2019-2020学年高中数学新人教B版必修1课件：第2章函数2.1.3函数的单调性（49张）

课件49张PPT。2.1.3　函数的单调性1.理解函数的单调性的定义,学会运用单调性的定义来判断或证明函数的单调性.
2.会结合函数单调性的定义和图象,求函数的单调区间.
3.会应用函数单调性求函数的值域(或最值)等问题,并注意体会函数单调性是函数的“局部”性质.121.函数单调性的概念
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间M?A.
如果取区间M中的任意两个值x1,x2,改变量Δx=x2-x1>0,则当Δy=f(x2)-f(x1)>0时,就称函数y=f(x)在区间M上是增函数,如图①所示.
①12当Δy=f(x2)-f(x1)<0时,就称函数y=f(x)在区间M上是减函数,如图②所示.
②
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间).12名师点拨1.单调性是函数的一个局部性质,即函数的单调性是该函数在其定义域内的某个子区间上的性质,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的某个非空真子集.
2.函数单调区间的写法
(1)如果一个函数有多个单调增(或减)区间,这些增(或减)区间应该用逗号隔开(即“局部”),而不能用并集的符号连接(并完之后就成了“整体”);
(2)因为函数的单调性反映函数图象的变化趋势,所以在某一点处无法讨论函数的单调性.因此,书写函数的单调区间时,区间端点的开或闭没有严格规定.习惯上,若函数在区间端点处有定义,则写成闭区间,当然写成开区间也可以;若函数在区间端点处没有定义,则必须写成开区间.123.函数单调性定义的逆用
(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则对于[a,b]上的任意两个值x1,x2,当f(x1)>f(x2)时必有x1>x2,当f(x1)(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,则对于[a,b]上的任意两个值x1,x2,当f(x1)>f(x2)时必有x1x2.解析:对于反比例函数 (k≠0),当k>0时,在区间(-∞,0)内是减函数,在区间(0,+∞)内也是减函数,这种函数的单调区间只能分开写;当k<0时,在区间(-∞,0)内是增函数,在区间(0,+∞)内也是增函数.
答案:D12A.在(-∞,0)内是增函数,在(0,+∞)内是减函数
B.在(-∞,0)∪(0,+∞)内是减函数
C.在[0,+∞)内是减函数
D.在(-∞,0)和(0,+∞)内都是减函数12【做一做1-2】 函数f(x)在R上是减函数,则有(　　)
A.f(3)f(5) D.f(3)≥f(5)
解析:因为函数f(x)在R上是减函数,3<5,
所以f(3)>f(5).
答案:C
【做一做1-3】 若函数f(x)的定义域是(-4,4],其图象如图所示,则其单调递增区间是　　　　　,单调递减区间是　　　　　.?
答案:[-3,1]　(-4,-3)和(1,4]122.判断函数单调性的步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间M上的单调性的一般步骤:
(1)任取x1,x2∈M,且Δx=x2-x1>0;
(2)作差:Δy=f(x2)-f(x1);
(3)变形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等);
(4)定号(即判断Δy的正、负);
(5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间M上的单调性).12一、正确理解单调性的定义
剖析:(1)第一关键——“定义域内”.
研究函数的性质,我们应有这样一个习惯:定义域优先原则.函数的单调性是对定义域内某个子区间而言的,即单调区间是定义域的子集.函数y=x2的定义域为R,但函数y=x2在区间(-∞,0]上是减函数,在区间[0,+∞)内是增函数.(2)第二关键——“某个区间”.
增函数和减函数都是对相应的区间而言的,离开相应的区间就谈不上函数的单调性.我们不能说一个函数在x=5时递增或递减,因为这时没有一种可比性,没突出变化,所以我们不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数.
这里说的区间可以是整个定义域,例如y=2x在整个定义域(-∞,+∞)内是增函数,y=-2x在整个定义域(-∞,+∞)内是减函数;也可以是定义域的真子集,例如y=x2+1在定义域(-∞,+∞)内不具有单调性,但在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)内是增函数;还有一些函数不具有单调性,
例如函数(3)别忽视“任意”和“都有”.
在定义中,“任意”两个字很重要,它是指不能通过取特定的值来判断函数的单调性;而“都有”的意思是:只要x1对“任意”二字不能忽视,我们可以构造一个反例,在区间[-2,2]上考察函数y=x2,如果取两个特定的值x1=-2,x2=1,显然x1f(x2),若由此判定y=x2在[-2,2]上是减函数,那就错了.同样地,理解“都有”,我们也可以举例说明,y=x2在[-2,2]上,当x1=-2,x2=-1时,有f(x1)>f(x2);当x1=1,x2=2时,有f(x1)对函数单调性的定义,为了方便也可改为如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1≠x2时,二、关于函数单调性的判断
剖析:(1)常见函数的单调性
①一次函数y=kx+b,当k>0时,在(-∞,+∞)内是增函数;当k<0时,在(-∞,+∞)内是减函数;
②反比例函数 k>0时,在(-∞,0)和(0,+∞)内都是减函数;当k<0时,在(-∞,0)和(0,+∞)内都是增函数.
(2)判断函数单调性的常用方法
①定义法:根据增函数、减函数的定义,按照“取值——作差——变形——判断符号——下结论”的步骤进行;
②图象法:画出函数的图象,根据图象的上升、下降的情况判断函数的单调性.(3)关于函数单调性的常用结论
①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;
②函数y=f(x)+c(c为常数)与y=f(x)的单调性相同;
③函数y=cf(x),当c>0时,与y=f(x)的单调性相同;当c<0时,与函数y=f(x)的单调性相反;
④若f(x)在区间D上恒为正数或恒为负数,且具有单调性,
⑥在公共定义域内,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数,增函数-减函数=增函数,减函数-增函数=减函数.(4)复合函数单调性的判断
对于复合函数y=f(g(x)),如果t=g(x)在(a,b)内单调递增(减),并且y=f(t)在(g(a),g(b))或者(g(b),g(a))内是单调函数,那么y=f(g(x))在(a,b)内的单调性如下表所示,简记为“同增异减”.题型一题型二题型三题型四分析:本题主要考查证明函数的单调性.解题的关键是对Δy进行合理的变形,尽量变为几个最简单因式的乘积形式.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四2.在本例(2)的证明中,使用了“分子有理化”这种证明技巧,一定要注意观察这类题目的结构特点;
3.对Δy的变形技巧常用的有因式分解、通分、分子或分母有理化、配方法等.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 证明函数f(x)=-x2-4x+2在(-∞,-2]上是增函数.
证明:设x1,x2是(-∞,-2]上的任意两个不相等的实数,
且x10.
=(x1-x2)(x1+x2+4).
因为x1<-2,x2<-2,
所以x1+x2<-4,x1+x2+4<0.
又因为x1-x2<0,
所以Δy=(x1-x2)(x1+x2+4)>0.
故函数f(x)=-x2-4x+2在(-∞,-2]上是增函数.题型一题型二题型三题型四【例2】 (1)画出函数f(x)=2-|x-1|的图象,并根据图象求出函数的单调区间;
(2)已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.
分析:首先分类讨论,去掉绝对值号,将函数化为分段函数,然后画出图象求解即可.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思画出函数的图象得到单调区间是常用的一种方法,但一定要注意画图的准确性及端点处的处理.若函数的定义域内不含端点,则要写成开区间;若端点在其定义域内,则最好加上区间端点,写成闭区间.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=|3x-1|;
(2)f(x)=-x2+2|x|+3.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【例3】 (1)已知函数f(x)在(-∞,0)内是减函数,试比较f(-a2+4a-6)与f(-2)的大小;
(2)若函数f(x)在R上是增函数,且f(3x-1)分析:对于(1),关键是比较-a2+4a-6与-2的大小,再根据单调性得出函数值的大小;对于(2),由单调性得出3x-1与4-2x的大小关系,从而求得x的取值范围.题型一题型二题型三题型四解:(1)因为f(x)在(-∞,0)内是减函数,
且-a2+4a-6=-(a-2)2-2≤-2<0,
所以f(-a2+4a-6)≥f(-2).
(2)因为f(x)在R上是增函数,且f(3x-1)所以3x-1<4-2x,解得x<1,
即x的取值范围是(-∞,1).题型一题型二题型三题型四反思1.根据函数的单调性可以比较函数值的大小,这时首先应明确函数的单调性及单调区间,然后分析欲比较大小的函数值相对应的自变量的所属区间及其大小关系,最后根据单调性确定函数值的大小;
2.由函数值的大小关系可以确定变量的取值范围,这时解题的关键是根据函数的单调性,将函数值的大小关系转换为相应自变量的大小关系,从而建立不等式求出参数的取值范围,但务必注意函数定义域对参数取值的限制,不可忽视定义域.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四易错点1:忽视函数的定义域致错
【例4】 已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.
错解:因为g(x)是增函数,且g(t)>g(1-3t),
所以根据单调性的定义,得t>1-3t.
错因分析:只考虑利用单调性化简,而忽略了函数的定义域对参数t的限制.题型一题型二题型三题型四反思关于抽象函数单调性问题,要注意自变量的取值范围以及自变量是否在函数的单调区间内.若在同一单调区间内,则直接转化;若不在同一单调区间内,则需要讨论或化归到函数的同一单调区间内再求解.题型一题型二题型三题型四【变式训练4】 若将[例4]中的条件改为“g(x)是定义在[0,2]上的减函数”,再求t的取值范围.题型一题型二题型三题型四易错点2:混淆“函数在I上单调”与“函数的单调区间是I”的区别致错
【例5】若函数y=|x-a|在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是　　　　　.?
错解:函数y=|x-a|的图象如图所示,由于函数在区间(-∞,4]上是单调递减的,因此a=4.
答案:a=4题型一题型二题型三题型四错因分析:错解中把“函数在区间(-∞,4]上是减函数”误认为“函数的单调减区间是(-∞,4]”,二者的含义是不同的,函数的单调递减区间是(-∞,4],说明函数在(-∞,4]及其子区间以外的其他区间上不再是单调递减的;而函数在(-∞,4]上是减函数,说明函数至少在(-∞,4]上是单调递减的,也可能在另一个包含该区间的区间上是单调递减的.正解:因为函数y=|x-a|的图象如图所示,所以只要a≥4,就能保证函数y=|x-a|在区间(-∞,4]上是单调递减的.因此,a≥4.
答案:[4,+∞)题型一题型二题型三题型四【变式训练5】 若函数f(x)=4x2+bx-1的单调递减区间是(-∞,-1],则b=　　　　　.?
答案:81 2 3 4 5 61若f(x)=(2-a)x+1在R上是增函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.a<2 B.a≤2
C.a>2 D.a≥2
解析:由已知,得2-a>0,故a<2.
答案:A1 2 3 4 5 62已知f(x)为R上的减函数,则满足f(-4x+5)>f(1)的实数x的取值范围是(　　)
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-1,+∞)
解析:由已知,得-4x+5<1,解得x>1.
答案:B1 2 3 4 5 63设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的递增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1A.f(x1)B.f(x1)>f(x2)
C.f(x1)=f(x2)
D.不能确定
解析:因为在函数的定义中特别强调了x1,x2两个值必须属于同一个单调区间,不是同一单调区间时不能比较函数值的大小,所以f(x1)与f(x2)的大小关系无法确定.故选D.
答案:D1 2 3 4 5 6答案:B 1 2 3 4 5 65已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数的单调递减区间为　　　　　.?1 2 3 4 5 6(1)求函数f(x)的定义域;
(2)求证:函数f(x)在定义域上是增函数;
(3)求函数f(x)的最小值.
分析:(1)求函数的定义域转化为解不等式;(2)根据判断函数单调性的步骤证明;(3)利用函数f(x)的单调性求最小值.1 2 3 4 5 6