2019-2020学年高中数学新人教B版必修1课件：第2章函数2.2.2二次函数的性质与图象（41张）

课件41张PPT。2.2.2　二次函数的性质与图象1.掌握二次函数的图象和性质,学会用配方法研究二次函数的性质.
2.掌握作二次函数图象的一般方法,学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
3.学会用从特殊到一般的思想方法来研究二次函数,并注意与初中所学知识的类比和联系.121.二次函数的定义
函数y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数,它的定义域为R.
【做一做1-1】 下列函数中是二次函数的是(　　)
A.y=x-2 B.y=1-x2
答案:B
【做一做1-2】 若函数f(x)=(m2-2m-3)x2-(m+1)x+5是一次函数,则m的取值范围为　　　　　;若f(x)是二次函数,则m的取值范围为　　　　　.?
答案:m=3　m≠-1,且m≠31212知识拓展1.当二次函数图象的对称轴与y轴重合,即b=0时,二次函数为偶函数,否则既不是奇函数也不是偶函数.
2.在y=ax2(a≠0)中,当a>0时,a越大,抛物线的开口越小,a越小,抛物线的开口越大;当a<0时,a越大,抛物线的开口越大,a越小,抛物线的开口越小.总之,y=ax2(a≠0)中,|a|越大,抛物线的开口越小,|a|越小,抛物线的开口越大.
3.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)与关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系:二次函数f(x)的图象与x轴交点的个数等于方程f(x)=0的实数根的个数,并且当二次函数f(x)的图象与x轴有交点时,其交点的横坐标是方程f(x)=0的实数根.12【做一做2-1】 下列关于二次函数y=x2+x+1的开口方向和顶点的说法正确的是(　　)
A.开口向下,顶点是(1,1)
B.开口向上,顶点是(1,1)
答案:D12【做一做2-2】 若一次函数y=ax+b(a≠0)的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象只可能是(　　)
答案:C一、二次函数图象的对称轴
剖析:(1)二次函数图象的对称轴通常有以下三种求法:
①利用配方法求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为
②若二次函数f(x)对任意x1,x2∈R都有f(x1)=f(x2),则对称轴为
③若二次函数y=f(x)对定义域内所有x都有f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)或f(-x)=f(2a+x),则对称轴为x=a(a为常数).
(2)利用对称性,结合开口方向,可以比较二次函数函数值的大小.
①若抛物线开口向上,则离对称轴越近,函数值越小;
②若抛物线开口向下,则离对称轴越近,函数值越大.二、二次函数在闭区间上的最值问题
剖析:对于二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的最值问题,应采用配方法,化为y=a(x-h)2+k的形式.其解法是:抓住“三点一轴”数形结合,该讨论时要讨论.这里的“三点”指的是区间的两个端点和区间中点,“一轴”指的是对称轴.
对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[p,q]上的最值问题可作如下讨论:名师点拨1.当a<0时区间的最值情况可类比a>0时的情况得到;
2.二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值,它们只能在区间的端点或二次函数的对称轴上取到.题型一题型二题型三题型四【例1】 将函数y=-3x2-6x+1配方,确定其对称轴和顶点坐标,求出它的单调区间及最大值或最小值,并画出它的图象.
分析:本题考查配方法和二次函数的性质与图象.解题的关键是配方,完成配方后再结合图象研究其性质.题型一题型二题型三题型四因为x2项的系数为负数,
所以函数图象开口向下;顶点坐标为(-1,4);对称轴为x=-1;
函数在区间(-∞,-1]上单调递增,在区间[-1,+∞)上单调递减;
函数有最大值,没有最小值,函数的最大值为4.
采用描点画图,选顶点A(-1,4),与x轴的交点
与y轴的交点D(0,1),再任取一点E(-2,1),过这五个点画出图象,如图所示.题型一题型二题型三题型四反思从这个例子可以看出,根据配方法得到的性质画函数的图象,可以直接选取关键点.这样做可减少选点的盲目性,使画图操作更简便,使图象更精确.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【例2】 已知二次函数f(x)=-x2+kx+k在区间[2,4]上是单调函数,求实数k的取值范围.
分析:首先求出f(x)的单调区间,要使f(x)在[2,4]上具有单调性,需使区间[2,4]为f(x)单调区间的子集,从而建立不等式求解k的取值范围.题型一题型二题型三题型四反思利用二次函数的单调性可以求解函数解析式中参数的取值范围,这是函数单调性的逆向性问题.解答此类问题的关键在于借助二次函数的对称轴,通过对称轴的位置建立变量之间的关系,进而求解参数的取值范围.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 若函数f(x)=2x2+kx-1在[-3,-2]上不是单调函数,求实数k的取值范围.题型一题型二题型三题型四【例3】 函数f(x)=x2的图象经过怎样的平移,能得到函数f(x)=x2-2x-1的图象?
分析:一般地,二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0),a决定了二次函数图象的开口大小和方向;h决定了二次函数图象的左右平移,而且“h正左移,h负右移”;k决定了二次函数图象的上下平移,而且“k正上移,k负下移”.解决本题的突破口是将函数f(x)=x2-2x-1的解析式配方成y=(x-h)2+k的形式.题型一题型二题型三题型四解:f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2.
平移的步骤是:
①将函数y=x2的图象向右平移1个单位长度得到函数y=(x-1)2的图象;
②将函数y=(x-1)2的图象向下平移2个单位长度得到y=(x-1)2-2的图象,即得到函数f(x)=x2-2x-1的图象.
反思所有二次项系数为1的二次函数的图象均可以由函数y=x2的图象经过平移得到.平移前,应先将二次函数的解析式化为顶点式,再确定平移的步骤.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【例4】 (1)函数y=3x2-6x+1,x∈[0,3]的最大值是　　　　　,最小值是　　　　　;?
(2)求函数f(x)=x2+2ax+2在[-5,5]上的最小值;
(3)求函数f(x)=x2-4x-4在[t,t+1](t∈R)上的最小值g(t).
分析:(1)小题可根据函数在区间[0,3]上的单调性求出最值;(2)和(3)小题需按照对称轴与给定区间的关系讨论求解.题型一题型二题型三题型四(1)解析:由于y=3x2-6x+1=3(x-1)2-2,该函数的图象如图所示.
从图象易知,f(x)max=f(3)=10,f(x)min=f(1)=-2.
答案:10　-2
(2)解:f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2,x∈[-5,5],
①当-a≤-5,即a≥5时,函数f(x)在区间[-5,5]上
单调递增,故f(x)min=f(-5)=27-10a.
②当-5<-a<5,即-5故f(x)min=f(-a)=2-a2.
③当-a≥5,即a≤-5时,函数f(x)在区间[-5,5]上
单调递减,故f(x)min=f(5)=27+10a.题型一题型二题型三题型四(3)解:由f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8,x∈[t,t+1],知对称轴为直线x=2.当t≤2≤t+1,
即1≤t≤2时,g(t)=f(2)=-8;
当t+1<2,
即t<1时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,
g(t)=f(t+1)=t2-2t-7.
当t>2时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,
g(t)=f(t)=t2-4t-4.题型一题型二题型三题型四反思本例给出了二次函数在闭区间上最值的三种常见题型,其中的(2)(3)小题都需要进行分类讨论.特别地,在(3)小题中,求f(x)最小值,字母t应视作常量,f(x)的最小值应该用t表达,而不可再求g(t)的最小值.题型一题型二题型三题型四【变式训练4】 求函数f(x)=2x2-4x-3在下列各个区间上的最值:
(1)[-2,0];(2)[0,3];(3)[2,4].
解:f(x)=2x2-4x-3=2(x-1)2-5,函数图象开口向上,对称轴为x=1.
(1)当x∈[-2,0]时,f(x)在[-2,0]上单调递减,故ymax=f(-2)=13,ymin=f(0)=-3;
(2)当x∈[0,3]时,f(x)在[0,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增,
故ymax=f(3)=3,ymin=f(1)=-5;
(3)当x∈[2,4]时,f(x)在[2,4]上单调递增,
故ymax=f(4)=13,ymin=f(2)=-3.题型一题型二题型三题型四易错点:对问题进行非等价转化致误
【例5】 已知f(x)=x2+ax+3-a,若x∈[-2,2],f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
错解:结合二次函数f(x)=x2+ax+3-a的图象可知,要使f(x)>0在x∈[-2,2]上恒成立,则只需Δ=a2-4(3-a)<0,解得-6错因分析:原题中的信息是f(x)>0对任意x∈[-2,2]恒成立,而错解中误认为f(x)>0对任意x∈R恒成立,因此使所求范围缩小了.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四即a<-4时,g(a)=f(2)=7+a>0,解得a>-7.
又因为a<-4,所以-7综上所述,a的取值范围是(-7,2).
反思解答时不能凭空想象,一定要充分利用题干中的信息,并且在化简或化归时要做到等价转化.例如,错解中就不是等价转化.题型一题型二题型三题型四【变式训练5】 在例5中,将条件改为“若x∈[-3,-1]时,f(x)<0恒成立”,再求a的取值范围.1 2 3 4 5 61将函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度得到的函数的解析式是(　　)
A.y=2(x+1)2+3 B.y=2(x-1)2-3
C.y=2(x+1)2-3 D.y=2(x-1)2+3
答案:A1 2 3 4 5 62已知二次函数y=ax2+bx+1的图象的对称轴是x=1,并且通过点A(-1,7),则a,b的值分别是(　　)
A.2,4 B.2,-4
C.-2,4 D.-2,-4答案:B 1 2 3 4 5 63已知函数y=-x2-4x+1,当x∈[-3,3]时的值域是 (　　)
A.(-∞,5] B.[5,+∞)
C.[-20,5] D.[4,5]
解析:因为y=-x2-4x+1=-(x+2)2+5,
所以f(x)图象的对称轴为x=-2,开口向下.
因此ymax=f(-2)=5,ymin=f(3)=-20,
故函数的值域为[-20,5].
答案:C1 2 3 4 5 64若f(x)=(k-2)x2-(k-1)x-3是偶函数,则f(x)的单调递增区间是　　　.?
解析:因为函数f(x)是偶函数,
所以一次项系数-(k-1)=0,即k=1.
此时f(x)=-x2-3.
故f(x)的递增区间是(-∞,0].
答案:(-∞,0]1 2 3 4 5 65若函数f(x)=ax2+2x-4的图象全部位于x轴下方,则a的取值范围是　　　　　.?
1 2 3 4 5 66已知函数f(x)=ax2+4(a+1)x-3在[2,+∞)上单调递减,求a的取值范围.