y
;F
(
0,-1/4)
;
y=1/4
答:F(0,1/16),
y=-1/16;
F(-
1
,
0),
x=1
3.已知抛物线的标准方程为
y
2=
ax(a≠0)
,
求它的焦点坐标和准线方程.
4.已知抛物线的焦点坐标是
(
0
,
-2
)
,
求它的标准方程.
练
习
X2=-8y
（a/4，0）
x=-
a/4
练
习
5、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
解：当抛物线的焦点在y轴
的正半轴上时，把A（-3，2）
代入x2
=2py，得p=
9/4
能
力
训
练
1、动点P到直线
x
+4
=0
的距离与它到点M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是（
）（93上海高考）
.
y
x
M
x+4=0
A、直线
B、椭圆
C、双曲线
D、抛物线
提示：点P到定点M（2，0）的距离
等于它到定直线
x
+
2
=
0
的距离。
D
x
+
2
=
0
o
能
力
训
练
1、动点P到直线
x
+4
=0
的距离与它到点M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是（
）（93上海高考）
.
y
x
M
x+4=0
A、直线
B、椭圆
C、双曲线
D、抛物线
提示：点P到定点M（2，0）的距离
等于它到定直线
x
+
2
=
0
的距离。
D
x
+
2
=
0
能
力
训
练
2、已知点H（-2，3）与抛物线
y
2
=
2px
（p
>
0
)的焦点的距离是5，则
p
的值是（
）（96年高考）
A、4
B、8
C、6
D、12
A
提示：依题意，可知点H（-2，3）到焦点（p
/2，0）的距离等于5，可求得p=4。
返回
小
结
1.掌握并理解抛物线的定义。体会抛物线与椭圆、双曲线可以通过离心率
e
来
联系，体会数学中的量变引起质变的事实。
2、掌握抛物线方程的推导。
3、抛物线方程
x
2
=
2
p
y
中字母
p
的几何意义是“焦点F到准线L的距离”——抛物线的焦准距。
4、求抛物线方程
，
或者求其焦点坐标和准线方程，关键要从
p
入手。
5、会灵活运用抛物线定义解题。
6、鼓励创新，不迷信权威。
小
结
思
考
题
★
二次函数的图象是抛物线
.
反过来
,
抛物
线的方程是否都可以化成二次函数?
否。如：y
2
=
x
同学们
再见
O
K
O
K
O
K2.3.1抛物线及其标准方程
◇预习目标◇
1、使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．
2.、要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．
3.、通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．
◇问题引导，自我探究◇
1、通过一个几何画板得出抛物线，再通过设问给出抛物线的定义；对于抛物线的标准方程通过比较加深认识；
（1）书写抛物线的定义
2、根据几何画板观察抛物线图像，尝试获得抛物线标准方程的推导；
（1）书写抛物线的标准方程[]
3、明确抛物线的焦点、准线的概念
4、抛物线的标准方程中，p的含义是什么：
◇自学测试◇
1、
的轨迹叫做抛物线；
2、轴上的抛物线的标准方程是
3、写出适合下列条件的双曲线的标准方程
（1）焦点是F
（3，0）
（2）准线是x=-
4、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
（1）y2=20x
(2)x2+8y=0
（选做题）
到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？
[]
2、抛物线的焦点坐标是
（
）
A．B、C、
D．
◇自学感悟◇[来源:学
科
网Z
X
X
K]
2.3.1抛物线及其标准方程
1、学习目标：（1）.使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．
（2）.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．
（3）.通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．
2、重点难点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识)
3、高考要求：定义在解题中的灵活运用。
4、体现的思想方法：类比、设想。
5、知识体系的建构：圆锥曲线体系的建构。
〖讲学过程〗：
一、预习反馈:
二、探究精讲:
探究一：
如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．
定义：[]
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
探究二：
抛物线的标准方程
设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？
让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结
探究三：
P66例一
(1)已知抛物线的标准方程是y=6x，求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，2)，求它的标准方程．
三、感悟方法练习：
到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？
2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x=2y；(2)4x+3y=0；(3)2y+5x=0；(4)y6x=0．
〖备选习题〗：
A
组
1．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：
(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；
(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(6，3)．
2．求焦点在直线3x4y12=0上的抛物线的标准方程．
B组
1、双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
〖归纳小结〗：
感悟一：[]
感悟二：
感悟三：
2.3.1抛物线及其标准方程
☆要点强化☆
班级
姓名
1抛物线的定义和标准方程推导；
2、明确焦点、准线的概念及其关系。
☆当堂检测☆
1.
顶点在原点，准线方程y=2的抛物线方程是（
）
A、x2=-4y
B、x2=-8y
C、x2=4y
D、x2=8y
2抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（
）
A．
B．
C．
D．0
3.
焦点F(3,0)的抛物线的标准方程（
）
A、y2=12x
B、y2=-12x
C、x2=12y
D、x2=-12y
4、焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线标准方程___
5、焦点到准线的距离为的抛物线标准方程或________________
(选作题)
6设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
Ａ．
Ｂ．Ｃ．
Ｄ.
☆学习心得☆
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.
3.1
抛物线及其标准方程
一、学习目标
1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程
2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程
3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想
二、学习重点
抛物线的定义及标准方程
三、学习难点
抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）
四、学习过程
（一）复习旧知
在初中，我们学习过了二次函数，知道二次函数的图象是一条抛物线
例如：（1），（2）的图象（自己画出函数图像）
（二）学习新课
1.抛物线的定义
探究1观察抛物线的作图过程，探究抛物线的定义：
抛物线的定义：
思考：若F在上呢？（学生思考、讨论、画图）
2.抛物线的标准方程
要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系.
探究2
设焦点F到准线的距离为，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程？按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程.
讨论：小组讨论建系方案及其对应的方程，你认为哪种建系方案使方程更简单？
推导过程：
我们把方程叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是，准线方程是。
在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程：
（学生分前两排，中间两排，后面两排三组分别计算三种情况，一起填充表格）
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
(三)例题
例1（1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程,
（2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程.
解：
变式训练1：
(1)
已知抛物线的准线方程是x=—，求它的标准方程.
(2)
已知抛物线的标准方程是2y2+5x=0,求它的焦点坐标和准线方程.
解：
例2
点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程.
解：
变式训练2：
在抛物线y2=2x上求一点P，使P到焦点F与到点A（3，2）的距离之和最小.
解：
(四)小结
1、抛物线的定义；
2、抛物线的四种标准方程；
3、注意抛物线的标准方程中的字母P的几何意义.
(五)课后练习
1.抛物线y2=ax(a≠0)的准线方程是
(
)
(A)；(B)x=；(C)
；(D)x=
2.抛物线（m≠0）的焦点坐标是（ ）
(A)
（0，）或（0，）；(B)
（0，）
(C)
（0，）或（0，）；(D)
（0，）
3.根据下列条件写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F(0,3)，(2)焦点到准线的距离是2.
4.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2=20x；(2)x2+8y=0.
5.点M到点（0，8）的距离比它到直线y＝－7的距离大1，求M点的轨迹方程.
2.3.1
抛物线及其标准方程
一、教学目标
1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程
2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程
3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想
二、教学重点
抛物线的定义及标准方程
三、教学难点
抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）
四、教学过程
（一）复习旧知
在初中，我们学习过了二次函数，知道二次函数的图象是一条抛物线
例如：（1），（2）的图象（展示两个函数图象）：
（二）讲授新课
1.课题引入
在实际生活中，我们也有许多的抛物线模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门,它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物。到底什么样的曲线才可以称做是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？
这就是我们今天要研究的内容.（板书：课题§2.4.1
抛物线及其标准方程）
2.抛物线的定义
信息技术应用（课堂中展示画图过程）
先看一个实验：
如图：点F是定点，是不经过点F的定直线，H是上任意一点，过点H作，线段FH的垂直平分线交MH于点M。拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论）
可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有|MH|=|MF|,即点M与定点F和定直线的距离相等。（也可以用几何画板度量|MH|，|MF|的值）
（定义引入）：
我们把平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线.（板书）
思考？若F在上呢？（学生思考、讨论、画图）
此时退化为过F点且与直线
垂直的一条直线.
3.抛物线的标准方程
从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点满足到焦点F的距离与到准线的距离相等。那么动点的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？
要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系.
问题
设焦点F到准线的距离为，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程？按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程.
（引导学生分组讨论，回答，并不断补充常见的几种建系方法，叫学生应用投影仪展示计算结果）
1
2
3
注意：1.标准方程必须出来，此表格在黑板上板书。
2.若出现比较复杂建系方案，可以以引入的字母参数较多为由，先排除计算
3.强调P的意义。
4.教师说明曲线方程与方程的曲线：从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都满足方程，以方程的解为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等，即方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程.
（选择标准方程）
师：观察4（3）个建系方案及其对应的方程，你认为哪种建系方案使方程更简单？
（学生选择，说明1.对称轴
2.焦点
3.方程无常数项，顶点在原点）
推导过程：取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如右图所示，则有F（,0）,l的方程为x=—.
设动点M（x,y），由抛物线定义得：
化简得y2=2px(p＞0)
师：我们把方程叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是，准线方程是。
师：在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程：
（学生分前两排，中间两排，后面两排三组分别计算三种情况，一起填充表格）
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2=2px(p＞0)
（,0）
x=—
y2=—2px(p＞0)
（—,0）
x=
x2=2py(p＞0)
（0,）
y=—
x2=—2py(p＞0)
（0,—）
y=
(三)例题讲解
例1（1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程,
（2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程.
解：（1）∵抛物线方程为y2=6x
∴p=3，则焦点坐标是（，0），准线方程是x=—.
（2）∵焦点在y轴的负半轴上，且=2，∴p=4
则所求抛物线的标准方程是：x2=—8y.
变式训练1：
(1)
已知抛物线的准线方程是x=—，求它的标准方程.
(2)
已知抛物线的标准方程是2y2+5x=0,求它的焦点坐标和准线方程.
解(1)∵焦点是F（0，3），∴抛物线开口向上，且=3，则p=6
∴所求抛物线方程是x2=12y
(2)∵抛物线方程是2y2+5x=0，即y2=—x，∴p=
则焦点坐标是F(—,0)，准线方程是x=
例2
点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程.
解：如右图所示，设点M的坐标为（x,y)
由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离.根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点的抛物线.
∵=4，∴p=8
因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为y2=16x.
变式训练2：
在抛物线y2=2x上求一点P，使P到焦点F与到点A（3，2）的距离之和最小.
解：如下图所示，设抛物线的点P到准线的距离为|PQ|
由抛物线定义可知：|PF|=|PQ|
∴|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|
显然当P、Q、A三点共线时，|PQ|+|PA|最小.
∵A(3,2)，可设P（x0,2)代入y2=2x得x0=2
故点P的坐标为（2，2）.
(四)小结
1、抛物线的定义；
2、抛物线的四种标准方程；
3、注意抛物线的标准方程中的字母P的几何意义.
(五)课后练习
PAGE
7
