2019-2020学年高中数学新人教B版必修1课件：第2章函数2.1.2函数的表示方法（50张）
文档属性
| 名称 | 2019-2020学年高中数学新人教B版必修1课件：第2章函数2.1.2函数的表示方法（50张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-06 10:47:27 | ||
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文档简介
课件50张PPT。2.1.2 函数的表示方法1.会选择恰当的方法表示函数,并注意体会三种表示方法的区别与联系.
2.掌握求函数解析式的一般方法.
3.了解简单的分段函数,并能简单应用.1231.函数的表示方法 123123123123【做一做1-1】 如图所示,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是( )
解析:借助函数的定义可知,函数的图象应保证任意一个x都有唯一的y与之对应,故选D.
答案:D123【做一做1-2】 某教师将其一周中每天的课时数列表如下:
在这个函数中,定义域为 ,值域为 .?
答案:{1,2,3,4,5} {1,2,3,4,5}1232.用集合语言对函数的图象进行描述
对于函数y=f(x)(x∈A)定义域内的每一个x值,都有唯一的y值与它对应.把这两个对应的数构成的有序实数对(x,y)作为点P的坐标,即P(x,y),则所有这些点的集合F叫做函数y=f(x)的图象,即F={P(x,y)|y=f(x),x∈A}.
这就是说,如果F是函数y=f(x)的图象,则图象上的任一点的坐标(x,y)都满足函数关系y=f(x);反之,满足函数关系y=f(x)的点(x,y)都在图象F上.1231233.分段函数
在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.
答案:A 123
【做一做3-2】 已知f(x)=[2 014-x],[x]表示不超过x的最大整数,则f(2 016.5)的值为( )
A.-2.5 B.2.5 C.-2 D.-3
解析:根据题意,可知f(2 016.5)=[2 014-2 016.5]=[-2.5]=-3.
答案:D一、不是所有的图形都是函数的图象
剖析:(1)函数的图象有的是连续的,有的是不连续的,还有的函数是画不出图象的.一般来说,如果自变量的取值是一些离散的实数值,那么它的图象就是一些孤立点.例如,y=3x(x∈{1,2,3,4,5}).
(2)判断一个图形是否为某个函数的图象,只要用一条垂直于x轴的直线沿x轴方向左右平移,观察图形与该直线交点的个数,当有两个或两个以上的交点时,该图形一定不是函数图象.这是因为直线x=a(a∈R)与图形有两个或两个以上的交点时,表示自变量x取实数a时对应两个或两个以上的y值,这与函数定义中只有唯一的y值与x对应矛盾,故不是函数图象.如图所示,
在图①中,当自变量x在(-1,1)内取任意一个值时,y有两个值与之相对应,不符合函数的定义;而图②和图③中,当自变量x分别在R上和[-1,1]上取一个值时,都有唯一的y值与之对应,故图②和图③中的y与x具备函数关系.二、对分段函数的理解
剖析:(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数,其表示法是解析法的一种形式.
(2)分段函数的“段”可以是等长的,也可以是不等长的.例如,
(3)画分段函数的图象时,一定要考虑区间端点是否包含在内,若端点包含在内,则用实心点表示,若端点不包含在内,则用空心点表示.(4)写分段函数的定义域时,区间端点应不重不漏.
(5)处理分段函数问题时,要首先确定自变量的取值属于哪一个范围,然后选取相应的对应关系.
(6)分段函数的定义域是各段定义域的并集;分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集;分段函数的最大(小)值则是分别在每段上求出最大(小)值,然后取各段最大(小)值中的最大(小)值.
(7)有些函数形式上虽不是分段写的,但实质上是可以化归为分段函数来处理.例如,y=|x+1|可等价化为三、分段函数图象的画法
步骤:(1)画二次函数y=(x+1)2的图象,再取其在区间(-∞,0]上的图象,其他部分删去;
(2)画一次函数y=-x的图象,再取其在区间(0,+∞)内的图象,其他部分删去;(3)这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象,如图所示.
由此可得,画分段函数
的图象的步骤是:
(1)画函数y=f1(x)的图象,再取其在区间D1上的图象,其他部分删去;
(2)画函数y=f2(x)的图象,再取其在区间D2上的图象,其他部分删去;
(3)依次画下去;
(4)将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象.四、教材中的“思考与讨论”
如何检验一个图形是不是一个函数的图象?写出你的检验法则.如图所示的各图形都是函数的图象吗?哪些是,哪些不是,为什么?
剖析:由函数的定义可知,对于定义域中的每一个x,都有唯一的y值与之相对应.因此,要检验一个图形是否是一个函数的图象,可以作x轴的垂线,在定义域范围内,若垂线与图形有一个交点,则该图形就表示函数的图象,否则,该图形不是函数的图象.
由以上知,所给图形中是函数的图象的有(1)(3)(4),而(2)不符合函数的定义,故(2)不是函数的图象.题型一题型二题型三题型四【例1】 作出下列各函数的图象:
(1)y=-x+1,x∈Z;
(2)y=2x2-4x-3,0≤x<3;
(3)y=|1-x|;
分析:作函数图象,要明确函数的定义域,体会定义域对图象的影响.处理好端点,如第(4)小题x=0时的情况.作图时,可先不受定义域限制作出完整的抛物线,然后再根据定义域截取.如第(2)小题.函数图象的形状可以是一条或几条无限长的平滑曲线,也可以是一些点、一些线段、一段曲线等.题型一题型二题型三题型四解:(1)因为定义域为Z,所以图象为离散的点.图象如图①所示.
(2)y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5,0≤x<3,定义域不是R,因此图象不是完整的抛物线,而是抛物线的一部分.图象如图②所示.
(3)先根据绝对值的定义去掉绝对值号,再写成分段函数
(4)这个函数的图象由两部分组成.当0≤x≤1时,为抛物线y=x2的一段;当-1≤x<0时,为直线y=x+1的一段.图象如图④所示.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思1.函数图象的画法主要有两种:描点法、变换作图法.
(1)描点法的一般步骤是求函数的定义域、化简解析式、列表、描点、连线等;
(2)变换作图法常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换.例如,例1中的(3)小题可先画出y=1-x的图象,再把x轴下方的图象翻折到x轴上方即可.还有对称变换等.
2.作函数图象时,要注意标出一些关键点的坐标,例如,图象与两坐标轴的交点、顶点、端点等,还要分清这些点是实心点还是空心点.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 作出下列各函数的图象:
(1)y=x(-2≤x≤2,x∈Z,且x≠0);
(3)y=|x-5|+|x+3|.题型一题型二题型三题型四解:(1)因为函数定义域为{x|-2≤x≤2,x∈Z,且x≠0},
所以函数图象为图①中直线y=x上孤立的点.
①题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【例2】 已知f(x)为一次函数,且f(f(x))=9x+4,求f(x).
分析:先设出f(x)=ax+b(a≠0),再根据条件列出方程组,进而求得a,b的值,最后写出解析式即可.
解:设f(x)=ax+b(a≠0),
则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.
故f(x)=3x+1或f(x)=-3x-2.
反思本题以f(x)为一次函数作为切入点,运用待定系数法,建立所设参数的方程组解决问题.已知函数的类型求函数解析式时,待定系数法是一种常用的解题方法.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 若函数g(x)是一次函数,且满足g(2x)+4g(x-2)=18x-29,则g(x)= .?
解析:依题意,设g(x)=ax+b(a≠0),
则有2ax+b+4[a(x-2)+b]=18x-29,
即6ax+5b-8a=18x-29,
答案:3x-1题型一题型二题型三题型四反思上述用解方程组求函数解析式的方法常用于给出函数的一个方程式这种类型,但要注意自变量x需满足一定的对称性,常见的替换有用“-x”替换“x”,题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四(1)求f(f(-2));
(2)若f(m)=18,求m的值.
分析:对于(1),应先求f(-2),再求f(f(-2));对于(2),要对m与2的大小进行讨论.
解:(1)因为f(-2)=(-2)2+2=6,
所以f(f(-2))=f(6)=2×6=12.
(2)当m≤2时,f(m)=m2+2=18,即m2=16.
又因为m≤2,所以m=-4;
当m>2时,f(m)=2m=18,解得m=9.
综上可知,m的值为-4或9.题型一题型二题型三题型四反思1.求分段函数的函数值时,一定要注意自变量的值所在的区间或范围,根据这一范围选择相应的解析式代入求得,含有多层“f”符号时,应由内向外依次求解;
2.已知分段函数的函数值求相应自变量的值时,要注意分类讨论求解,同时应对得到的自变量的值进行检验,看其是否满足相应的条件.题型一题型二题型三题型四【例5】 如图所示,在梯形ABCD中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点P从点B开始沿着折线BC,CD,DA前进至点A,若点P运动的路程为x,△PAB的面积为y.
(1)写出y=f(x)的解析式,并指出函数的定义域;
(2)画出函数的图象,并求出函数的值域.题型一题型二题型三题型四分析:通过画草图可以发现点P运动到不同的位置,y的求法是不同的(如图阴影部分所示).
可以看出上述三个阴影三角形的底AB是相同的,它们的面积由AB边上的高来决定,故只要由运动路程x求出AB边上的高即可.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思1.求实际问题中函数的解析式,其关键是充分利用条件建立关于变量x,y的等式,即目标函数.确定函数的定义域时,除了考虑函数解析式自身的限制条件外,还要考虑到它的实际意义;
2.在分段函数的转折点上易出现取舍不当的错误.比如本题若把区间分成0≤x≤4,4≤x≤10,10≤x≤14,则是不对的.避免出现此类错误的方法是对端点进行验证.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思对于分段函数,无论是求函数值,还是求自变量,都要看清每一段解析式所对应的自变量的取值范围,不能张冠李戴,也不能忘记检验.题型一题型二题型三题型四1 2 3 4 5 61已知函数f(x)由下表给出:
则f(f(0))的值为( )
A.4 B.2 C.0 D.1
解析:因为f(0)=2,
所以f(f(0))=f(2)=1.
答案:D1 2 3 4 5 6答案:D 1 2 3 4 5 6答案:C 1 2 3 4 5 64下表列出了一项实验的统计数据,表示将皮球从高h处落下时,弹跳高度d与下落高度h的关系,则下面的式子能表示这种关系的是( )
答案:D1 2 3 4 5 65已知函数f(x)在[-1,2]上的图象如图所示,则f(x)的解析式为 .?
解析:观察图象,知此函数是分段函数,并且在每段上均是一次函数,利用待定系数法求出函数解析式.当-1≤x≤0时,f(x)=x+1;当01 2 3 4 5 66某客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100 km,票价是每千米0.5元;如果超过100 km,超过部分按每千米0.4元定价,那么客运票价y(单位:元)与行程数x(单位:km)之间的函数关系式是 .?
解析:根据行程是否大于100 km来求解析式.由题意,得当0≤x≤100时,y=0.5x;当x>100时,y=100×0.5+(x-100)×0.4=10+0.4x.
2.掌握求函数解析式的一般方法.
3.了解简单的分段函数,并能简单应用.1231.函数的表示方法 123123123123【做一做1-1】 如图所示,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是( )
解析:借助函数的定义可知,函数的图象应保证任意一个x都有唯一的y与之对应,故选D.
答案:D123【做一做1-2】 某教师将其一周中每天的课时数列表如下:
在这个函数中,定义域为 ,值域为 .?
答案:{1,2,3,4,5} {1,2,3,4,5}1232.用集合语言对函数的图象进行描述
对于函数y=f(x)(x∈A)定义域内的每一个x值,都有唯一的y值与它对应.把这两个对应的数构成的有序实数对(x,y)作为点P的坐标,即P(x,y),则所有这些点的集合F叫做函数y=f(x)的图象,即F={P(x,y)|y=f(x),x∈A}.
这就是说,如果F是函数y=f(x)的图象,则图象上的任一点的坐标(x,y)都满足函数关系y=f(x);反之,满足函数关系y=f(x)的点(x,y)都在图象F上.1231233.分段函数
在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.
答案:A 123
【做一做3-2】 已知f(x)=[2 014-x],[x]表示不超过x的最大整数,则f(2 016.5)的值为( )
A.-2.5 B.2.5 C.-2 D.-3
解析:根据题意,可知f(2 016.5)=[2 014-2 016.5]=[-2.5]=-3.
答案:D一、不是所有的图形都是函数的图象
剖析:(1)函数的图象有的是连续的,有的是不连续的,还有的函数是画不出图象的.一般来说,如果自变量的取值是一些离散的实数值,那么它的图象就是一些孤立点.例如,y=3x(x∈{1,2,3,4,5}).
(2)判断一个图形是否为某个函数的图象,只要用一条垂直于x轴的直线沿x轴方向左右平移,观察图形与该直线交点的个数,当有两个或两个以上的交点时,该图形一定不是函数图象.这是因为直线x=a(a∈R)与图形有两个或两个以上的交点时,表示自变量x取实数a时对应两个或两个以上的y值,这与函数定义中只有唯一的y值与x对应矛盾,故不是函数图象.如图所示,
在图①中,当自变量x在(-1,1)内取任意一个值时,y有两个值与之相对应,不符合函数的定义;而图②和图③中,当自变量x分别在R上和[-1,1]上取一个值时,都有唯一的y值与之对应,故图②和图③中的y与x具备函数关系.二、对分段函数的理解
剖析:(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数,其表示法是解析法的一种形式.
(2)分段函数的“段”可以是等长的,也可以是不等长的.例如,
(3)画分段函数的图象时,一定要考虑区间端点是否包含在内,若端点包含在内,则用实心点表示,若端点不包含在内,则用空心点表示.(4)写分段函数的定义域时,区间端点应不重不漏.
(5)处理分段函数问题时,要首先确定自变量的取值属于哪一个范围,然后选取相应的对应关系.
(6)分段函数的定义域是各段定义域的并集;分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集;分段函数的最大(小)值则是分别在每段上求出最大(小)值,然后取各段最大(小)值中的最大(小)值.
(7)有些函数形式上虽不是分段写的,但实质上是可以化归为分段函数来处理.例如,y=|x+1|可等价化为三、分段函数图象的画法
步骤:(1)画二次函数y=(x+1)2的图象,再取其在区间(-∞,0]上的图象,其他部分删去;
(2)画一次函数y=-x的图象,再取其在区间(0,+∞)内的图象,其他部分删去;(3)这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象,如图所示.
由此可得,画分段函数
的图象的步骤是:
(1)画函数y=f1(x)的图象,再取其在区间D1上的图象,其他部分删去;
(2)画函数y=f2(x)的图象,再取其在区间D2上的图象,其他部分删去;
(3)依次画下去;
(4)将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象.四、教材中的“思考与讨论”
如何检验一个图形是不是一个函数的图象?写出你的检验法则.如图所示的各图形都是函数的图象吗?哪些是,哪些不是,为什么?
剖析:由函数的定义可知,对于定义域中的每一个x,都有唯一的y值与之相对应.因此,要检验一个图形是否是一个函数的图象,可以作x轴的垂线,在定义域范围内,若垂线与图形有一个交点,则该图形就表示函数的图象,否则,该图形不是函数的图象.
由以上知,所给图形中是函数的图象的有(1)(3)(4),而(2)不符合函数的定义,故(2)不是函数的图象.题型一题型二题型三题型四【例1】 作出下列各函数的图象:
(1)y=-x+1,x∈Z;
(2)y=2x2-4x-3,0≤x<3;
(3)y=|1-x|;
分析:作函数图象,要明确函数的定义域,体会定义域对图象的影响.处理好端点,如第(4)小题x=0时的情况.作图时,可先不受定义域限制作出完整的抛物线,然后再根据定义域截取.如第(2)小题.函数图象的形状可以是一条或几条无限长的平滑曲线,也可以是一些点、一些线段、一段曲线等.题型一题型二题型三题型四解:(1)因为定义域为Z,所以图象为离散的点.图象如图①所示.
(2)y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5,0≤x<3,定义域不是R,因此图象不是完整的抛物线,而是抛物线的一部分.图象如图②所示.
(3)先根据绝对值的定义去掉绝对值号,再写成分段函数
(4)这个函数的图象由两部分组成.当0≤x≤1时,为抛物线y=x2的一段;当-1≤x<0时,为直线y=x+1的一段.图象如图④所示.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思1.函数图象的画法主要有两种:描点法、变换作图法.
(1)描点法的一般步骤是求函数的定义域、化简解析式、列表、描点、连线等;
(2)变换作图法常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换.例如,例1中的(3)小题可先画出y=1-x的图象,再把x轴下方的图象翻折到x轴上方即可.还有对称变换等.
2.作函数图象时,要注意标出一些关键点的坐标,例如,图象与两坐标轴的交点、顶点、端点等,还要分清这些点是实心点还是空心点.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 作出下列各函数的图象:
(1)y=x(-2≤x≤2,x∈Z,且x≠0);
(3)y=|x-5|+|x+3|.题型一题型二题型三题型四解:(1)因为函数定义域为{x|-2≤x≤2,x∈Z,且x≠0},
所以函数图象为图①中直线y=x上孤立的点.
①题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【例2】 已知f(x)为一次函数,且f(f(x))=9x+4,求f(x).
分析:先设出f(x)=ax+b(a≠0),再根据条件列出方程组,进而求得a,b的值,最后写出解析式即可.
解:设f(x)=ax+b(a≠0),
则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.
故f(x)=3x+1或f(x)=-3x-2.
反思本题以f(x)为一次函数作为切入点,运用待定系数法,建立所设参数的方程组解决问题.已知函数的类型求函数解析式时,待定系数法是一种常用的解题方法.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 若函数g(x)是一次函数,且满足g(2x)+4g(x-2)=18x-29,则g(x)= .?
解析:依题意,设g(x)=ax+b(a≠0),
则有2ax+b+4[a(x-2)+b]=18x-29,
即6ax+5b-8a=18x-29,
答案:3x-1题型一题型二题型三题型四反思上述用解方程组求函数解析式的方法常用于给出函数的一个方程式这种类型,但要注意自变量x需满足一定的对称性,常见的替换有用“-x”替换“x”,题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四(1)求f(f(-2));
(2)若f(m)=18,求m的值.
分析:对于(1),应先求f(-2),再求f(f(-2));对于(2),要对m与2的大小进行讨论.
解:(1)因为f(-2)=(-2)2+2=6,
所以f(f(-2))=f(6)=2×6=12.
(2)当m≤2时,f(m)=m2+2=18,即m2=16.
又因为m≤2,所以m=-4;
当m>2时,f(m)=2m=18,解得m=9.
综上可知,m的值为-4或9.题型一题型二题型三题型四反思1.求分段函数的函数值时,一定要注意自变量的值所在的区间或范围,根据这一范围选择相应的解析式代入求得,含有多层“f”符号时,应由内向外依次求解;
2.已知分段函数的函数值求相应自变量的值时,要注意分类讨论求解,同时应对得到的自变量的值进行检验,看其是否满足相应的条件.题型一题型二题型三题型四【例5】 如图所示,在梯形ABCD中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点P从点B开始沿着折线BC,CD,DA前进至点A,若点P运动的路程为x,△PAB的面积为y.
(1)写出y=f(x)的解析式,并指出函数的定义域;
(2)画出函数的图象,并求出函数的值域.题型一题型二题型三题型四分析:通过画草图可以发现点P运动到不同的位置,y的求法是不同的(如图阴影部分所示).
可以看出上述三个阴影三角形的底AB是相同的,它们的面积由AB边上的高来决定,故只要由运动路程x求出AB边上的高即可.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思1.求实际问题中函数的解析式,其关键是充分利用条件建立关于变量x,y的等式,即目标函数.确定函数的定义域时,除了考虑函数解析式自身的限制条件外,还要考虑到它的实际意义;
2.在分段函数的转折点上易出现取舍不当的错误.比如本题若把区间分成0≤x≤4,4≤x≤10,10≤x≤14,则是不对的.避免出现此类错误的方法是对端点进行验证.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思对于分段函数,无论是求函数值,还是求自变量,都要看清每一段解析式所对应的自变量的取值范围,不能张冠李戴,也不能忘记检验.题型一题型二题型三题型四1 2 3 4 5 61已知函数f(x)由下表给出:
则f(f(0))的值为( )
A.4 B.2 C.0 D.1
解析:因为f(0)=2,
所以f(f(0))=f(2)=1.
答案:D1 2 3 4 5 6答案:D 1 2 3 4 5 6答案:C 1 2 3 4 5 64下表列出了一项实验的统计数据,表示将皮球从高h处落下时,弹跳高度d与下落高度h的关系,则下面的式子能表示这种关系的是( )
答案:D1 2 3 4 5 65已知函数f(x)在[-1,2]上的图象如图所示,则f(x)的解析式为 .?
解析:观察图象,知此函数是分段函数,并且在每段上均是一次函数,利用待定系数法求出函数解析式.当-1≤x≤0时,f(x)=x+1;当0
解析:根据行程是否大于100 km来求解析式.由题意,得当0≤x≤100时,y=0.5x;当x>100时,y=100×0.5+(x-100)×0.4=10+0.4x.