课件32张PPT。2.3.2《抛物线的简单几何性质》教学目标 知识与技能目标
使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．
从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力
过程与方法目标
复习与引入过程
1．抛物线的定义是什么？
请一同学回答．应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．”
2．抛物线的标准方程是什么？
再请一同学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)，y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p＞0)和x2=-2py(p＞0)．
下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．《板书》抛物线的几何性质y复习结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:
(1)范围
(2)对称性
(3)顶点类比探索x≥0,y∈R关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点.(4)离心率
(5)焦半径
(6)通径始终为常数1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2FP通径的长度：2P思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。特点1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔y2 = 2px
（p>0）y2 = -2px
（p>0）x2 = 2py
（p>0）x2 = -2py
（p>0）x≥0
y∈Rx≤0
y∈Ry≥0
x∈Ry ≤ 0
x∈R(0,0)x轴y轴1变式: 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点
M(2, )的抛物线有几条,求它的标准方程.典型例题：例1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,并且过点M(2, ),求它的标准方程.当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0)(x2=2my (m≠0)),可避免讨论解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1解法二:由题意可知,分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷． 变式： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，
交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆
和这抛物线的准线相切．证明：如图． 所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜
＝｜AF｜＋｜BF｜
＝｜AD｜＋｜BC｜
=2｜EH｜练习:
1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是______________.
2.过抛物线 的焦点,作倾斜角为
的直线,则被抛物线截得的弦长为_________
3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,且|AB|=4 ,求直线AB的方程. y2 = 8xX=3例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.xOyFABD例3 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。xyOFABD小结:1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径;
2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;关于x 轴
对称，无
对称中心关于x 轴
对称，无
对称中心关于y 轴
对称，无
对称中心关于y 轴
对称，无
对称中心e=1e=1e=1e=1分析:直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形：一种是直线平行于抛物线的对称轴；
另一种是直线与抛物线相切． 判断直线与抛物线位置关系的操作程序把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的
对称轴平行相交（一个交点） 计 算 判 别 式分析:
直线与抛物线有两个公共点时△>0 分析:
直线与抛物线没有公共点时△<0 注:在方程中,二次项系数含有k,所以要对k进行讨论
作图要点:画出直线与抛物线只有一个公共点时的情形,观察直线绕点P转动的情形变式一:已知抛物线方程y2=4x,当b为何值时,直线l:y=x+b与抛物线(1)只有一个公共点(2)两个公共点(3)没有公共点.当直线与抛物线有公共点时,b的最大值是多少?分析:本题与例1类型相似,方法一样,通过联立方程组求得.
(1)b=1 (2)b<1
(3)b>1,当直线与抛物线有公共点时,b的最大值当直线与抛物线相切时取得.其值为1变式二:已知实数x、y满足方程y2=4x,求函数
的最值变式三:点(x,y)在抛物线y2=4x上运动,求函数z=x-y的最值.本题转化为过定点(-2,1)的直线与抛物线有公共点时斜率的最值问题.本题转化为直线y=x-z与抛物线有公共点时z的最值问题.无最大值xy解：因为直线AB过定点F且不与x轴平
行,设直线AB的方程为xyxy课件14张PPT。抛物线的几何性质教学目标：
1。掌握抛物线的简单的几何性质
2。能根据抛物线方程解决简单的应用问题结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:
(1)范围
(2)对称性
(3)顶点类比探索x≥0,y∈R关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点.(4)离心率
(5)焦半径
(6)通径始终为常数1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2FP通径的长度：2P思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？特点1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔y2 = 2px
（p>0）y2 = -2px
（p>0）x2 = 2py
（p>0）x2 = -2py
（p>0）x≥0
y∈Rx≤0
y∈Ry≥0
x∈Ry ≤ 0
x∈R(0,0)x轴y轴1例题例1. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点
M(2, )的抛物线有几条,求它的标准方程,当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=mx(m ≠0)(x2=my (m≠0)),可避免讨论焦点弦的长度变题：若抛物线的焦点为（5，0），准线方程为x=-1，求抛物线的方程y2 = 2px
（p＞0）y2 = -2px
（p＞0）x2 = 2py
（p＞0）x2 = -2py
（p＞0）关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）2.过抛物线的焦点做倾斜角为 的直线L,设L交抛物线于A,B两点,(1)求|AB|;(2)求|AB|的最小值.例4.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.xOyFABD小结:1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径;
2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;2. 3.2抛物线的简单几何性质
（一）学习目标：
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 .
（二）学习重点：抛物线的几何性质及其运用
（三）学习难点：抛物线几何性质的运用
（四）学习过程：
一、复习引入：（回顾并填表格）
1．抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做 . 定点F叫做抛物线的 ，定直线叫做抛物线的 .
图形
方程
焦点
准线
2．抛物线的标准方程：
相同点：
不同点：
二、讲解新课：
类似研究双曲线的性质的过程，我们以为例来研究一下抛物线的简单几何性质：
1．范围
2．对称性
3．顶点
4．离心率
对于其它几种形式的方程，列表如下：（通过对照完成下表）
标准方程
图形
顶点
对称轴
焦点
准线
离心率
注意的几何意义：
思考：抛物线有没有渐近线？（体会抛物线与双曲线的区别）
三、例题讲解：
例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
例2斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.
（思考用不同方法求解）
变式训练：过抛物线的焦点作直线，交抛物线于,两点，若，求。
点评：由以上例2以及变式训练可总结出焦点弦弦长：
四、达标练习：
1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（ ）
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4
2．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
3．过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是 ______
4.定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到轴距离的最小值，并求出此时中点的坐标.
参考答案：1. B 2. B 3. 4. , M到轴距离的最小值为.
五、小结 ：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等.
六、课后作业：
1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．
（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．
（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．
2．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2、B2，则∠A2FB2等于 .
3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．
4．以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．
5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？
习题答案：
1．（1）y2＝±32x （2）x2＝8y （3）x2＝－8y
2．90° 3．x2＝±16 y 4． 5．米
七、板书设计（略）
2.3.2抛物线的简单几何性质
（一）教学目标：
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 .
（二）教学重点：抛物线的几何性质及其运用
（三）教学难点：抛物线几何性质的运用
（四）教学过程：
一、复习引入：（学生回顾并填表格）
1．抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.
图形
方程
焦点
准线
2．抛物线的标准方程：
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即.
不同点：(1)图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为，左端为. （2）开口方向在x轴（或y轴）正向时，焦点在x轴（或y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在x轴（或y轴）负向时，焦点在x轴（或y轴）负半轴时，方程右端取负号.
二、讲解新课：
类似研究双曲线的性质的过程，我们以为例来研究一下抛物线的简单几何性质：
1．范围
因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
2．对称性
以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．
4．离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．
对于其它几种形式的方程，列表如下：（学生通过对照完成下表）
标准方程
图形
顶点
对称轴
焦点
准线
离心率
轴
轴
轴
轴
注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离.
思考：抛物线有没有渐近线？（体会抛物线与双曲线的区别）
三、例题讲解：
例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p．
解：由题意，可设抛物线方程为，因为它过点，
所以 ，即
因此，所求的抛物线方程为．
将已知方程变形为，根据计算抛物线在的范围内几个点的坐标，得
x
0
1
2
3
4
…
y
0
2
2.8
3.5
4
…
描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分
点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．
例2斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.
解法1：如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F（1，0），准线方程x=—1.
由题可知，直线AB的方程为y=x—1
代入抛物线方程y2=4x，整理得：x2—6x+1=0
解上述方程得x1=3+2,x2=3—2
分别代入直线方程得y1=2+2,y2=2—2
即A、B的坐标分别为（3+2，2+2），（3—2，2—2）
∴|AB|=
解法2：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1+x2=6,x1·x2=1
∴|AB|=|x1—x2|
解法3：设A（x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知，
|AF|等于点A到准线x=—1的距离|AA′|
即|AF|=|AA′|=x1+1
同理|BF|=|BB′|=x2+1
∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8
点评：解法2是利用韦达定理根与系数的关系，设而不求，是解析几何中求弦长的一种普遍适用的方法；解法3充分利用了抛物线的定义，解法简洁，值得引起重视。
变式训练：过抛物线的焦点作直线，交抛物线于,两点，若，求。
解：，，。
点评：由以上例2以及变式训练可总结出焦点弦弦长：或。
四、达标练习：
1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（ ）
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4
2．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
3．过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是 ______
4.定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到轴距离的最小值，并求出此时中点的坐标.
参考答案：1. B 2. B 3. 4. , M到轴距离的最小值为.
五、小结 ：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等.
六、课后作业：
1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．
（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．
（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．
2．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2、B2，则∠A2FB2等于 .
3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．
4．以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．
5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？
习题答案：
1．（1）y2＝±32x （2）x2＝8y （3）x2＝－8y
2．90° 3．x2＝±16 y 4． 5．米
七、板书设计（略）
课件12张PPT。抛物线的几何性质y2 = 2px
（p＞0）y2 = -2px
（p＞0）x2 = 2py
（p＞0）x2 = -2py
（p＞0）关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）例2、已知直线l：x=2p与抛物线 =2px(p>0)交于A、B两点，求证：OA⊥OB.证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p)
所以 =1， =-1
因此OA⊥OB变题1 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线 =2px(p>0)交于A、B两点，求证：OA⊥OB.证明：设l 的方程为y=k(x-2p) 或x=2p 变题2： 若直线l与抛物线 =2px(p>0)交于A、B两点，
且OA⊥OB ，则__________ 直线l过定点(2p,0)验证：由 得
所以直线l的方程为 即
而因为OA⊥OB ，可知 推出 ，代入
得到直线l 的方程为
所以直线过定点（2p,0).高考链接：过定点Q（2p,0)的直线与
y2 = 2px（p＞0）交于相异两点A、B，以线段AB为
直径作圆C(C为圆心），试证明抛物线顶点在圆H上。变题3：若过O 引AB的垂线，垂足为H，求H的
轨迹方程变题4：若AB的中点为M，求M的轨迹方程。例3：.经过抛物线y2=2px (p>0)的焦点F一条直线和这抛物线相交于两点P1,P2 ，则
以线段P1P2为直径的圆与准线的位置关
系是怎么？变题1.经过抛物线y2=2px (p>0)的焦点F一条直线和这抛物线相交于两点P1,P2,过P1,P2分别作准线的垂线,垂足分别是M,N,以线段MN 为直径的圆有什么性质？变题2.经过抛物线y2=2px (p>0)的焦点F一条直线和这抛物线相交于两点P1,P2 ，通过点P1和抛物线顶点的直线交准线于点N，求证：直线NP2平行于抛物线的对称轴。高考链接.(全国理科题)
设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛
物线的准线上，且BC//x轴.证明直线AC经
过原点O. 习题精选
一、选择题
1．过抛物线焦点 的直线与抛物线相交于 ， 两点，若 ， 在抛物线准线上的射影分别是 ， ，则 为（ ）．
A．45° B．60° C．90° D．120°
2．过已知点 且与抛物线 只有一个公共点的直线有（ ）．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．已知 ， 是抛物线 上两点， 为坐标原点，若 ，且 的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线 的方程是（ ）．
A． B． C． D．
4．若抛物线 （ ）的弦PQ中点为 （ ），则弦 的斜率为（）
A． B． C． D．
5．已知 是抛物线 的焦点弦，其坐标 ， 满足 ，则直线 的斜率是（）
A． B． C． D．
6．已知抛物线 （ ）的焦点弦 的两端点坐标分别为 ， ，则 的值一定等于（ ）
A．4 B．－4 C． D．
7．已知⊙ 的圆心在抛物线 上，且⊙ 与 轴及 的准线相切，则⊙ 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．当 时，关于 的方程 的实根的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．将直线 左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线 仅有一个公共点，则实数 的值等于（ ）
A．－1????? B．1??????? C．7??????? D．9
10．以抛物线 （ ）的焦半径 为直径的圆与 轴位置关系为（ ）
A．相交???? B．相离???? C．相切???? D．不确定
11．过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 ， 两点，如果 ，那么 长是（ ）
A．10?????? B．8??????? C．6??????? D．4
12．过抛物线 （ ）的焦点且垂直于 轴的弦为 ， 为抛物线顶点，则 大小（ ）
A．小于 B．等于 C．大于 D．不能确定
13．抛物线 关于直线 对称的曲线的顶点坐标是（ ）
A．（0，0） B．（－2，－2） C．（2，2） D．（2，0）
14．已知抛物线 （ ）上有一点 ，它到焦点 的距离为5，则 的面积（ 为原点）为（ ）
A．1 B． C．2 D．
15．记定点 与抛物线 上的点 之间的距离为 ， 到此抛物线准线 的距离为 ，则当 取最小值时 点的坐标为（ ）
A．（0，0） B． C．（2，2） D．
16．方程 表示（ ）
A．椭圆???? B．双曲线?????? C．抛物线?????? D．圆
17．在 上有一点 ，它到 的距离与它到焦点的距离之和最小，则 的坐标为（）
A．（－2，8） B．（2，8） C．（－2，－8） D．（－2，8）
18．设 为 过焦点的弦，则以 为直径的圆与准线交点的个数为（）
A．0??????? B．1??????? C．2??????? D．0或1或2
19．设 ， 为抛物线 上两点，则 是 过焦点的（）
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．不充分不必要
20．抛物线垂点为（1，1），准线为 ，则顶点为（）
A． B． C． D．
21．与 关于 对称的抛物线是（）
A． B． C． D．
二、填空题
1.顶点在原点，焦点在 轴上且通径（过焦点和对称轴垂直的弦）长为6的抛物线方程是_________．
2.抛物线顶点在原点，焦点在 轴上，其通径的两端点与顶点连成的三角形面积为4，则此抛物线方程为_________．
3．过点（0，－4）且与直线 相切的圆的圆心的轨迹方程是_________．
4．抛物线 被点 所平分的弦的直线方程为_________．
5．已知抛物线 的弦 过定点（－2，0），则弦 中点的轨迹方程是________．
6．顶点在原点、焦点在 轴上、截直线 所得弦长为 的抛物线方程为____________．
7．已知直线 与抛物线 交于 、 两点，那么线段 的中点坐标是__?????????? _．
8．一条直线 经过抛物线 （ ）的焦点 与抛物线交于 、 两点，过 、 点分别向准线引垂线 、 ，垂足为 、 ，如果 ， ， 为 的中点，则 =__________．
9． 是抛物线的一条焦点弦，若抛物线 ， ，则 的中点 到直线 的距离为_________．
10．抛物线 上到直线 的距离最近的点的坐标是____________．
11．抛物线 上到直线 距离最短的点的坐标为__________．
12．已知圆 与抛物线 （ ）的准线相切，则 =________．
13．过 （ ）的焦点 的弦为 ， 为坐标原点，则 =________．
14．抛物线 上一点 到焦点的距离为3，则点 的纵坐标为__________．
15．已知抛物线 （ ），它的顶点在直线 上，则 的值为__________．
16．过抛物线 的焦点作一条倾斜角为 的弦，若弦长不超过8，则 的范围是________．
17．已知抛物线 与椭圆 有四个交点，这四个交点共圆，则该圆的方程为__________．
18．抛物线 的焦点为 ，准线 交 轴于 ，过抛物线上一点 作 于 ，则梯形 的面积为_______________．
19．探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分，安装灯源的位置在抛物线的焦点 处，如果 到灯口平面的距离恰好等于灯口的半径，已知灯口的半径为30cm，那么灯深为_________．
三、解答题
1．知抛物线 截直线 所得的弦长 ，试在 轴上求一点 ，使 的面积为39
2．若 的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程
3．已知 是以原点 为直角顶点的抛物线 （ ）的内接直角三角形，求 面积的最小值．
4．若 ， 为抛物线 的焦点， 为抛物线上任意一点，求 的最小值及取得最小值时的 的坐标．
5．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上一宽4米，高6米的大木箱，问能否安全通过．
6．抛物线以 轴为准线，且过点 ，（ ）求证不论点 的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹是椭圆，且离心率为定值．
7．已知抛物线 （ ）的焦点为 ，以 为圆心， 为半径，在 轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点 、 ， 为线段 的中点．①求 的值；②是否存在这样的 ，使 、 、 成等差数列，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
8．求抛物线 和圆 上最近两点之间的距离．
9．正方形 中，一条边 在直线 上，另外两顶点 、 在抛物线 上，求正方形的面积．
10．已知抛物线 的一条过焦点的弦被焦点分为 ， 两个部分，求证 ．
11．一抛物线型拱桥的跨度为 ，顶点距水面 ．江中一竹排装有宽 、高 的货箱，问能否安全通过．
12．已知抛物线 上两点 ， （ 在第二象限）， 为原点，且 ，求当 点距 轴最近时， 的面积 ．
13． 是抛物线 上的动点，连接原点 与 ，以 为边作正方形 ，求动点 的轨迹方程．
参考答案：
一、1．C；2．C；3．D；4．B；5．C；6．B；7．B；8．D；9．C
10．C；11．B；12．C；13．C；14．C；15．C；16．C；17．B；18．B；19．C；20．A；21．D
二、1．；2．；3．；4．
5．；6． （在已知抛物线内的部分）
7． 或；8．（4，2）；9．
10．；11．；12．2；13．－4
14．2；15．0， ， ，；16．
17．；18．3．14；19．36.2cm
三、1．先求得 ，再求得 或
2．
3．设 ， ，则由 得 ，
， ，于是
当 ，即 ， 时，
4．抛物线 的准线方程为 ，过 作 垂直准线于 点，由抛物线定义得 ， ，要使 最小， 、 、 三点必共线，即 垂直于准线， 与抛物线交点为 点，从而 的最小值为 ，此时 点坐标为（2，2）．
5．建立坐标系，设抛物线方程为 ，则点（26，－6.5）在抛物线上， ? ?? 抛物线方程为 ，当 时， ，则有 ，所以木箱能安全通过．
6．设抛物线的焦点为 ，由抛物线定义得 ，设顶点为 ，则 ，所以 ，即 为椭圆，离心率 为定值．
7．①设 、 、 在抛物线的准线上射影分别为 、 、 ，则由抛物线定义得，
又圆的方程为 ，将 代入得
②假设存在这样的 ，使得
，由定义知点 必在抛物线上，这与点 是弦 的中点矛盾，所以这样的 不存在
8．设 、 分别是抛物线和圆上的点，圆心 ，半径为1，若 最小，则
也最小，因此 、 、 共线，问题转化为在抛物线上求一点 ，使它到点 的距离最小.为此设 ，则 ， 的最小值是
9．设 所在直线方程为 ， 消去 得???
又直线 与 间距离为
?? 或
从而边长为 或 ，面积 ，
10．焦点为 ，设焦点弦 端点 ， ，当 垂直于 轴，则 ，结论显然成立；当 与 轴不垂直时，设 所在直线方程为 ，代入抛物线方程整理得 ，这时 ，于是 ，命题也成立．
11．取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为 轴建立直角坐标系，则桥墩的两端坐标分别为（－26，－6.5），（26，－6.5），设抛物线型拱桥的方程为 ，则 ，所以 ，抛物线方程为 ．当 时， ，而 ，故可安全通过．
12．设 ，则 ，因为 ，所以 ，直线 的方程为 ，将 代入，得点 的横坐标为 （当且仅当 时取等号），此时 ， ， ， ，所以 ．
13．设 ， ，过 ， 分别作为 轴的垂线，垂足分别为 ， ，而证得 ≌ ，则有 ， ，即 、 ，而 ，因此 ，即 为所求轨迹方程．
?
抛物线和简单几何性质
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．
(二)能力训练点
从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．
(三)学科渗透点
使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．
二、教材分析
1．重点：抛物线的几何性质及初步运用．[来源:Z_xx_k.Com]
(解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．)
2．难点：抛物线的几何性质的应用．
(解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用．)
3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式．
(解决办法：引导学生证明并加以记忆．)
三、活动设计
提问、填表、讲解、演板、口答．
教学过程
【情境设置】
由一名学生回答，教师板书．
问题 抛物线的标准方程是怎样的？答为：抛物线的标准方程是 ．
与椭圆、双曲线一样，通过抛物线的标准方程可以研究它的几何性质．
下面我们根据抛物线的标准方程： 来研究它的几何性质．
【探索研究】
1．抛物线的几何性质
（1）范围
因为 ，由方程可知 ，所以抛物线在 轴的右侧，当 的值增大时， 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
（2）对称性
以 代 ，方程不变，所以抛物线关于 轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
（3）顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当 时 ，因此抛物线的顶点就是坐标原点．
（4）离心率
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知
其他三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得，教师用小黑板给出来表让学生填写．[来源:学科网]
再向学生提出问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？
学生和教师共同小结：
（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；
（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；
（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；
（4）抛物线的离心率是确定的，为1．
【例题分析】
例1已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
求标准方程，请一名学生演板，教师予以纠正．画图可由教师讲解，步骤如下：
由求出的标准方程 ，变形为 ，根据 计算抛物线在 的范围内几个点的坐标，得
0
1
2
3
4
……
0
1
2.8
3.5
4
……
描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分（如图 ）．
然后说明利用抛物线的通性，能够方便地画出反映抛物线基本特征的草图．
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为 ，灯深 ，求抛物线的标准方程和焦点位置．
解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合， 轴垂直于灯口直径．
抛物线的标准方程为 ，由已知条件可得点 的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得： ，
所以所求抛物线的标准方程为 ，焦点坐标是 .
（三）随堂练习
1．求适合下列条件的抛物线方程[来源:学科网ZXXK]
①顶点在原点，关于 轴对称，并且经过点
②顶点在原点，焦点是
③顶点在原点，准线是
④焦点是 ，准线是
2．一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是 m，跨度是 m，求拱形的抛物线方程
答案：1．① ② ③ ④
2． (要选建立坐标系)
（四）总结提炼
抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，也没有渐近线．
（五）布置作业
1．顶点在原点、焦点在 轴上，且过点 的抛物线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线 上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
3．若垂直于 轴的直线交抛物线 于点 ，且 ，则直线 的方程为__________.
4．抛物线形拱桥，当水面宽 时，水面离拱顶为 ，若水下降 ，则此时水面宽为___________.
5．抛物线的顶点是双曲线 的中心，而焦点是双曲线的左顶点，求抛物线方程．
6．若抛物线 上一点 到准线及对称轴的距离分别是10和6，求 的横坐标及抛物线方程．
答案：1．B 2．C 3． 4． 5． 6．9，
（六）板书设计
教案点评：
本节课首先设置情境，让学生利用类比的思想，探索、归纳、总结出与椭圆、双曲线类似的性质，并与椭圆、双曲线的性质比较，便于学生掌握这三种曲线的性质。通过两道例题和练习进一步让学生掌握性质的运用。
课题： 2.3.2抛物线的几何性质
1、记住抛物线的几何性质，会根据抛物线的几何性质确定抛物线的位置及基本量；
2.会简单应用抛物线的几何性质
◇问题引导，自我探究◇
抛物线的几何性质列表如下[来源:Zxxk.Com]
标准方程
图形|X|X|
焦点坐标
准线方程
范围
对称性
顶点
离心率 [来源:学科网ZXXK]
◇自学测试◇
1、___抛物线上的点M到焦点的距离和他到准线的距离之比________叫做抛物线的离心率抛物线的离心率是 1
2 求适合下列条件的抛物线的标准方程
（1）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M(5,-4)
(2) 顶点在原点,焦点是F(0,5)
(3)焦点是F(0,-8),准线是y=8
（选做题）
3 、设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
4、已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且， 则有（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
课题： 2.3.2抛物线的几何性质
〖学习目标及要求〗：
1、学习目标：（1）能用对比的方法分析抛物线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；；
（2）能根据抛物线的几何性质，确定抛物线的方程并解决简单问题。
2、重点难点：抛物线的范围、对称性、顶点和准线。3、高考要求：定义性质在解题中的灵活运用。
4、体现的思想方法：抛物线的几何性质在解题中的灵活运用。
5、知识体系的建构：圆锥曲线体系的建构。
〖讲学过程〗：
一、预习反馈:
二、探究精讲:
探究一：
探究一：
范围
当x的值增大时,也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支的区别,无渐近线).
2.对称性
抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴.
3.顶点
抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点.
4.离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用e表示.由抛物线定义可知,e=1.
说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径。
（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线。
探究二：
课本68页例3
已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
探究三：
例3．若抛物线的通径长为7，顶点在坐标原点，且关于坐标轴对称，求抛物线的方程．
三、感悟方法练习：
〖备选习题〗：
A 组
1．在抛物线y2=12x上，求和焦点的距离等于9的点的坐标
B组
1. 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1+x2=6，求|AB|的值．
〖备选习题〗：
A 组
1．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：
(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；
(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(6，3)．
2．求焦点在直线3x4y12=0上的抛物线的标准方程．
B组
1、双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为 （ ）
A． B． C． D．
〖归纳小结〗：
[来源:学_科_网Z_X_X
☆要点强化☆ 班级 姓名
能根据抛物线的几何性质，确定抛物线的方程并解决简单问题。
☆当堂检测☆
1. 对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P（a,0）都满足|PQ||a|,则a的取值范围是（ ）
A、B、C、D、
2、抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为（ ）
A、 B、 C、8 D、-8[来源:学科网]
3、抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A、 B、 C、 D、0
4、在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则P的值为（ ）
A、 B、 C、2 D、4[来源:Z.xx.k.Com]
(选作题)
5、对于焦点在原点的抛物线，给出下列条件:
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点带焦点的距离为6[来源:学+科+网Z+X+X+K]
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线做垂线，垂足坐标为（2，1）
能使这抛物线方程为y2=10x的条件____________[来源:Z|xx|k.Com]
☆学习心得☆
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------[来源:Z_xx_k.Com]
抛物线 同步测试
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．抛物线的焦点坐标是 （ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线方程为 （ ）
A． B． C． D．
3．抛物线截直线所得弦长等于 （ ）
A． B． C． D．15
4．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 （ ）
A．或 B．或
C． D．
5．点到曲线（其中参数）上的点的最短距离为 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
6．抛物线上有三点，是它的焦点，若 成等差数列，则 （ ）
A．成等差数列 B．成等差数列
C．成等差数列 D．成等差数列
7．若点A的坐标为（3，2），为抛物线的焦点，点是抛物线上的一动点，则 取得最小值时点的坐标是 （ ）
A．（0，0） B．（1，1） C．（2，2） D．
8．已知抛物线的焦点弦的两端点为,,则关系式
的值一定等于 （ ）
A．4p B．－4p C．p2 D．－p
9．过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是，则 （ ）
A． B． C． D．
10．若AB为抛物线y2=2px (p>0)的动弦，且|AB|=a (a>2p)，则AB的中点M到y轴的最近距离是 （ ）
A．a B．p C．a＋p D．a－p
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．抛物线上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________．
12．已知圆，与抛物线的准线相切，则 ___________．
13．如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数a的取值范围是 ．
14．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；
（1）焦点在y轴上； （2）焦点在x轴上；
（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5；
（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．
其中适合抛物线y2=10x的条件是(要求填写合适条件的序号） ______．
三、解答题（本大题共6小题，共76分）
15．已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（2）求线段BC中点M的坐标；
（3）求BC所在直线的方程.（12分）
[来源:学科网]
16．已知抛物线y=ax2－1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a的取值范围.（12分）
17．抛物线x2=4y的焦点为F，过点(0，－1)作直线L交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB，试求动点R的轨迹方程.（12分）
18．已知抛物线C：，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线．
（1）若C在点M的法线的斜率为，求点M的坐标（x0，y0）；
（2）设P（－2，a）为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.（12分）
[来源:Z+xx+k.Com]
19．已知抛物线y2=4ax(0＜a＜1＝的焦点为F，以A(a+4,0)为圆心，｜AF｜为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点．
（1）求｜MF｜+｜NF｜的值；
（2）是否存在这样的a值，使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列?如存在，求出a的值，若不存在，说明理由.（14分）
[来源:Z#xx#k.Com]
20．如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.
（1）求点Q的坐标；
（2）当P为抛物线上位于线段AB下方
（含A、B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.（14分）
[来源:Z|xx|k.Com]
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
B
B
A
C
B
C
D
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11． 12． 2 13． 14． （2），（5）
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．（12分）[解析]：（1）由点A（2，8）在抛物线上，有，
解得p=16. 所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）.
（2）如图，由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的
定比分点，且，设点M的坐标为，则
，解得，
所以点M的坐标为（11，－4）．
（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在
的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：
由消x得，
所以，由（2）的结论得，解得
因此BC所在直线的方程为：
16．（12分）
[解析]：设在抛物线y=ax2－1上关于直线x+y=0对称的相异两点为P(x,y),Q(－y,－x)，则
，由①－②得x+y=a(x+y)(x－y),∵P、Q为相异两点，∴x+y≠0，又a≠0，
∴，代入②得a2x2－ax－a+1=0，其判别式△=a2－4a2(1－a)＞0，解得．
17．（12分）[解析]：设R(x,y),∵F(0,1), ∴平行四边形FARB的中心为，L:y=kx－1,代入抛物线方程得x2－4kx+4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=4，且△=16k2－16＞0，即|k|＞1 ①，
，∵C为AB的中点.
∴
，消去k得x2=4(y+3),由① 得，，故动点R的轨迹方程为x2=4(y+3)( )．
18．（14分） [解析]：（1）由题意设过点M的切线方程为：，代入C得，
则，，即M（－1，）．
（2）当a＞0时，假设在C上存在点满足条件．设过Q的切线方程为：，代入
，则，
且．若时，由于，
∴ 或 ；若k=0时，显然也满足要求．
∴有三个点（－2＋，），（－2－，）及（－2，－），
且过这三点的法线过点P（－2，a），其方程分别为：
x＋2y＋2－2a＝0，x－2y＋2＋2a＝0，x＝－2.
当a≤0时，在C上有一个点（－2，－），在这点的法线过点P（－2，a），其方程为：x＝－2.
19．（12分）[解析]：（1）F（a,0）,设，由
，， （2）假设存在a值，使的成等差数列，即
①，∵P是圆A上两点M、N 所在弦的中点，∴
由①得，这是不可能的．
∴假设不成立．即不存在a值，使的成等差数列．
20．（14分）[解析]：【解】(1) 解方程组 得 或
即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由kAB==,直线AB的垂直平分线方程
y－1=(x－2). 令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)．
(2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x2－4).∵点P到直线OQ的距离
d==,,∴SΔOPQ==.
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, ∴－4≤x<4－4或4－4 ∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30．
