2019-2020学年高中数学新人教B版必修1课件：第3章基本初等函数3.2.1对数及其运算（41张）

课件41张PPT。3.2　对数与对数函数3.2.1　对数及其运算1.理解对数的概念及其运算性质,掌握积、商、幂的对数的运算法则.
2.知道换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
3.了解对数的发现历史及对简化运算的作用.12341.对数的概念
(1)如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数,记作b=logaN(a>0,且a≠1),其中a叫做对数的底数,N叫做真数;
(2)以10为底的对数叫做常用对数,即log10N,记作lg N;?
(3)以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数,即logeN,记作ln N.?1234名师点拨指数式和对数式的关系如图所示:
对数式logaN(a>0,且a≠1)可看作一记号,表示关于x的方程ax=N(a>0,且a≠1)的解;也可以看作一种运算,即已知底为a(a>0,且a≠1)的幂为N,求幂指数的运算,因此对数式logaN又可看作幂运算的逆运算.123412342.对数的性质
(1)0和负数没有对数.
(2)loga1=0(a>0,且a≠1).
(3)logaa=1(a>0,且a≠1).
名师点拨在对数logaN=b中,规定真数N>0.这是由于在实数范围内,正数的任何次幂都是正数,因而ab=N>0,故要求对数的真数必须大于0.1234答案:D
【做一做2-2】 若log3(log2x)=0,则x=　　　　　.?
解析:由已知得log2x=1,故x=2.
答案:212343.积、商、幂的对数的运算法则 1234名师点拨1.应用公式时需要注意法则的适用范围,并且公式可以正用、逆用和变形用.
2.当心记忆错误:loga(MN)≠logaM·logaN,loga(M±N)≠logaM±logaN.
3.虽然loga(M+N)≠logaM+logaN,但并不是说loga(M+N)与logaM+logaN一定不相等,对于某些M,N的取值,loga(M+N)=logaM+logaN是成立的.例如,当M=2,N=2时,loga(2+2)=loga2+loga2=loga4.1234【做一做3-1】 对于a>0,a≠1,下列说法中正确的是 (　　)
①若M=N,则logaM=logaN;
②若logaM=logaN,则M=N;
③若logaM2=logaN2,则M=N;
④若M=N,则logaM2=logaN2.
A.①③ B.②④
C.② D.①②③④1234解析:在①中,当M=N≤0时,logaM与logaN无意义,故①不成立;
在②中,当logaM=logaN时,必有M=N>0成立,故②成立;
在③中,当logaM2=logaN2时,有M≠0,N≠0,且M2=N2,即|M|=|N|,但未必有M=N.例如,当M=2,N=-2时,有logaM2=logaN2,但M≠N,故③不成立;
在④中,当M=N=0时,logaM2与logaN2均无意义,故④不成立.
答案:C12341243名师点拨1.在换底公式中,所换的新底数可以是大于0且不等于1的任意实数;
2.如果不做特殊要求,那么一般换底都换成常用对数.1243一、解读对数的定义
剖析:(1)对数式x=logay是指数式y=ax的另一种表达形式,
其本质相同.对数式中的真数y就是指数式中的函数值y,而对数x是指数式中的指数x,对数式与指数式的关系如图所示.
(2)对数x=logay中,规定a>0,且a≠1的原因.
①若a<0,则y为某些数值时,x不存在,如(-2)x=3没有实数解,即log(-2)3不存在,为此,规定a不能小于0;
②若a=0,则当y≠0时,logay不存在;当y=0时,loga0有无数个值,不能确定,为此,规定a≠0;
③若a=1,则y不为1时,x不存在,如log12不存在;而当a=1,y=1时,x可以为任何实数,不能确定,为此,规定a≠1.题型一题型二题型三题型四题型五分析:本题可以通过已知条件得到x,y,将x,y代入目标式子求值;或将目标式子化为指数式,再取对数,利用对数的运算性质解决.其中指数式与对数式的转化是解题的关键.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五反思1.把指数式改写成对数式时,指数式的底数在对数式中仍然位于底数位置,指数式的指数变为对数式中的对数,指数式中的幂值变为对数式中的真数.
2.在进行指数式与对数式的互化时,一定要保证对数式中的真数大于0.
3.注意常用对数与自然对数的表示方法.题型一题型二题型三题型四题型五解析:由log39=2应得32=9,故C项中两式的互化不正确.
答案:C题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五分析:通过对数运算性质的正用和逆用,转化底数或真数,进行化简计算.解:(1)(lg 2)2+lg 5·lg 2+lg 5
=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5
=lg 2·lg 10+lg 5
=lg 2+lg 5=lg 10=1.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五反思利用对数运算性质化简或计算时,注意以下几点:
(1)“收”,将同底的两对数的和(差)“收”成积(商)的对数;
(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差);
(3)对真数中含有多重根号的对数式的化简,应从内到外逐层化简;
(4)对于常用对数的化简,要充分利用“lg 2+lg 5=1”,“lg 2=1-lg 5”,“lg 5=1-lg 2”来解题.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五【例4】 已知log23=a,3b=7,用含a,b的式子表示log1256.
分析:可以先把56和12分别用以2为底的指数表示出来,也可以先用换底公式把log1256换成以3为底的对数,或先把log23和log1256换成以10为底的对数,然后根据已知条件用a,b表示log1256.题型一题型二题型三题型四题型五反思应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数,从而把已知对数和所求对数都换成新的对数,再代入求值即可.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五 易错点:忽视对数的底数与真数的条件致错
【例5】 已知log(x+3)(x2+3x)=1,求实数x的值.
错解:由对数logaN的性质可得x2+3x=x+3.解得x=1或x=-3.
错因分析:错解中忽视了“对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1”这一隐含条件,没有进行检验,导致出错.题型一题型二题型三题型四题型五反思由对数的定义可知,对数logaN的底数a>0,且a≠1,真数N>0,因此我们在解题时一定要注意这些限制条件,若忽视了这些条件,则很容易出错.题型一题型二题型三题型四题型五解:因为lg x+lg y=2lg(x-2y),
所以xy=(x-2y)2,
即x2-5xy+4y2=0.
所以(x-y)(x-4y)=0,
解得x=y或x=4y.
因为x>0,y>0,x-2y>0,
所以x=y应舍去.
所以x=4y,1有下列说法:
①零和负数没有对数;
②任何一个指数式都可以化成对数式;
③以a(a>0,且a≠1)为底1的对数等于0;
④以3为底9的对数等于±2;
其中正确的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①③正确,②错误,
如(-2)2=4,(-1)2=1等不能写成对数式;
因为log39=log332=2,所以④错误;
因为log3(-5)无意义,所以⑤错误.
答案:B1 2 3 4 51 2 3 4 52若a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y,下列式子中正确的个数是(　　)
①logax·logay=loga(x+y)
②logax-logay=loga(x-y)
④logaxy=logax·logay
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:A1 2 3 4 5答案:2 1 2 3 4 54计算2log210+log20.04=　　　　　.?
解析:原式=log2102+log20.04=log24=2.
答案:21 2 3 4 5