北师大版高中数学必修五3.3.2基本不等式最大最小值教案

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名称 北师大版高中数学必修五3.3.2基本不等式最大最小值教案
格式 zip
文件大小 63.9KB
资源类型 教案
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2019-09-05 21:42:18

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文档简介

§3.3.2基本不等式与最大(小)值

【教材版本】北师大版
【教材分析】
1.知识内容与结构分析
本小节内容包括两部分,第一部分是使学生在感性问题出发,利用基本不等式求最值;第二部分利用应用题的解决体现基本不等式在实际问题中的实用性,并同时锻炼学生理解题义并将实际问题转化为函数最值问题的能力。
2.知识学习意义分析
熟练运用基本不等式求函数最值的技能,掌握一些代数式变形的方法。
3.教学建议与学法指导
在“一正、二定、三相等”解决具体问题的思路指导下,引导学生对实际问题分析、讨论得出相应函数式,指导并解决问题.
【学情分析】
了解学生对基本不等式的掌握程度,明确运用基本不等式的要点“一正、二定、三相等”。
【教学目标】
1.知识与技能
进一步掌握基本不等式;会应用此不等式求某些函数的最值;能够解决一些简单的实际问题;
2.过程与方法
进一步掌握基本不等式,并会用此定理求某些函数的最大、最小值;
3.情感、态度与价值观
引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【重点难点】
1.教学重点:基本不等式的应用
2.教学难点:利用基本不等式求最大值、最小值。
【教学环境】
◆多媒体教室
◆课件
【教学思路】
【教学过程】
一、情境引入,提出问题
1、基本不等式及其等号成立的条件 ,
2、若,利用基本不等式按大小排序
3、若,求的最小值;
“模块一”中可以利用函数的单调性得出解答,但利用基本不等式更方便;
二、讲授新课
1、思考、讨论下列问题
(1)长为16的细铁丝围成的矩形中,面积最大有多大?
(2)面积为16的矩形中,周长最小为多少?
2、抽象概括
(1)长为16的细铁丝围成的矩形中,边长为4的正方形面积最大;面积为16的矩形中,边长为4的正方形周长最小;
(2)当都为正数时,有下列结论:
若(定值)时,则当时,积取得最大值,且最大值为;
若(定值)时,则当时,和取得最小值,且最小值为。
(3)“一正、二定、三公式”
三、范例及思考
例1 分别求出函数和 的最小值。
[分析]对于,因为和均为正数,且积为常数,故应有最小值,即,当且仅当时,即时取等号;
对于,有,当且仅当时,即时取等号;(基本不等式作了推广)
例2 设为正数,且,求的最大值。
[分析]因为正数,且,所以应有最大值,从而有最大值,问题的解就容易得到了
解:因,所以由基本不等式,得

由于,所以,即;当且仅当时取等号;
因此有
解之得
当时,有最大值10
这样
所以当时,有最大值1。
例3 某工厂要建造一个长方形无盖贮水池,其容积为4800深为3 m。如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低造价为多少元?
分析:若底面的长和宽确定了,水池的造价也就确定了,因此可转化为考察底面的长和宽各为多少时,水池的总造价最低。
解:设底面的长为 m,宽为 m, 水池总造价为 元,根据题意,有

由容积为4800可得,
因此,
由基本不等式与不等式性质,可得,
即,

当且仅当时取等号,这时
所以,将水池的地面设计成边长为的正方形时总造价最低,最低造价为297600元。
四、课堂练习及思考
1、若,求的最小值。
2、若,求的最大值。
3、求证:直径为的圆的内接矩形中,面积最大的是正方形,这个正方形的面积等于。
五、课堂小结
1、和一定时,积最大;积一定时,和最小;“一正、二定、三公式”
2、解应用题时,要审题、列函数式、合理准确地利用基本不等式解决问题。