2019-2020学年高中数学新人教B版必修1课件：第3章基本初等函数3.1.2指数函数（51张）

课件51张PPT。3.1.2　指数函数1.理解指数函数的概念和意义,能画出具体指数函数的图象.
2.探索并理解指数函数的单调性与特殊点等性质.
3.利用计算工具,比较指数函数增长的差异.121.指数函数的定义
函数y=ax(a>0,a≠1,x∈R)叫做指数函数,其中x是自变量.12(2)指数函数解析式y=ax(a>0,且a≠1)的特征:
①底数a为大于0且不等于1的常数,不含有自变量x;
②指数位置是自变量x,且x的系数是1;
③ax的系数是1.
一个函数解析式只有完全满足上述条件时才是指数函数.1212122.指数函数的图象和性质 12名师点拨1.在指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)中,不论a取何值,总有f(0)=a0=1,所以其图象经过定点(0,1).在指数型函数y=k·af(x)+b中,令f(x)=0,若得x=x0,则其图象经过定点(x0,k+b).
2.函数y=a|x|(a>0,且a≠1)不是指数函数,但它与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)有一定的联系,它的图象和性质如下表:1212【做一做2-1】 函数y=2-x的图象是(　　)
答案:B
【做一做2-2】 在函数y=ax-1+2 016(a>0,且a≠1)中,无论a取何值恒经过一个定点,则这个定点的坐标为　　　　.?
解析:函数y=ax的图象经过一个定点(0,1),在函数y=ax-1+2 015中,令x-1=0,即x=1,得y=2 017,则定点坐标为(1,2 017).
答案:(1,2 017)12【做一做2-3】 (1)已知3x≥9,求实数x的取值范围;
(2)已知0.2x+1<5,求实数x的取值范围.
解:(1)因为3>1,所以指数函数y=3x在R上为增函数.
由3x≥9=32,可得x≥2,即x的取值范围是[2,+∞).
(2)因为0<0.2<1,所以指数函数y=0.2x在R上为减函数.
所以0.2x+1<0.2-1,所以x+1>-1.
所以x>-2,即x的取值范围是(-2,+∞).一、指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的函数值的变化规律
剖析:先从具体函数入手:
列表:从上表中很容易发现:①当x<0时,总有2x>3x;②当x>0时,总有2x<3x;③当x从1增加到3,y=2x的函数值从2增加到8,y=3x的函数值从3增加到27,说明当x>0时,函数y=3x的函数值比y=2x的函数值增长得快.
对于指数函数y=ax(a>0,且a≠1),将底数a由2变为3,发现它们的图象发生了显著变化,在第一象限内,底数a越小,函数的图象越接近x轴.归纳总结指数幂ax和1的比较:
当x<0,a<1或x>0,a>1时,ax>1,即指数x和0比较,底数a和1比较,当不等号的方向相同时,ax大于1,简称为“同大”;
当x<0,a>1或x>0,a<1时,ax<1,即指数x和0比较,底数a和1比较,当不等号的方向相反(异)时,ax小于1,简称为“异小”.
因此简称为“同大异小”.知识拓展1.当底数a的大小不确定时,必须分“a>1”和“02.当01时,x→-∞,y→0.当a>1时,a的值越大,图象随x增大递增的速度越快;当0指数函数y=ax(a>0,且a≠1),当a>1时,x取何值,y>1?x取何值,0剖析:当a>1时,若x>0,则y>1;若x<0,则0当01;若x>0,则00,且a≠1)的定义域主要分析f(x)的定义域和值域.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五反思1.对于指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1),其定义域就是函数f(x)的定义域,可按照求函数定义域的一般方法进行求解;
2.求指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的值域时,通常采用逐步递推的方法,先确定f(x)的取值范围,再结合指数函数的单调性求得原函数的值域.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五解:(1)①指数函数y=3.3x在R上为增函数.因为0.1<0.2,所以3.30.1<3.30.2.
②因为1.70.3>1,0.93.1<1,
所以1.70.3>0.93.1.
③当a>1时,函数y=ax在R上是增函数,此时a1.3当0a2.5.
综上,当a>1时,a1.3当0a2.5.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五反思1.在进行幂值的大小比较时,若底数相同,则可根据指数函数的单调性得出结果;若底数不相同,则首先考虑能否化为同底数,然后根据指数函数的单调性得出结果;不能化成同底数的,要考虑引进第三个数(如0,1等)分别与之比较,从而得出结果.总之,比较时要尽量转化成同底的形式,根据指数函数的单调性进行判断.
2.函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性可按如下规则确定:
(1)当a>1时,函数y=af(x)的单调性与f(x)的单调性相同;
(2)当0(3)当底数a不确定时,要分a>1和0(1)y=2x-2,y=2x+1;
(2)y=2x+1,y=2x-2;
(3)y=-2x,y=2-x,y=-2-x.
分析:先作出y=2x的图象,再向左(右)、上(下)平移分别得到第(1)(2)题中函数的图象;由y=2x的图象作关于x轴,y轴,原点的对称变换便得第(3)题中函数的图象.题型一题型二题型三题型四题型五解:列表:
根据上表中x,y的对应值在平面直角坐标系中描点作图,函数y=2x的图象如图①所示.① (1)函数y=2x-2的图象可以由y=2x的图象向右平移2个单位得到,函数y=2x+1的图象可以由y=2x的图象向左平移1个单位得到.图象如图①所示. 题型一题型二题型三题型四题型五(2)函数y=2x+1的图象可以由y=2x的图象向上平移1个单位得到,函数y=2x-2的图象可以由y=2x的图象向下平移2个单位得到.图象如图②所示.
②题型一题型二题型三题型四题型五(3)函数y=2-x的图象由y=2x的图象关于y轴对称后得到;函数y=-2x的图象由y=2x的图象关于x轴对称后得到;函数y=-2-x的图象由y=2x的图象关于原点对称后得到.图象如图③所示.
③题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五(1)确定a的值;
(2)求函数的定义域;
(3)求函数的值域;
(4)讨论函数的单调性.
分析:可通过奇函数的定义,得f(-x)+f(x)=0,推导出a的值;而求函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围;值域求解通常可利用单调性逐步求解.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五反思把握函数的定义域、值域、奇偶性及单调性的定义是解决本题的关键.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五易错点:忽视变量的取值范围致误
【例5】 求函数y=4x-2x+1+3,x∈(-∞,1]的值域.
错解:(换元法)因为y=(2x)2-2·2x+3,
所以令2x=t,
则原函数化为y=t2-2t+3=(t-1)2+2.
所以当t=1时,ymin=2,即y≥2,
即函数y=4x-2x+1+3,x∈(-∞,1]的值域为[2,+∞).
错因分析:忽视了新的自变量t的取值范围,而使y的取值范围扩大.题型一题型二题型三题型四题型五正解:∵原函数可化为y=22x-2·2x+3,令t=2x,x∈(-∞,1],
∴t∈(0,2].
∴y=t2-2t+3=(t-1)2+2.
当t=1时,ymin=2;
当t=2时,ymax=22-2×2+3=3.
故函数的值域为[2,3].题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练5】 已知函数f(x)=9x-2×3x+4,x∈[-1,2],求f(x)的最大值与最小值.
又因为y=t2-2t+4=(t-1)2+3,
所以当t=1时,此时x=0,f(x)取最小值3;
当t=9时,此时x=2,f(x)取最大值67.1 2 3 4 5 61下列函数中是指数函数的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=(-4)x B.y=-4x
C.y=42x D.y=4x+2
解析:因为y=42x=16x,所以y=42x是指数函数.
答案:C1 2 3 4 5 62已知集合A={y|y=31-x,x∈R},B={x|1≤x≤4},则 (　　)
A.A∩B=? B.A∩B=[1,3]
C.A∪B=(0,+∞) D.A∩B=(0,4]
解析:由题意知,A=(0,+∞).因为B=[1,4],
所以A∩B=[1,4],A∪B=(0,+∞).
答案:C1 2 3 4 5 6答案:C 1 2 3 4 5 6答案:A 1 2 3 4 5 65若函数f(x)=(3a-2)x在R上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　　.?1 2 3 4 5 66已知函数y=ax+b(a>0,且a≠1)的图象经过第一、三、四象限,试确定a,b的取值范围.
分析:函数y=ax+b的图象是由y=ax的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位得到的,其形状与y=ax的图象相同.解:如图所示,由图象经过第一、三、四象限,可知a>1.当x=0时,y<0,
即a0+b<0,故b<-1.
故a,b的取值范围分别是(1,+∞),(-∞,-1).